Δύσκολη η αποταμίευση

Η Θεοδώρα προσπαθεί να εξοικονομήσει $x$ €.

Μετά από μια εβδομάδα, έχει αποταμιεύσει συνολικά $p$ €, δηλαδή $q\%$ του συνολικού ποσού που απαιτείται.

Μετά από μια ακόμη εβδομάδα, έχει αποταμιεύσει συνολικά $q$ €, δηλαδή $(q+7,5)\%$ του ποσοστού του συνολικού ποσού που απαιτείται.

Η Θεοδώρα παρατηρεί ότι 

$p+q= \dfrac{x}{10}$. 

Ποιο είναι το $x$;

Η σκάλα του κάστρου του La Rochefoucauld

Η ιδιοφυΐα του Λεονάρντο Ντα Βίντσι, που γεννήθηκε πριν από $572$ χρόνια, στις $15$ Απριλίου $1452$. 

Έρευνα του Eisatopon

Σε έρευνα του Eisatopon ρωτήθηκαν για το ενδιαφέρον των επισκεπτών του για τέσσερις κατηγορίες προβλημάτων: Γεωμετρία, Λογική, Αλγεβρικές προκλήσεις και Προβλήματα Ολυμπιάδων. Κάθε αναγνώστης θα μπορούσε να δηλώσει τις κατηγορίες που του αρέσουν ή να εκφράσει ότι δεν του αρέσει καμία από αυτές.

Παραδόξως, υπάρχουν τόσοι θαυμαστές και των τεσσάρων κατηγοριών όσοι και αναγνώστες που δεν τους αρέσει καμία από αυτές. Η απογραφή όλων των απαντήσεων που ελήφθησαν οδηγεί επίσης στα ακόλουθα συμπεράσματα:

• Σε 610 αναγνώστες αρέσει μόνο μία κατηγορία.

$b_{max} - b_{min}=?$

Ο Όσκαρ σχεδιάζει δύο κύκλους. Οι περιφέρειες των δύο κύκλων έχουν άθροισμα $πa$, ενώ τα εμβαδά τους έχουν άθροισμα $πb$.

Αν το $a =24$, να υπολογιστεί η διαφορά 

(μέγιστη δυνατή τιμή του $b$) - (ελάχιστη δυνατή τιμή του $b$).

(Σημείωση: Ένα σημείο μπορεί να θεωρηθεί ως κύκλος μηδενικής ακτίνας.)

Έλλειψη με εφαπτομένες

Κλικ εδώ: desmos

Τι είναι το squircle;

Το squircle είναι ένα μαθηματικό σχήμα ενδιάμεσο μεταξύ τετραγώνου και κύκλου. Είναι μια ειδική περίπτωση υπερέκλειψης. 

Η λέξη squircle είναι συνδυασμός των λέξεων "square" και "circle". Ο γενικός τύπος του είναι:

$(x - a)^4 + (y - b)^4 = r^4$.

$\angle FGM =?$

Το $ABCDEF$ είναι κανονικό εξάγωνο. Να βρεθεί η γωνία $\angle FGM$.

Δείε τη λύση εδώ.

Θέλει σκέψη

Είναι σωστή ή λάθος η παρακάτω ανισοτική σχέση:

$ab+bc+ca=?$

British Math Olympiad 2009 | Round 2

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Δύο διαγωνίσματα στα Όρια (2024-25)

Δύο αρχεία με δύο διαφορετικά διαγωνίσματα στην ύλη μέχρι και τα όρια. Το 1ο έχει λιγότερες “τεχνικές” ασκήσεις και γράψιμο, αλλά είναι δυσκολότερο από το 2ο το οποίο επικεντρώνει σχεδόν αποκλειστικά στις μεθόδους εύρεσης ορίων.

Το πρώτο έχει θέματα που θα μπορούσαν να βρεθούν μπροστά σας σε εξετάσεις, το δεύτερο κάνει ένα “μάζεμα” στους τρόπους και τις κατηγορίες υπολογισμού ορίων.

Ο χρόνος που απαιτείται είναι 2 ώρες για το 1ο και 2,5 ώρες για το 2ο.

Διαγώνισμα 1 

Διαγώνισμα 2

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 2

Πηγή: bakouros

Nepal Math Olympiad 2018 | Question 2

Βεντάλια κύκλων

Γύρω από έναν κύκλο τοποθετούνται 36 ίσοι κύκλοι, όπως φαίνεται στο σχήμα παρακάτω.

Δεδομένου ότι τα σημεία Α και Β είναι εφαπτόμενα σημεία επαφής,

Πόσες μοιρών είναι η γωνία $ACB$;

Α) $5$       Β) $6$       Γ) 8       Δ) 10       E) 15

Million, Billion, Trillion, ...

Million, Billion, Trillion, ...

Αρρητοκρατία !

