Ο Σερ Ισαάκ Νεύτων δεν παντρεύτηκε ποτέ και δεν απέκτησε παιδιά

 Sir Isaac Newton (25 Dec 1642 - 20 Mar 1727)

Biography

Three signs

[2] - Algebraic Inequalities for Contests

Οι μαθηματικοί και το χρήμα

"Οι μαθηματικοί εκτιμούν το χρήμα ανάλογα με την ποσότητά του, και οι άνθρωποι της λογικής ανάλογα με τη χρήση που μπορούν να το κάνουν".

$\dfrac{1}{PQ}+\dfrac{1}{PR}+ \dfrac{1}{PS}=\dfrac{1}{PT}$

THEOREM OF THE DAY: A Theorem of Erdos and Wilson on Edge Colouring

Click on the image.

Η εικασία και η ασθενής εικασία του Goldbach

Εικασία του Goldbach

Κάθε άρτιος $≥ 4$ είναι άθροισμα δύο πρώτων. Για παράδειγμα: 

$4 = 2+2, 6 = 3+3$, 

$8 = 3+ 5, 10 = 3+7 = 5+5$, 

$12 = 5+7, 14 = 3+11 = 7+7$. 

Η εικασία του Goldbach θεωρείται εξαιρετικά δύσκολο πρόβλημα. Μέχρι στιγμής έχει ελεγχθεί και ισχύει για όλους τους άρτιους $≤ 4 · 1018$. Ο Goldbach διατύπωσε και την επόμενη εικασία. 

Ασθενής εικασία του Goldbach 

Κάθε περιττός $≥ 7$ είναι άθροισμα τριών πρώτων. Είναι σχεδόν προφανές ότι, αν είναι αληθής η εικασία του Goldbach, τότε είναι αληθής και η ασθενής εικασία του Goldbach. (Διότι, αν ο $n$ είναι περιττός, τότε ο $n− 2$ είναι άρτιος και ο $2$ είναι πρώτος.) 

Ο Vinogradov το $1937$ απέδειξε το: 

Θεώρημα

Υπάρχει $n_0$ ώστε κάθε περιττός $≥ n_0$ είναι άθροισμα τριών πρώτων.

Συνάρτηση διαιρετών

Για κάθε θετικό ακέραιο $n,$ έστω $\tau(n)$ ο αριθμός των διαιρετών του $n.$ 

Αν $x$ και $y$ είναι θετικοί ακέραιοι, έχει λύσεις η πιο πάνω εξίσωση;

Τετράγωνο εφαπτομένης

Με μία κάθετη πλευρά, την πλευρά $AB$ του ισοπλεύρου τριγώνου $ABC$, σχεδιάσαμε το ορθογώνιο τρίγωνο $ABS$, ($\widehat{ABS}=90^\circ$), με τρόπο ώστε το σημείο τομής $M$, των τμημάτων $AB, SC$, να είναι το μέσο της $SC$.

Υπολογίστε την εφαπτομένη $\tan^2\theta$.

Πηγή: mathematica

Number 6: Everything You Need to Know

- Six is the smallest perfect number as it is equal to the sum of its proper divisors (1 , 2 and 3).

- Six is the only number that is both the sum and the product of three consecutive positive numbers.

Also:

• A hexagon has 6 sides
• A tetrahedron has 6 edges
• An octahedron and a tetrahemihexahedron have 6 vertices
• A truncated cube, a small cubicuboctahedron, a cubitruncated cuboctahedron, and small rhombihexahedron have 6 octagons

Ο ταχυδρόμος

Ο ταχυδρόμος πρέπει να επισκεφτεί όλα τα παρακάτω σπίτια. Οι αριθμοί μεταξύ κάθε ζεύγους σπιτιών αντιπροσωπεύουν το χρόνο που χρειάζεται για να περπατήσει ο ταχυδρόμος ανάμεσα σε αυτά τα δύο σπίτια.

Προσπαθήστε να βρείτε τη συντομότερη διαδρομή που μπορεί να κάνει ο ταχυδρόμος που επισκέπτεται κάθε σπίτι.

3 - PIN PLUG

$\dfrac{1}{a}= \dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$

Να αποδειχθεί και στις δύο περιπτώσεις ότι:

$\dfrac{1}{a}= \dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$

i)

ii)

Τριψήφιοι με τρόπο

Χρησιμοποιώντας τα μπλοκ παρακάτω, κατασκευάστε έναν τριψήφιο αριθμό ως εξής: επιλέξτε ένα ψηφίο εκατοντάδων από το επάνω μπλοκ, ένα ψηφίο δεκάδων από το μεσαίο μπλοκ και ένα ψηφίο των μονάδων από το κάτω μπλοκ. 

