Πυραμίδα Sierpinski

Sierpinski Pyramid

Κλίμακα του 1

Δύο κανονικά εξάγωνα

Στο παρακάτω σχήμα, να βρεθεί η πλευρά $s$ του εσωτερικού κανονικού εξαγώνου.

@Per Henrik Christiansen

Δείτε τη λύση εδώ.

Το παράδοξο του χαμένου ευρώ

Τρεις ταξιδιώτες μπαίνουν σε ένα πανδοχείο για να περάσουν τη νύχτα. Ο ιδιοκτήτης τους ζητά συνολικά 30 € για διαμονή σε τρίκλινο δωμάτιο. Πληρώνουν ο καθένας $10$ €. 

Ο ιδιοκτήτης του ξενοδοχείου θυμάται τότε ότι ξέχασε την ειδική έκπτωση που έδωσε για εκείνη την εβδομάδα και αμέσως ανεβαίνει στο δωμάτιο και τους επιστρέφει $5$ €, αλλά επειδή δεν ξέρει πώς να διαιρέσει αυτά τα 5 € με το $3$, βάζει $2$ € στην τσέπη του και δίνει τα υπόλοιπα $3$ € σε κάθε άτομο τα μοιράζει δίνοντας τους $1$ € επιστροφή.

THEOREM OF THE DAY: The Basel Problem

Click on the image.

Romanian District Mathematical Olympiad 2019, Problem 4

Έστω $a>1$. Να βρεθεί η τιμή του $b$ για την οποία ισχύει:

For the love of maths: France opens its first museum dedicated to mathematics

How can France get its students to love maths again? Researchers hope a new Paris museum dedicated to the discipline could be the key.

Maths is everywhere - it’s behind the streets we walk on, the homes we live in and the phone you may be reading this article on.

But while maths can help us better understand the world we live in, a large percentage of the world’s population has trouble understanding maths. And France is struggling more than other European nations to keep students interested in the discipline.

Τίμημα η ελευθερία

Υπάρχουν τρεις κρατούμενοι που εκτίουν την ποινή τους στην φυλακή. Οι δεσμοφύλακες τους τους δείχνουν πέντε καπέλα, τρία μαύρα και δύο άσπρα. 

Στη συνέχεια, τους βάζουν στηξ σειρά, έτσι ώστε να βλέπουν ο ένας μόνο την πλάτη του άλλου. Σε αυτή την περίπτωση, ο κρατούμενος στο πίσω μέρος μπορεί να δει δύο άτομα μπροστά του και ο κρατούμενος στη μέση μπορεί να δει ένα άτομο μπροστά του.

Είναι όλοι πρώτοι αριθμοί !

Χρωματισμένο ποσοστό

Ποιο είναι το συνολικό ποσοστό των χρωματισμένων μερών των τεσσάρων ίσων τετραγώνων;

Mathematicians Of The Day: 29th September

On this day in 1801, Gauss's Disquisitiones Arithmeticae was published. Gauss was only 24 years old at that time and had written it when he was 21.

The postage stamp of one of today's mathematicians at THIS LINK was issued in 2001.

Click on Ⓟ for a poster.

Born:

1561: Adriaan van Roomen Ⓟ

1803: Charles-François Sturm Ⓟ

1812: Adolph Göpel

1868: Anne Bosworth Ⓟ

1876: Gaetano Scorza Ⓟ

1895: Harold Hotelling Ⓟ

1901: Enrico Fermi Ⓟ

1935: Hillel Furstenberg Ⓟ

Died:

1928: Ernst Steinitz Ⓟ

1939: Samuel Dickstein Ⓟ

1941: Friedrich Engel Ⓟ

1945: Evan James Williams Ⓟ

1982: Letitia Chitty Ⓟ

1986: Dov Jarden Ⓟ

2003: Ovide Arino Ⓟ

2022: Kathleen Booth Ⓟ

SPACE MATH @ NASA | The Launch of the Juno Spacecraft - Ascent to orbit

The Juno spacecraft was launched on August 5, 2011 on a 5 year journey to Jupiter. This image was taken 120 seconds after launch and shows one of the solid rocket boosters being jettisoned. 

The camera is on the Atlas booster and looks down on the engines and the distant arc of a cloudy Earth. Scenes from the launch can be found on YouTube, and show a dazzling launch from multiple viewing locations on Earth and in space.