Peacock's Tail Sangaku

Σε έναν κύκλο διαμέτρου $2R$, σχεδιάζουμε δύο εφαπτομενικά τόξα ακτίνας $R$ και μετά δέκα εγγεγραμμένους κύκλους, δύο διαμέτρου $R$. τέσσερις κόκκινους ακτίνας $t$ και τέσσερις μπλε ακτίνας$ t'$. 

Να αποδειχθεί ότι 

$t = t' =  \dfrac{R}{6}$.

Το ολοκλήρωμα της ημέρας 31/8/2024

Προοδευτικά μήκη

Ο Οδυσσέας σχεδιάζει το εικονιζόμενο διάγραμμα, όπου οι γωνίες $BAC, CAD$ και $DAE$ είναι όλες ίσες με $α$ μοίρες και $AB = 1$, $AC = 2, AD = 3$, $AE = 4$. 

Το σχεδιάζει έτσι ώστε τα μήκη $BC, CD$ και $DE$ να βρίσκονται σε γεωμετρική πρόοδο. 

Να βρεθεί η γωνία $α$.

Αριθμογρίφος Νο 398

Τέσσερις ευθείες

Ο Πυθαγόρας σχεδιάζει τις ευθείες $y = ax+1$ και $y=2ax +3$, οι οποίες τέμνονται στο σημείο $A$. μετά σχεδιάζει τις ευθείες $y = 3ax+6$ και $y=4ax +10$, οι οποίες τέμνονται στο σημείο $B$. 

Ο αριθμός $a$ είναι θετικός ακέραιος. Aν $ΑΒ= \dfrac{ \sqrt{629} }{5}$, να βρεθεί ο αριθμός $a$.

Απλοποίηση

Να απλοποιηθεί το κλάσμα:

Εξ ολοκλήρου κάλυψη

Να βρεθεί η πλευρά του μεγαλύτερου τετραγώνου που καλύπτεται εξ ολοκλήρου από δύο κύκλους μοναδιαίας ακτίνας.

Roger Penrose - Is Mathematics Invented or Discovered?

Καληνύχτα! Καλό ξημέρωμα ...

$a \times b \times c \times d=?$

$a = b^2 - c^2$

Ο Χριστόφορος εξετάζει την ισότητα $a = b^2 - c^2$, όπου $a$ είναι ένας περιττός θετικός ακέραιος και $b$ και $c$ είναι θετικοί ακέραιοι, $b > c$.

Παρατηρεί ότι ο αριθμός $a = 63$ ικανοποιεί την εξίσωση αυτή με τρεις διαφορετικούς τρόπους:

$63 = 32^2 - 31^2 = 1  \times  63$

$63 = 12^2 - 9^2 = 3  \times  21$

$63 = 8^2 - 1^2 = 7 \times  9$

Συνεχίζει για να βρει τον μικρότερο περιττό αριθμό $a$ που ικανοποιεί αυτή την εξίσωση με τέσσερις διαφορετικούς τρόπους. Ποιος είναι αυτός ο αριθμός $a$;

Crack the code

O Αναστάσης έσπασε τον κωδικό 

1968119625 256144441361 368136400625-36181576

ο οποίος είναι ένας διψήφιος αριθμός. Ποιος είναι αυτός ο αριθμός;

Διακύμανση τιμής

Η Ευθυμία εξετάζει την τιμή ενός προϊόντος στο σουπερμάρκετ. Βλέπει ότι η τιμή του είναι $a$ €. Αυτή η τιμή στη συνέχεια αυξήθηκε κατά $b\%$.

Ένα μήνα αργότερα, η Ευθυμία παρατηρεί ότι η νέα τιμή μειώνεται κατά $(b-1)\%$, και η τιμή ξαναπηγαίνει πίσω στα $a$ €.

Να βρεθεί το $b$.

Αριθμός Α

Αριθμήστε τις ζώνες από το $1$ έως το $7$ (το $3$ είναι ήδη τοποθετημένο) έτσι ώστε να μην συναντηθούν ποτέ δύο διαδοχικοί αριθμοί.

Ποιος αριθμός πηγαίνει στο $Α$;

Κόκκινο κύμα

Nα βρεθεί το εμβαδόν της χρωματισμένης επιφάνειας:

Πολυώνυμα με συνθήκες

Δύο πολυώνυμα $f(x)$ και $g(x)$ ικανοποιούν τις παρακάτω συνθήκες: 

$f(x) · g(x)=4x^4 + 4x^3 + 13x^2 + 6x + 9 $

$f(x) + g(x)=4x^2 + 2x + 6$.

 

Να βρεθεί το γινόμενο των συντελεστών του $f(x)$.

Ολική επιφάνεια

Να βρεθεί το εμβαδόν της παρακάτω επιφάνειας:

3 - Mathematics !

