41η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2024 - ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ

Πρόβλημα 1 

Έστω οξυγώνιο τρίγωνο $ABC$ με $AC>AB$ και $D$ το σημείο τομής της διχοτόμου της γωνίας $\widehat{A}$ με την πλευρά $BC$. Οι συμμετρικές ευθείες των $AB$ και $AC$ ως προς την $BC$ τέμνουν τις ευθείες $AC$ και $AB$ στα σημεία $E$ και $F$ αντίστοιχα. 

Μια ευθεία που διέρχεται από το $D$ τέμνει τις ευθείες $AC$ και $AB$ στα σημεία $G$ και $H$ αντίστοιχα, ώστε το $G$ να βρίσκεται στο εσωτερικό του τμήματος $AC$ και το $H$ να βρίσκεται στο εσωτερικό του τμήματος $BF$. 

Να αποδείξετε ότι οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων $\triangle EDG$ και $\triangle FDH$ εφάπτονται μεταξύ τους. 

Πρόβλημα 2 

Έστω ακέραιοι $n\ge k\ge 3$. Να αποδείξετε ότι για κάθε πεπερασμένη ακολουθία ακεραίων $1\le a_1 < a_2 < \ldots < a_k \le n$, μπορούμε να επιλέξουμε μη αρνητικούς ακεραίους $b_1, b_2,\dots , b_k$, που ικανοποιούν τις παρακάτω συνθήκες: 

(i) $0\le b_i\le n$  για κάθε $1\le i\le k$, 

(ii) όλα τα θετικά $b_i$ είναι διαφορετικά ανά δύο, 

(iii) τα αθροίσματα $a_i + b_i$ για $1\le i \le k$, σχηματίζουν μια μετάθεση των πρώτων $k$ όρων μιας μη σταθερής αριθμητικής προόδου.  

Πρόβλημα 3 

Έστω $a$ και $b$ διαφορετικοί θετικοί ακέραιοι τέτοιοι, ώστε ο $3^a + 2$ να διαιρείται από τον $3^b + 2$. Να αποδείξετε ότι $a > b^2$. 

Πρόβλημα 4 

Έστω $\mathbb{R}^+ = (0,\infty)$ το σύνολο των θετικών πραγματικών αριθμών. Να προσδιορίσετε τις συναρτήσεις $f : \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+$ και τα πολυώνυμα $P(x)$ που έχουν μη αρνητικούς πραγματικούς συντελεστές με $P(0) = 0$, έτσι ώστε να ισχύει 

$f(f(x) + P(y)) = f(x - y) + 2y$ 

για όλους τους πραγματικούς αριθμούς $x > y>0$.

Πηγή: mathematica