Οι πραγματικοί αριθμοί
,
,
είναι διαφορετικοί από το
και ισχύει:




(1) 

(2) 

Να βρείτε όλες τις δυνατές τιμές της παράστασης

ΘΕΜΑ 2ο
Να βρείτε όλα τα ζεύγη θετικών ακεραίων
, για τα οποία ο αριθμός
είναι πολλαπλάσιο του
.



ΘΕΜΑ 3ο
Να βρείτε τον μικρότερο θετικό ακέραιο
με την ιδιότητα:

Αν βάψουμε μαύρα ακριβώς
κελιά ενός πίνακα
τότε υπάρχει οπωσδήποτε ένα
τετράγωνο με τουλάχιστον τρία μαύρα κελιά.



ΘΕΜΑ 4ο
Σε ένα τρίγωνο
, η εξωτερική διχοτόμος της γωνίας
τέμνει την ευθεία
στο
. Τα ίχνη των καθέτων από τα σημεία
και
στην ευθεία
είναι τα
και
, αντίστοιχα, ενώ το ίχνος της κάθετης από το
στην
είναι το
.












Να αποδείξετε ότι