$3997$ος όρος

Ποιος είναι ο $3997$ος όρος της ακολουθίας:

$$5, 0, 0, 0, -5, -5, 5, 0, 0, 0, -5, -5, 5, 0, 0, 0, -5, -5, …$$

Αριθμοί ZigZag

Ένας ζιγκ-ζαγκ αριθμός ορίζεται εδώ ως ένας φυσικός αριθμός δέκα ευδιάκριτων ψηφίων σε ζεύγη, που δεν ξεκινούν από το μηδέν, των οποίων τα ψηφία αυξάνονται διαδοχικά και μειώνονται, ή αντίστροφα.

Υπάρχουν ενενήντα τρεις χιλιάδες εκατόν έξι ζιγκ-ζαγκ αριθμοί, από τους μικρότερους $1.032.547.698$ έως τους μεγαλύτερους $9.785.634.120$. 

1. Ποιος είναι ο μεγαλύτερος ζιγκ-ζαγκ αριθμός που διαιρείται με όλους τους αριθμούς από το $1$ έως το $10$;

2. Υπάρχει ζιγκ-ζαγκ αριθμός που διαιρείται και με το $10$ και με το $11$;

A Brief History of John Nash (A Beautiful Mind)

$\angle DEF=?$

@Yacob Goitom

$\dfrac{q}{p}=?$

Min $\dfrac{a}{b}=? $

Λόγος ακτίνων

Στο παρακάτω σχήμα, να βρεθεί ο λόγος των ακτίνων του μεγάλου κύκλου προς στον μικρότερο.

International Mathematical Olympiad 2021 - Problem 2

Αίνιγμα du Fortin

Το καλά φυλαγμένο οχυρό

Ένας λοχίας τοποθετεί τους $36$ φρουρούς του έτσι ώστε κάθε πλευρά να παρακολουθείται από $9$ φρουρούς.

Οι φύλακες είναι έξυπνοι. Πώς καταφέρνουν να υπακούσουν στον λοχία με μειωμένη δύναμη;

Το κόλπο

Πράγματι, $18$ φρουροί πήγαν να διασκεδάσουν και οι υπόλοιποι $18$ τοποθετήθηκαν στους τέσσερις γωνιακούς πύργους

Με έναν πύργο που φυλάσσεται από $4$ φρουρούς και τον γείτονά του από 5 φρουρούς, υπάρχουν $4 + 5 = 9$ φρουροί ανά πλευρά του οχυρού. Οι οδηγίες του λοχία είναι σεβαστές.

Άγνωστα σχήματα

Όμορφα κλάσματα

Ματ σε 2

Παίζουν τα λευκά και κάνουν ματ σε δύο κινήσεις.

Ένα από τα χειρόγραφα σημειωματάρια του Feynman για τον λογισμό

και μία σπάνια οικογενειακή φωτογραφία του:

Όταν $f(x)g(x)=0$

Ερώτηση

Αν οι συναρτήσεις $f,g$ είναι ορισμένες στο Α και για κάθε $x \in A$, ισχύει

$f(x)g(x)=0$

τότε μπορώ να πω ότι

$f(x)=0$, για κάθε $x \in A$ 

ή 

$g(x)=0$, για κάθε $x \in A$;

Απάντηση

Όχι, γιατί υπάρχουν συναρτήσεις που έχουν γινόμενο μηδέν, αλλά αυτές δεν είναι μηδενικές.

Για παράδειγμα, οι συναρτήσεις: 

$f(x) =\begin{cases}2 & x< 0\\0 & x  \geq  0\end{cases}$  και $g(x) =\begin{cases}0 & x< 0\\3 & x  \geq  0\end{cases}$ .

Mathematicians Of The Day: 30th August

On this day in 1950, Harald Bohr presented a Fields Medal to Laurent Schwartz at the International Congress of Mathematicians in Harvard for his work on the theory of distributions.

Click on Ⓟ for a poster.

Born:

1703: Jean-Louis Calandrini Ⓟ

1819: Joseph Serret Ⓟ

1827: Lajos Martin Ⓟ

1856: Carl Runge Ⓟ

1906: Olga Taussky-Todd Ⓟ

1907: John Mauchly Ⓟ

Died:

1621: Baha' al-Din al-Amili Ⓟ

1928: Wilhelm Wien Ⓟ

1961: Anton Kazimirovich Suschkevich Ⓟ

1978: Henryk Zygalski Ⓟ

1995: Fischer Sheffey Black Ⓟ

1998: Irving Segal Ⓟ

Το ολοκλήρωμα της ημέρας 30/8/2024

How Gödel’s Proof Works

His incompleteness theorems destroyed the search for a mathematical theory of everything. Nearly a century later, we’re still coming to grips with the consequences.

In 1931, the Austrian logician Kurt Gödel pulled off arguably one of the most stunning intellectual achievements in history.

Mathematicians of the era sought a solid foundation for mathematics: a set of basic mathematical facts, or axioms, that was both consistent — never leading to contradictions — and complete, serving as the building blocks of all mathematical truths.