Read more »

Stanford University: The Birth of Algebra

Πολλαπλάσια του $7$

Πόσοι από τους αριθμούς $$1,\\ 1+3, \\1+3+3^2, \\1+3+3^2+3^3, \\... \\1+3+3^2+3^3+...+3^{2024}$$ είναι πολλαπλάσια του $7$;

Πηγή: mathematica

Ας ξεπεράσουμε τα όρια: Σκάκι τριών παικτών

Το σκάκι τριών ατόμων εφευρέθηκε από τον Robert Zubrin το $1972$. Όλοι μας έχουμε συνηθίσει να βλέπουμε την κλασική παρτίδα σκακιού γύρω μας, και μπορεί να πιστεύουμε ότι υπάρχει μόνο ένα είδος σκακιού. 

Ωστόσο, μια μελέτη που διεξήχθη το $2007$ αποκάλυψε ότι υπάρχουν περισσότερες από $2000$ παραλλαγές παιχνιδιού σκακιού. Έτσι, αυτό το σκάκι τριών παικτών είναι μόνο μία από τις πολλές παραλλαγές τριών παικτών.

Οκτάγωνο και τέμνουσα

Στην εικόνα βλέπουμε ένα οκτάγωνο και μία ευθεία που τέμνει εσωτερικά και τις οκτώ πλευρές του.

Γίνεται το αντίστοιχο με επτάγωνο; Αιτιολογείστε.

Πηγή: mathematica

Το παράδοξο της ωραίας κοιμωμένης

Η ωραία κοιμωμένη δέχτηκε να συμμετάσχει στο παρακάτω πείραμα: Την Κυριακή θα πάρει μία δόση υπνωτικού και θα πέσει για ύπνο. Ενώ κοιμάται, ένας ερευνητής θα στρίψει ένα νόμισμα.

Αν το νόμισμα έρθει κορώνα, θα ξυπνήσει την κοιμωμένη τη Δευτέρα και θα της κάνει την ερώτηση: «ποια είναι η πιθανότητα το νόμισμα που έστριψα να έφερε Κορώνα;». Η κοιμωμένη θα δώσει την απάντησή της και το πείραμα θα τελειώσει.

Τα έξι ευρώ

Από την πιο πάνω διάταξη των έξι ευρώ θέλουμε να πάρουμε την παρακάτω κυκλική διάταξη. 

Η μόνη επιτρεπόμενη κίνηση είναι η εξής: πρέπει να "κυλήσετε" ένα ευρώ, να παραμείνει σε συνεχή επαφή με τουλάχιστον ένα άλλο ευρώ, η κίνηση μπορεί να τελειώσει μόνο σε μια θέση, όπου το μετακινούμενο ευρώ είναι σε επαφή με άλλα δύο ευρώ. Ολοκληρώστε αυτόν τον μετασχηματισμό με τρεις κινήσεις.

Μάρτιν Γκάρντνερ

International Mathematics Competition Tournament of Towns: Geometry Problem 3

Στο τρίγωνο $ABC$, οι διάμεσοι $AA_0, BB_0$ και $CC_0$ τέμνονται στο σημείο $M$. Έστω $P, Q, R$ και $T$ τα περίκεντρα των τριγώνων $MA_0B_0, MCB_0$, $MA_0C_0, MBC_0$ αντίστοιχα.

Να αποδείξετε ότι τα σημεία $P, Q, R, T, M$ είναι ομοκυκλικά.

Αυστηρά αυξανόμενοι

Ξεκινώντας από αριστερά προς τα δεξιά σε έναν αριθμό, εάν το επόμενο ψηφίο είναι μεγαλύτερο αριθμητικά από το προηγούμενο ψηφίο, λέμε ότι τα ψηφία αυξάνονται αυστηρά. 

Οι αριθμοί $15689$, $35679$ και $13478$ είναι παραδείγματα $5$ψήφιων αριθμών με αυτήν την ιδιότητα. Δεδομένου ότι ένας αριθμός έχει αυστηρά αυξανόμενα ψηφία, ποια είναι η πιθανότητα να περιέχει πέντε ψηφία;

Ackermann Function

Ackermann Function

ΑΛΓΕΒΡΑ-ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ: Το ιστορικό βιβλίο της Γ΄ Λυκείου 1992 (A΄ Δέσμη )

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Εκθετική συμμετρία

Δεδομένου ότι $m$ και $n$ και είναι θετικοί ακέραιοι, να λυθεί η εξίσωση $$m^n = n^m.$$

Princeton's History of Math, Lectures 1 - 8

Click on the image.

