Κυριακή 30 Ιουνίου 2024

Πιο κοντά στις $365,24217$ ημέρες

Κάθε ηλιακό έτος αποτελείται από περίπου $365,24217$ μέσες ηλιακές ημέρες. Αυτό είναι πολύ κοντά στο $365,25$, γι' αυτό είναι λογικό να έχουμε μια επιπλέον ημέρα κάθε τέσσερα χρόνια. 
Ωστόσο, το Γρηγοριανό ημερολόγιο είναι λίγο πιο ακριβές: Υπάρχουν $97$ δίσεκτα έτη κάθε $400$ χρόνια, με μέσο όρο $365,2425$ ημέρες το χρόνο.
Μπορείτε να κάνετε καλύτερη προσέγγιση από το Γρηγοριανό ημερολόγιο; 
Βρείτε τους αριθμούς $L$ και $N$ (όπου το $N$ είναι μικρότερο από $400$) έτσι ώστε αν κάθε κύκλος $Ν$ ετών περιλαμβάνει $L$ δίσεκτα έτη, ο μέσος αριθμός ημερών ανά έτος να είναι όσο το δυνατόν πιο κοντά στις $365,24217$.

Ημερομηνίες γενεθλίων

Δύο φίλοι του Ιάκωβου, που τυχαίνει να είναι παντρεμένοι μεταξύ τους, έχουν γενέθλια στις $9$ Φεβρουαρίου και στις $18$ Νοεμβρίου. Όταν γράφονται αριθμητικά σε μορφή $MM/DD$, αυτές οι ημερομηνίες είναι $02/09$ και $11/18$. Ο Ιάκωβος σημείωσε ότι η τελευταία ημερομηνία περιλαμβάνει τόσο το άθροισμα όσο και το γινόμενο των τιμών της προηγούμενης ημερομηνίας. 
Με άλλα λόγια 
$11 = 02 + 09$ και $18 = 02 × 09$.
Πόσα ζεύγη ημερομηνιών υπάρχουν έτσι ώστε μία από τις ημερομηνίες να περιλαμβάνει τόσο το γινόμενο όσο και το άθροισμα των τιμών της άλλης ημερομηνίας (με οποιαδήποτε σειρά); 
Επίσης, σημειώστε ότι η σειρά των ημερομηνιών στο ζεύγος δεν έχει σημασία, επομένως τα $02/09$ και $11/18$ θα πρέπει να θεωρηθούν ίδιες με τις $11/18$ και $02/09$.

Ισοπαλία

Ο Μάξιμος και εγώ παίζουμε ένα παιχνίδι στο οποίο επιλέγουμε και οι δύο έναν αριθμό κρυφά. Ας ονομάσουμε τον αριθμό $m$ του Mάξιμου και τον αριθμό μου $z$. 
Αφού αποκαλύψουμε και οι δύο τους αριθμούς μας, η βαθμολογία του Mάξιμουείναι $m^z$, ενώ η βαθμολογία μου είναι $z^m$. Όποιος έχει το μεγαλύτερο σκορ κερδίζει.
Όταν παίξαμε πιο πρόσφατα, ο Mάξιμος και εγώ επιλέξαμε ξεχωριστούς ακέραιους αριθμούς. Παραδόξως, ισοφαρίσαμε - δεν υπήρχε νικητής! 
Ποιους αριθμούς επιλέξαμε;

Φέτες του τοστ

Έχετε μια σχάρα για τοστ με πέντε υποδοχές, τοποθετημένες σε μια σειρά. Κάθε υποδοχή έχει μια φέτα φρυγανισμένο ψωμί, την οποία αφαιρείτε μία κάθε φορά. 
Έχετε όμως, ένα κόλλημα και δεν αφαιρείτε τα διπλανά κομμάτια του τοστ το ένα μετά το άλλο. 
Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορείτε να αφαιρέσετε τις φέτες του τοστ;

Proof of L’ HÔPITAL’S RULE

Click on the image.

Είναι;

Μετατόπιση παραβολής

Αν μετατοπίσω την παραβολή $y = x ^2 – 3x + 2$, και με την μετατόπιση αυτή η παραβολή περάσει από τα σημεία $(1, 1)$ και $(2, 3)$, ποια θα είναι η εξίσωση της μετατοπισμένης παραβολής;

ΒΙΒΛΙΟ: The First Six Books of the Elements of Euclid

Click on the image.

Ελάχιστες κινήσεις

Τα ψηφία στη σκακιέρα υποδεικνύουν τον ελάχιστο αριθμό κινήσεων που απαιτούνται για να φτάσει αυτός ο ίππος σε ένα συγκεκριμένο τετράγωνο. 

Όγκος σφαίρας

Ισόπλευραα τρίγωνα και χρυσή τομή

Κατασκευή αρρήτων

Τριγωνομετρική παράσταση

Problem of the week: Triffids

$\dfrac{A}{B}=? $

Mathematicians Of The Day: 30th June

On this day in 1742, Leonard Euler claimed in a letter to Goldbach that prime numbers of the form 4n+ 1 are represented uniquely as a sum of two squares.
He also mentioned that 641 divides 232+1232+1232+1, thereby disproving Fermat's claim that all the so-called numbers Fermat numbers Fn=22n+1𝐹𝑛=22𝑛+1Fn​=22n+1 are prime. Years later we have not found another with n > 4 which is prime.
Click on Ⓟ for a poster.
Born:
Died:
1817: Li Rui

Σάββατο 29 Ιουνίου 2024

International Mathematical Olympiad 2020: Shortlisted Problems with solutions (pdf)

Indian National Mathematical Olympiad (INMO) | Problems and Solutions 1986 - 2024 (pdf)

Click on the image.