Χωρίς να χρησιμοποιήσετε ξανά το ίδιο ψηφίο από ένα μπλοκ, κατασκευάστε δύο ακόμη 3ψήφιους αριθμούς. Για παράδειγμα, θα μπορούσατε να δημιουργήσετε τους αριθμούς $967, 416$ και $638$. 

Βρείτε το άθροισμα των τριών αριθμών. Πώς επηρεάζουν οι επιλογές σας το άθροισμα;

Ποια η γνώμη σας;

Η γωνία $FGH$ είναι $90^\circ$. Σωστό ή Λάθος;

Πράσινο: μπλε

Να βρεθεί ο λόγος των εμβαδών της πράσινης προς την μπλε επιφάνεια.

Δείτε τη λύση εδώ.

Όσο αφηρημένος και αν είναι

«Δεν υπάρχει κλάδος των μαθηματικών, όσο αφηρημένος και αν είναι, που να μην μπορεί κάποια μέρα να εφαρμοστεί σε φαινόμενα του πραγματικού κόσμου.» 

Νικολάι Ιβάνοβιτς Λομπατσέφσκι

Σούπερ εκθετική

Να βρεθεί ο αριθμός $χ$.

Εντός κανονικού εξαγώνου

Να βρεθεί το εμβαδόν $Α$.

LOBACHEVSKIAN Geometry - Υπερβολική Γεωμετρία

Ο σκοπός αυτού του βιβλίου είναι να εξοικειώσει τον αναγνώστη στα βασικά της µη-Ευκλείδειας γεωµετρίας του Λοµπατσέφσκι. 

Ο περίφηµος Ρώσος µαθηµατικός N. I. Lobachevsky ήταν εξαίρετος στοχαστής, στον οποίο χρεώνεται µια από τις µεγαλύτερες µαθηµατικές ανακαλύψεις, η κατασκευή ενός γνήσιου γεωµετρικού συστήµατος διαφορετικού από την Ευκλείδεια γεωµετρία.

Για περισσότερα κάντε κλικ στην εικόνα.

Διζωνική διαίρεση

Ποιο μέρος (κλάσμα) του κανονικού δωδεκαγώνου είναι χρωματισμένο;

Εσωτερικά τετράγωνα

Στο παρακάτω σχήμα, στο εσωτερικό του ισοπλεύρου τριγώνου πλευράς $1$ έχουμε τρία τετράγωνα με πλευρές $x, 2x$ και $3x$.

Nα βρεθεί ο αριθμός $x$.

Τα Μαθηματικά στην καθημερινότητα | 8. Συνδυαστική (Combinatorics)

Καλώς ήρθατε στον εκπληκτικό και ποικιλόμορφο κόσμο των μαθηματικών! Σε αυτό το θέμα, θα εξετάσουμε $16$ διαφορετικούς τομείς των μαθηματικών και θα δούμε πώς παίζουν καθοριστικό ρόλο στην καθημερινή μας ζωή. 

Από την ασφάλεια των διαδικτυακών μας δεδομένων μέχρι τη βοήθεια στην πρόβλεψη του καιρού, τα μαθηματικά είναι κάτι περισσότερο από απλά.

 8. Συνδυαστική (Combinatorics)

Σχεδιάζετε το επόμενο ταξίδι σας; Το Combinatorics βελτιστοποιεί διαδρομές και προγράμματα, μειώνοντας το χρόνο και το κόστος ταξιδιού. Χρησιμοποιείται στην εφοδιαστική για την αποτελεσματική παράδοση αγαθών σε όλο τον κόσμο.

Real-Life Applications of Combinatorics

A brain-teasing puzzle

Το ολοκλήρωμα της ημέρας 31/7/2024

Να υπολογιαστεί το ολοκλήρωμα:

Ο κύκλος έχει περιφέρεια ή ο κύκλος είναι περιφέρεια;

Tι σημαίνει περιφέρεια στη Γεωμετρία;

Ο αριθμός $π$ ως συνεχές κλάσμα [3]

Ο αριθμός $π$, όπως κάθε άρρητος αριθμός, μπορεί να αναπαρασταθεί από μια άπειρη σειρά ένθετων κλασμάτων, που ονομάζεται συνεχές κλάσμα.

Τύποι σε κανονικά ν - γωνα

Centre International de Rencontres Mathématiques (CIRM) | Math of Planet Earth (11 video, playlist)

Μπλε δέσμη

Να βρεθεί το εμβαδόν της μπλε επιφάνειας. 

