Τεστ εξάσκησης για την Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα «ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ» των μικρών (κάτω των 15,5 ετών) - 19ο ΤΕΣΤ

ΘΕΜΑ 1ο

Θεωρούμε ορθογώνιο  με  και έστω  το κέντρο του. Η κάθετη στην  στο  τέμνει τις ευθείες  και  στα σημεία  και  αντίστοιχα. Αν  και  τα μέσα των τμημάτων  και  αντίστοιχα, να δείξετε ότι 

ΘΕΜΑ 2ο

Να προσδιορίσετε όλα τα ζεύγη θετικών ακεραίων  για τα οποία ισχύει:ο αριθμός  είναι σύνθετοςΑν οι αριθμοί  είναι οι γνήσιοι διαιρέτες του αριθμού  τότε οι αριθμοί  είναι οι γνήσιοι διαιρέτες του αριθμού .(Σε αυτό το πρόβλημα, γνήσιοι διαιρέτες ενός ακεραίου  είναι οι διαιρέτες που είναι διαφορετικοί από το 1 και τον )

ΘΕΜΑ 3ο

Οι πραγματικοί αριθμοί  είναι τέτοιοι ώστε  και .

Να βρείτε τη μέγιστη τιμή της παράστασης

  

ΘΕΜΑ 4ο

Σε ένα τουρνουά τένις συμμετείχαν  αθλητές. Κάθε αθλητής έπαιξε με όλους τους υπόλοιπους ακριβώς μία φορά.

Μια τριάδα αθλητών  λέγεται κυκλική αν ο  νίκησε τον  o  νίκησε τον  και o  νίκησε τον 

Να προσδιορίσετε το μέγιστο αριθμό κυκλικών τριάδων.

 Επιμέλεια: Θανάσης Κοντογεώργης 

Πηγή: mathematica