Προετοιμασία για τους μαθηματικούς διαγωνισμούς της Ε.Μ.Ε: 8ο ΤΕΣΤ Εξάσκησης (μικροί)

ΘΕΜΑ 1

Μια λωρίδα  αποτελείται από  μοναδιαία τετράγωνα  Βάφουμε καθένα από τα μοναδιαία τετράγωνα είτε κόκκινο, είτε μπλε, είτε πράσινο. Έστω  το πλήθος των χρωματισμών της λωρίδας στους οποίους υπάρχει περιττός αριθμός κόκκινων τετραγώνων. Να προσδιορίσετε τη μεγαλύτερη δύναμη του 2 που διαιρεί τον αριθμό 

ΘΕΜΑ 2

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις  τέτοιες ώστε

 για κάθε 

(Δική μου κατασκευή)

ΘΕΜΑ 3

Έστω 

 και  

οι δεκαδικές αναπαραστάσεις των θετικών πραγματικών αριθμών  και 

Υποθέτουμε ότι  για κάθε  Να δείξετε ότι αν ο  είναι ρητός, τότε και ο  είναι ρητός.

ΘΕΜΑ 4

Θεωρούμε τρίγωνο  εγγεγραμμένο σε κύκλο  και  το έγκεντρό του. Έστω  και  τα σημεία τομής των  και  με τον  H  τέμνει τις πλευρές  και  στα  και  αντίστοιχα. Έστω  σημείο τέτοιο ώστε  και 

Υποθέτουμε ότι οι εφαπτομένες στον  στα  και  τέμνονται στο  Να αποδείξετε ότι οι ευθείες  είναι είτε παράλληλες είτε συντρέχουσες.

 Επιμέλεια: Θανάσης Κοντογεώργης 

Πηγή: mathematica