Mathematicians Of The Day: 28th September

On this day in 1695, after fitting several comets data using Newton's proposal that they followed parabolic paths, Edmund Halley tested his own measurements of the 1682 comet against an elliptical orbit. He wrote to Newton,

I am more and more confirmed that we have seen that Comet now three times since the year 1531.The postage stamp of one of today's mathematicians at THIS LINK was issued in 1986.

Click on Ⓟ for a poster.

Born:

1605: Ismael Boulliau Ⓟ

1698: Pierre-Louis Moreau de Maupertuis Ⓟ

1761: François Budan

1824: George Allman Ⓟ

1833: Henri Delannoy Ⓟ

1873: Julian Coolidge Ⓟ

1881: Edward Ross

1893: Hilda Geiringer Ⓟ

1901: Kurt Friedrichs Ⓟ

1925: Martin Kruskal Ⓟ

1938: Hideo Tanaka Ⓟ

Died:

1667: Jacob Gool Ⓟ

1694: Gabriel Mouton Ⓟ

1869: Guglielmo Libri Ⓟ

1928: Pierre Puiseux Ⓟ

1949: Karl Sundman Ⓟ

1953: Edwin Hubble Ⓟ

1967: Stanisław Knapowski Ⓟ

1992: John Leech Ⓟ

1998: Anzelm Iwanik Ⓟ

2004: Jack van Lint Ⓟ

Γωνία βήτα

Στο παρακάτω σχήμα οι ευθείες $AE$ και $BC$ είναι παράλληλες. 

Να βρεθεί η γωνία $β$.

@Cliff Pickover

Why Is The Factorial Of Zero Equal To One?

SPACE MATH @ NASA: Mars Rover Landing Site

This NASA, Mars Orbiter image of the Mars Rover, Spirit, landing area near Bonneville Crater. The width of the image is exactly 895 meters. (Credit: NASA/JPL/MSSS). 

It shows the various debris left over from the landing, and the track of the Rover leaving the landing site.

Read more »

Ν-οστός όρος ακολουθίας Fibonacci

Δίνεται η ακολουθία Fibonacci $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...$ με αναδρομικό τύπο: $$F_{n+2} = F_n + F_{n+1}.$$

Nα αποδειχθεί ότι ο $n$-οστός όρος της $F_n$, δίνεται από τον τύπο

Άπειρο σύνολο κύκλων

Ένας κύκλος είναι εγγεγραμμένος μέσα σε ένα ισόπλευρο τρίγωνο και ένα άπειρο σύνολο κύκλων είναι εγγεγραμμένο με τέτοιο τρόπο έτσι ώστε κάθε κύκλος να εφάπτεται στον προηγούμενο κύκλο και οι πλευρές του τριγώνου να είναι εφαπτομένες του. 

Ποιο κλάσμα του μεγάλου κόκκινου κύκλου αντιπροσωπεύει το άπειρο σύνολο μικρότερων κύκλων;

Square ⇆ regular octagon hinged dissection

Click here.

10 - Μέρη που δεν μοιάζουν αληθινά

Greece, Meteora

International Mathematics Competition Tournament of Towns: Geometry Problem 2

Έστω $M$ το μέσο της βάσης $AC$ ενός ισοσκελούς τριγώνου $ABC$. Τα σημεία $E$ και $F$ στις πλευρές $AB$ και $BC$ αντίστοιχα επιλέγονται έτσι ώστε $AE \neq CF$ και

$∠ FMC = ∠ MEF = α$.

Να βρεθεί η γωνία $∠AEM$.

ΒΙΒΛΙΟ: Paradoxes in Probability Theory and Mathematical Statistics (pdf)

Click on the image.

THEOREM OF THE DAY: Euler’s Partition Identity

Click on the image.

ἸωάννηςΚαποδίστριας

Φανταστείτε ότι τα γράμματα του ονόματος ἸωάννηςΚαποδίστριας μετατράπηκαν σε συμβολοσειρά ψηφίων, χρησιμοποιώντας για κάθε σύμφωνο $1$ και για κάθε φωνήεν $0$. Τα κενά παραλείπονται.

