Οταν ο Nεύτωνας ρωτήθηκε για την ιλιγγιώδη άνοδο της τιμής των μετοχών της South Sea, (έχασε αρκετά χρήματα..) είπε:
"I can calculate the movement of the stars, but not the madness of men!". ("Μπορώ να υπολογίσω τις κινήσεις των άστρων, αλλά όχι την τρέλλα των ανθρώπων!")
Μεταξύ 2 σημείων (ΟΧΙ απαραίτητα αντιδιαμετρικά!) πάνω στην επιφάνεια της Γης, σκάβουμε και διαπερνούμε έναν ευθύγραμμο σωλήνα (μη ρωτάτε πώς!). Ένα αντικείμενο αφήνεται να πέσει μέσα στον σωλήνα. Πόσo χρόνο θα χρειαστεί για να φτάσει στο άλλο άκρο του σωλήνα; Τι παρατηρούμε από το αποτέλεσμα;
ΠΑΡΑΔΟΧΕΣ:
H Γη θεωρείται τέλεια σφαίρα.
Η δύναμη τριβής να αγνοηθεί.
Η πυκνότητα της Γης να θεωρηθεί σταθερή σε όλον τον όγκο της.
H Γη θεωρείται τέλεια σφαίρα.
Η δύναμη τριβής να αγνοηθεί.
Η πυκνότητα της Γης να θεωρηθεί σταθερή σε όλον τον όγκο της.
ΔΙΝΟΝΤΑΙ:
H ακτίνα της Γης $= R= 6,38\cdot 10^6$ m.
H μάζα Μ της Γης $= 5,98\cdot 10^24$ Kg.
H παγκ. βαρυτική σταθερά $G=6,67\cdot 10^{-11}$ m3/(kg * sec2).
H ακτίνα της Γης $= R= 6,38\cdot 10^6$ m.
H μάζα Μ της Γης $= 5,98\cdot 10^24$ Kg.
H παγκ. βαρυτική σταθερά $G=6,67\cdot 10^{-11}$ m3/(kg * sec2).
Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώ
PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify
📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα
Δες τα βιβλία →
16 σχόλια:
Καλημέρα κ. Ριζόπουλε!
ΑπάντησηΔιαγραφήΙδιαίτερα ενδιαφέρον θέμα, διορθώστε όμως
"H μάζα Μ της Γης =5,98⋅10^2 4 Kg."
στο προφανές 5,98⋅10^24 Kg. Τεκμαίρεται βέβαια και από την "μετατροπή" των βαρυτήτων
Nαι κε Αλεξίου. 5,98*10^24 Κιλά το σωστό Μ.
ΑπάντησηΔιαγραφήΕξυπακούεται ότι όποιος ασχοληθεί με το όντως ενδιαφέρον πρόβλημα (με το ελαφρώς απρόσμενο αποτέλεσμα)μπορεί να εκφράσει τον χρόνο σε συνάρτηση των Μ, G, R, απλώς έδωσα τις τιμές για να υπολογιστεί ο χρόνος ακριβώς ποσοτικά.
Αυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.
ΑπάντησηΔιαγραφήΟυσιαστικά δεν γίνεται απλή αρμονική ταλάντωση με το άθροισμα των δυνάμεων να είναι μηδέν στο κέντρο της γης(άρα σε αυτό το σημείο έχει τη μέγιστη ταχύτητα?)
ΑπάντησηΔιαγραφήΟυσιαστικά δεν γίνεται απλή αρμονική ταλάντωση με το άθροισμα των δυνάμεων να είναι μηδέν στο κέντρο της γης(άρα σε αυτό το σημείο έχει τη μέγιστη ταχύτητα?)
ΑπάντησηΔιαγραφήΑφορά αντιδιαμετρικά σημεία η παρατηρησή μου.Εδώ δεν είναι απαραίτητο
ΑπάντησηΔιαγραφήΑυτό που έγραψα είναι για αντιδιαμετρικά σημεία.Άρα άκυρο
ΑπάντησηΔιαγραφήdonaltie: ε.., γενίκευσέ το για μια τυχαία χορδή της Γης (θεωρούμενη σαν προβολή κύκλου στο επίπεδο) και θα δεις ότι... είσαι πολύ κοντά στην λύση! :-)
ΑπάντησηΔιαγραφήTo κλειδί είναι να βρεθεί η δύναμη που δημιουργεί την κίνηση του αντικειμένου μέσα στο σωλήνα.
