Έστω $a,b$ και $c$ θετικοί αριθμοί, τέτοιοι ώστε
$a+b+c=abc$.
Να αποδείξετε ότι
$\sqrt{\left(1+a^{2}\right)\left(1+b^{2}\right)}+\sqrt{\left(1+b^{2}\right)\left(1+c^{2}\right)}+$
$+\sqrt{\left(1+c^{2}\right)\left(1+c^{2}\right)}\geq \sqrt{\left(1+a^{2}\right)\left(1+b^{2}\right)\left(1+c^{2}\right)}+4$
Να λυθεί η εξίσωση
$\dfrac{\log_{2}x}{x^{4}-10x^{2}+26}=\dfrac{5-x^{2}}{\log_{2}^{2}x+1}.$
Να λυθεί το σύστημα
$\begin{cases} 5x^{2}+2y^{2}+z^{2} & =2\\ xy+yz+zx & =1 \end{cases}$
2.To π.ο. το $(0,+\infty )$ και η εξίσωση είναι ισοδύναμη με την
ΑπάντησηΔιαγραφή$log_{2}^{3}x+log_{2}x=(5-x^{2})^{3}+5-x^{2}$<=>
$f(log_{2}x)=f(5-x^{2})$ με $f(x)=x^{3}+x$, η οποία είναι 1-1 ως γν. αύξουσα, άρα ισοδύναμα έχουμε
$log_{2}x=5-χ^{2}$ με προφανή λύση το $2$, αλλά και μοναδική λόγω μονοτονίας της
$log_{2}x+x^{2}$ στο $(0,+\infty )$.