Τι λέτε, η προκύπτουσα συνεχής συμβολοσειρά από $0$ και $1$, υπάρχει σίγουρα κάπου στα δεκαδικά ψηφία του $π$;

Αριθμογρίφος Νο 405

Θεώρημα Μέσης Τιμής (ΘΜΤ) - Γεωμετρική και Φυσική Ερμηνεία του Θεωρήματος

ΒΙΒΛΙΟ: Synopsis of Elementary Results in Pure and Applied Mathematics (pdf)

Ο Srinivasa Ramanujan (1887 – 1920) δεν απέδειξε κανένα από τους χιλιάδες τύπους που ανακάλυψε. Αυτός ήταν ο τρόπος λειτουργίας του: Πρώτα, ανέπτυσσε μια μαθηματική δομή, μετά τοποθετούσε διάφορους αριθμούς σε αυτήν τη δομή και έπαιρνε κάποια αποτελέσματα.

Όταν ο Srinivasa Ramanujan ήταν δεκαέξι χρονών, βρήκε ένα βιβλίο που ονομάζεται «Synopsis of Elementary Results in Pure and Applied Mathematics».

$CL=?$

Στο παρακάτω σχήμα, να βρεθεί το μήκος του τμήματος $CL$.

Δείτε τη λύση εδώ.

The (Math) Problem With Pentagons

Triangles fit effortlessly together, as do squares. When it comes to pentagons, what gives?

Children’s blocks lie scattered on the floor. You start playing with them — squares, rectangles, triangles and hexagons — moving them around, flipping them over, seeing how they fit together. 

You feel a primal satisfaction from arranging these shapes into a perfect pattern, an experience you’ve probably enjoyed many times. But of all the blocks designed to lie flat on a table or floor, have you ever seen any shaped like pentagons?

Σύγκριση υπερδυνάμεων

Ποιος αριθμός είναι μεγαλύτερος, ο αριθμός

ή ο αριθμός 

Mathematicians Of The Day: 27th September

On this day in 1822 Jean-Francoise Champollion announced his major breakthrough in deciphering the Rosetta stone in a paper to the Academy of Inscriptions and in the following month he published a complete list of signs of both hieroglyphics and demotics with their Greek equivalents.

A (personally designed) stamp of one of today's mathematicians is at THIS LINK.

Click on Ⓟ for a poster.

Born:

1677: Johann Gabriel Doppelmayr Ⓟ

1719: Abraham Kästner Ⓟ

1725: Patrick d'Arcy Ⓟ

1843: Gaston Tarry Ⓟ

1855: Paul Appell Ⓟ

1876: Earle Raymond Hedrick Ⓟ

1879: Hans Hahn Ⓟ

1889: Henry Forder Ⓟ

1892: Mikhail Krawtchouk Ⓟ

1893: Mohammed Reda Madwar Ⓟ

1904: Demetrios Kappos Ⓟ

1919: Jim Wilkinson Ⓟ

Died:

1783: Étienne Bézout Ⓟ

1964: Pia Nalli Ⓟ

1997: William Edge Ⓟ

2007: Moshe Carmeli Ⓟ

2009: Alice T Schafer Ⓟ

$cosx$ VS $cosx^2$

Ποια από τις δύο παρακάτω εξισώσεις έχει περισσότερες λύσεις?

• Η εξίσωση $cos(x)=0$: 

• Η εξίσωση $cos^2(x)=0$:
  

$(MLC)=?$

Στο παρακάτω σχήμα, να βρεθεί το εμβαδόν του γαλάζιου τριγώνου στο εσωτερικό του κανονικού εξαγώνου.

Space Math @ NASA | Exploring Two Nearby Stars to the Sun

The Hubble Space Telescope recently took a picture of the currently nearest star to our sun, Proxima Centauri, which is at a distance of $4.243$ light years ($1$ light year = $9.5$ trillion km). 

The orbits of several other stars near the sun are also known, and during the next 80,000 they will replace Proxima Centauri as the nearest star to our sun. For this problem we will study the two stars Ross $128$ and Gliese $445$.

Read more »

Metal Poster Sir Issac Newton

Area A = ?