ΑπάντησηΔιαγραφήΙσχύει το νευτωνοπαράδοτο F=m*b (ή γ ή a ή όπως τη λένε τώρα την επιτάχυνση,δεν ξέρω σίγουρα..:-))
Θέλει προσοχή μόνο στο "ποιο m" και "ποιο F ;"
"Aπλή αρμονική κίνηση" είπε ο donaltios. Αν το αποδείξουμε αυτό... :-)
Θα δούμε τι δυνάμεις ασκούνται στο επίπεδο της χορδής.
ΑπάντησηΔιαγραφήΣτην αρχική θέση το αντικείμενο βρίσκεται σε γωνία 45 μοιρών που ορίζεται από την ευθεία του σωλήνα και την ευθεία που ενώνει αυτό με το κέντρο της γης
Άρα η δύναμη που είναι υπεύθυνη για τη γωνία είναι η οριζόντια(παράλληλη με το σωλήνα) βαρυτική συνιστωσα
Fταλαντ=Μ*G*cosθ(γραμμική δύναμη)
Η γωνία κυμαίνεται 45 εώς 135 μοίρες
Στο κέντρο της απόστασης όταν θ=90 έχουμε ισορροπία(αφού F=0 λόγω θ=90(απόσταση από κέντρο γης κάθετη στο αντικείμενο).Έχουμε δηλαδή όλα τα χαρακτηριστικά απλής αρμονικής ταλάντωσης
H βαρυτική δύναμη ασκείται απ όλο τον όγκο της γης
Αφού είναι σφαίρα V=(4/3)*π*R^3
Άρα η δύναμη που ασκείται από όλο τον όγκο την ανάγουμε σε ένα σημείο άρα F=(M/V)*G*cosθ
Άρα έχονατς απλή αρμονική ταλάντωση βρίσκουμς το χρόνο μέχρι το μέσον
θέτωντας χ=Α όσο το πλάτος της ταλάντωσης
sin(ω*t/2)=1
Άρα ω*t/2=π/2
ω=1/Τ
To T εξαρτάται από τα αδρανειακά χαρακτηρισικά και μόνο του ταλαντωτή.
Δεν θυμάμαι των τύπο(έχει το G και Μ μέσα)
Βρίσκοντας το ω λύνουμε ως προς t
Διόρθωση
ΑπάντησηΔιαγραφήω=2*π/Τ
Ζητώ συγγνώμη για το παραπλανητικό ίσως "ποιο m;" που έγραψα αποπάνω. Οι μάζες δεν μεταβάλλονται ασφαλώς. Τα "βάρη"-δυνάμεις όμως, ίσως..
ΑπάντησηΔιαγραφήAΠΑΝΤΗΣΗ:
ΑπάντησηΔιαγραφήΔεν έχω σχήμα ,οπότε ας ακολουθήσουμε τα παρακάτω περιγραφικά βήματα:
Aς θεωρήσουμε τη Γη σαν έναν κύκλο στο επίπεδο, ακτίνας R. H μάζα της είναι Μ.
Aς πάρουμε μια χορδή του κύκλου (οριζόντια για να υπάρχει ευκολία /εποπτεία, αλλά δεν έχει βέβαια σημασία) που αντιπροσωπεύει τον αγωγό-σωλήνα μας.
Ας θεωρήσουμε το αντικείμενο μάζας m, όταν βρίσκεται σε μια τυχαία απόσταση έστω x ,από το κέντρο του σωλήνα (που το βρίσκουμε αν από το κέντρο της Γης φέρουμε την κάθετο προς τα πάνω, πάνω στον άξονα του σωλήνα).
Στο σημείο λοιπόν αυτό που βρίσκεται το αντικέιμενο ,η απόστασή του από το κέντρο της Γης(κέντρο του μεγάλου κύκλου R) έστω ότι είναι r. To r (<R) ορίζει προφανώς έναν εσωτερικό της Γης , ομόκεντρο κύκλο ακτίνας r.
Έστω θ η επίκεντρη γωνία του m. Δηλαδή η γωνία με κορυφή το κέντρο των κύκλων στο ορθογώνιο τρίγωνο με υποτείνουσα =r , μία κάθετη πλευρά την x και δεύτερη κάθετη την κάθετη από το κέντρο στον άξονα του x (σωλήνα). Ελπίζω να είναι σαφές το γεωμετρικό σχήμα.