Greater than $77$

π και e

Ο κατάλογος με τα ελληνικά γράμματα του μαθηματικού

Χρήση των ελληνικών γραμμάτων στις επιστήμες

$\angle BAC=?$

Άρρητη εξίσωση

Να λυθεί η εξίσωση:

Singapore Mathematical Olympiad 2006 - Problems and Solutions (pdf)

Click on the image.

'Αλγεβρα Β΄ Λυκείου - Τράπεζα Θεμάτων

Τα θέματα προέρχονται και αντλήθηκαν από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ και βρίσκονται στον δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση iep.edu.gr.

Κεφάλαιο 1 : Συστήματα

1.1 Γραμμικά συστήματα

Κεφάλαιο 2 : Ιδιότητες συναρτήσεων

2.1 Μονοτονία - ακρότατα - συμμετρίες συνάρτησης

2.2 Κατακόρυφη - οριζόντια μετατόπιση καμπύλης

Κεφάλαιο 3 : Τριγωνομετρία

3.1 Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας

THEOREM OF THE DAY: Sokal’s Theorem on Chromatic Roots

Click on the image.

Rubik’s Prime Number: $43252003274489855999$

Ο αριθμός των "λανθασμένων" τρόπων με τους οποίους μπορεί να διαμορφωθεί ο κύβος του Ρούμπικ είναι $43252003274489855999$ - ο οποίος είναι πρώτος αριθμός. (Ανακαλύφθηκε από τον @honak3r).

Ο αριθμός των "σωστών" τρόπων με τους οποίους μπορεί να λυθεί ο κύβος του Ρούμπικ είναι επίσης ένας πρώτος αριθμός! Είναι το $1$.

@Cliff Pickover

Problem of the Week: Size of the angle

Ο William Dunham για τον Leonhard Euler

Κάποιος είπε: 

"Ταλέντο είναι να κάνεις αυτό που οι άλλοι βρίσκουν δύσκολο. Η ιδιοφυΐα είναι να κάνεις εύκολα αυτό που οι άλλοι βρίσκουν αδύνατο". 

Σύμφωνα με αυτόν τον ορισμό, ο Euler ήταν ιδιοφυΐα. Μπορούσε να κάνει το φαινομενικά αδύνατο, και το έκανε καθ' όλη τη διάρκεια της μακράς και ένδοξης ζωής του.

Γωνία $\sqrt{x}$

Tο σκεπτικό του Γεράσιμου

Ο Γεράσιμος είπε στη μαμά του:

"Γιατί να πάω στο σχολείο όταν δεν έχω χρόνο; 

• Κοιμάμαι $8$ ώρες την ημέρα, οι οποίες αθροίζονται σε περίπου $122$ ημέρες το χρόνο. 
• Δεν υπάρχει σχολείο τα Σαββατοκύριακα, δηλαδή $104$ μέρες το χρόνο.  
• Έχω $60$ μέρες καλοκαιρινών διακοπών 
• Χρειάζομαι $3$ ώρες την ημέρα για να φάω, δηλαδή $45$ μέρες το χρόνο και 

Maths in Action at the Rugby World Cup

On September 8, I opened The Irish Times to find an A2 Poster with the programme for the Rugby World Cup. The plan showed the twenty teams who must do battle in which ultimate triumph requires survival through the preliminary rounds and victory in quarter-finals, semi-finals and the final climax. We have reached the quarter-finals on seven occasions; this time, we are among the favourites to win the Webb Ellis Trophy.

Competing countries are divided into four pools of five teams. Teams in each pool play one another in a round-robin, with the top two teams advancing to the knockout stage. Our first big challenge is to get out of Pool B, which includes three of the top five teams, Ireland, South Africa and Scotland. We have already played and beaten Romania and Tonga. Only two of the five teams in each pool will advance.

Read more »

Δεύτερη συνάρτηση

Στο παρακάτω διάγραμμα έχουμε τις γραφικές παραστάσεις δύο συναρτήσεων. Ο τύπος της συνάρτησης με την μπλε γραφική παράσταση είναι 

$f(x)=(x+1)(x−1)(x−2)$.

Ποιος είναι ο τύπος της συνάρτησης με την κόκκινη διακκεκομένη γραφική παράσταση;

Το ολοκλήρωμα της ημέρας 30/7/2034

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:

Εμβαδόν τετραγώνου

$1 + 1 = 2$: The Proof That Took 379 Pages!

THEOREM OF THE DAY: The Lagrange Interpolation Formula

Click on the image.