Το «δύσκολο»/λεπτό σημείο είναι ότι η βαρυτική δύναμη που εξασκείται στο σώμα, προέρχεται από το κλάσμα της μάζας της Γης που αντιστοιχεί στο τμήμα της με ακτίνα r. Στη Γη δηλαδή που είναι μέσα από το r. H “υπόλοιπη» Γη ,δεν συμμετέχει στη βαρύτητα.
Εφόσον η πυκνότητα είναι σταθερή , η μάζα είναι ανάλογη του όγκου, άρα η Μάζα Μ(r) που αντιστοιχεί στον όγκο που περιβάλει ο κύκλος r , είναι:
Μ(r)= M*(r/R)^3
Έτσι ,η ολική δύναμη F (που ασκείται κατα την διεύθυνση :Kέντρο-m ! )είναι:
F=[G*(M*(r/R)^3)] / r^2 = G*M*m*r/R^3 (α)
Μας ενδιαφέρει όμως η συνιστώσα της F που προκαλεί την κίνηση κατά μηκος του σωλήνα (άξονα του x) και που είναι:
F(x)=-Fημθ. Αλλά ημθ=x/r , άρα έχουμε:
F(x)=-Fημθ= - (G*M*m*r/R^3 )*(x/r) = - (G*M*m/R^3)*x (β)
Έτσι, και βάσει της εξίσωσης F=m*γ ,ισχύει:
- (G*M*m/R^3)*x=m * x’’ (η επιτάχυνση γ είναι η δεύτερη παράγωγος του διαστήματος x)
Άρα,
x’’= -(GM/R^3)*x (γ)
Η (γ) όμως είναι χαρακτηριστική εξίσωση που περιγράφει απλή αρμονική κίνηση με συχνότητα
ω= τετρ.ρίζα (GM/R^3)
Iσχύει λοιπόν για την περίοδο Τ:
T=2π/ω = 2π/ τετρ.ρίζα (GM/R^3)=2π* τετρ.ρίζα (R^3/G*M)=
=2π* τετρ.ρίζα[(6,38*10^6 m)^3/((6,67*10^-11 m^3/Kg*sec^2)*(5,98*10^24 kg.))] =
=(περίπου) 5.060 δευτερόλεπτα =
= 84 λεπτά.
Αλλά ο χρόνος Τ αφορά ένα «πλήρες» (2π) (πάει κι έλα!) ταξίδι ,άρα ο ζητούμενος για το ταξίδι που ψάχνουμε είναι ο μισός t=42 λεπτά.
Βλέπουμε λοιπόν , ότι ο χρόνος είναι ανεξάρτητος από την χορδή και είναι πάντα 42 λεπτά, είτε αυτή είναι διάμετρος της Γης ,είτε όχι! είτε η σωλήνα μας ξεκινάει από την Αθήνα και καταλήγει στο Σύδνεϋ , ,είτε ξεκινάει από το Πάνω-χωριό και καταλήγει στο Κάτω-χωριό! Η μεταβολόμενη βαρυτική συνιστώσα κάνει το «τρικ», και διατηρεί το χρόνο σταθερό (τριβής αγνοουμένης πάντα)!
Οκ ενδιαφέρουσα λύση!Να υποθέσω ότι μόνο η μάζα που αντιστοιχεί στο r ασκεί βαρύτητα γιατί η υπόλοιπη(που σχηματίζει δαχτυλίδι) έχει δυνάμεις που αλληλοαναιρούνται λόγω συμμετρίας?
ΑπάντησηΔιαγραφή@donaltios: Έτσι ακριβώς! Αν ήμασταν "πάνω" ακριβώς στο κέντρο της Γης ,θα ήμασταν αβαρείς. Ή αν είμαστε πάνω στο μέσο της γήινης ακτίνας ,θα ζυγίζαμε το μισό μας από το "επιφανειακό βάρος". (Στην πραγματικότητα ,λίγο παραπάνω από το μισό,γιατί η πυκνότητα δεν είναι σταθερή ,αλλά αυξάνεται προς το κέντρο, λόγω του συμπαγούς πυρήνα σιδήρου).
ΑπάντησηΔιαγραφή@Ριζόπουλος
ΑπάντησηΔιαγραφήΈχετε να προτείνετε κάποιο καλό βιβλίο φυσικής?Θα θελα να την ξεσκονίσω λιγάκι:-)
Με τέτοιου τύπου προβλήματα ας πουμε(έπιασα τη λογική του αλλά την πάτησα στις λεπτομέρειες σε αυτό:-( )