Isaac Newton on God

God is the same God, always and every where. He is omnipresent, not virtually only, but also substantially; for virtue cannot subsist without substance. 
In him are all things contained and moved; yet neither affects the other: God suffers nothing from the motion of bodies; bodies find no resistance from the omnipresence of God.

13άρι

Τοποθετήστε τους αριθμούς $1,2,3,4,5,6,7,8$ στους οκτώ κύκλους, έτσι ώστε το άθροισμα των αριθμών σε οποιαδήποτε γραμμή να είναι ίσο με $13$.

Είκοσι δύο

Συμπληρώστε τα κενά με τους αριθμούς $2,3,4$ και $8$ ώστε να γίνει σωστή η παρακάτω ισότητα:
_ + _ x _ - _ = 22

Πλήρης ομοφωνία

$3$ ομάδες μαθητών συνεδριάζουν για ένα θέμα που προέκυψε στο σχολείο τους.
  • Η ομάδα $Α$ έχει $42$ μαθητές που συμφωνούν.
  • Η ομάδα $Β$ έχει $36$ μαθητές που διαφωνούν.
  • Η ομάδα $Γ$ έχει $43$ μαθητές που λένε ίσως.
Η εικόνα δημιουργήθηκε από to DALL·E 3 (OpenAI).
Όταν ένας μαθητής από οποιαδήποτε ομάδα συναντά έναν μαθητή από άλλη ομάδα, αλλάζουν και οι δύο την απάντησή τους στη γνώμη της τρίτης ομάδας.
Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός συναντήσεων που χρειάζονται για να υπάρξει πλήρης ομοφωνία;

Οι κατακόρυφες γραμμές φαίνεται να γέρνουν προς τα αριστερά

THEOREM OF THE DAY: Gauss’s Law of Quadratic Reciprocity

Click on the image.

Olimpíada Brasileira de Matemática | Problemas e Soluções 1979 - 2023 (pdf)

Click on the image.

Ταξίδι με τρένο

[10] - IQ Challenge Question

Christmas Stocking Theorem

[8] - Algebraic Systems for Contests

Το ολοκλήρωμα της ημέρας 29/6/2024

Πως κατασκευάζουμε ένα ορθογώνιο ίσου εμβαδού με ένα δεδομένο τρίγωνο;

Δίνεται το τρίγωνο $AED$.
1. Σχεδιάζουμε μια ευθεία που διέρχεται από το $D$ και είναι παράλληλη προς το $AE$.
2. Διχοτομούμε το τμήμα $AE$ στο σημείο $G$.
3. Από το $G$ υψώνουμε μια κάθετη στην $AE$ που τέμνει την ευθεία του $1$ στο $H$.
4. Από το $Α$ υψώνουμε μια κάθετη στην $ΑΕ$ που τέμνει την ευθεία στο $1$ στο $Ι$.
5. Τότε το εμβαδόν του ορθογωνίου $AGHI$ είναι ίσο με το εμβαδόν του τριγώνου $AED$.
Απόδειξη;

Ο Πυθαγορισμός στο αρχαίο Άργος: φιλοσοφία, μαθηματικά και τέχνες

Mathematicians Of The Day: 29th June

On this day in 1552, Girolamo Cardan arrived in Edinburgh to treat the illness of the Archbishop of St Andrews. By the time Cardan left on the 13 September, the Archbishop was already recovering and Cardan accepted over two thousand gold crowns in payment.
Click on Ⓟ for a poster.
Born:
Died:

Ποιο θεώρημα της Γεωμετρίας αναγνωρίζετε;

$\dfrac{1}{3}= \sum_{i=1}^ \infty \dfrac{1}{4^i}$

Olimpiada Matemática de Centroamérica y el Caribe (OMCC) | Problems and Solutions 1999 - 2023 (pdf)

Click on the image.

Παρασκευή 28 Ιουνίου 2024

Pan African Mathematics Olympiad (PAMO) | Problems and Solutions 2000 - 2023 (pdf)

Click on the image.

Canadian Mathematical Olympiad (CMO) | Problems and Solutions 1969 - 2024 (pdf)

Click on the image.

Μπλε τρίγωνο

Να βρεθεί το εμβαδόν του μπλε τριγώννου.

THEOREM OF THE DAY: The Third Isomorphism Theorem

Click on the image.

Freshman's Dream

[9] - IQ Challenge Question

 
 A) $5$      B) $6$      Γ) $7$      Δ) $8$      E) $9$

Λέων ο Φιλόσοφος ή Μαθηματικός (790 - 869)

 Γιώργος Α. Κουσινιώρης - Παράρτημα ΕΜΕ Ηλείας  
ΟΛέων ο Φιλόσοφος ή Λέων ο Μαθηματικός γεννήθηκε. στην Κωνσταντινούπολη την τελευταία δεκαετία του 8ου αιώνα. 'Ηταν πε-ρίφημος Βυζαντινός λόγιος, ένας εκ των πρωτεργατών της Αναγέν-νησης της εποχής της Δυναστείας των Μακεδόνων, μαθηματικός, γεωμέτρης, αστρονόμος, μηχανικός και φιλόσοφος. 
Σαν χαρακτήρας ήταν ήπιος, ταπεινός και μετριοπαθής. Ο ίδιος δεν επιθυμούσε την αναγνώριση και τη δόξα. Φαίνεται μάλιστα να τις απέφευγε και τις θεωρούσε ανούσιες. Προκειμένου να λάβει την καλύτερη δυνατή μόρφωση, ταξίδεψε σε διάφορα μέρη και εντρύφησε στις βιβλιοθή-κες και στα αρχεία μοναστηριών. 
Τη στοιχειώδη εκπαίδευση την έλα-βε στην Ανδρο, όπου και πέρασε τα παιδικά του χρόνια. Κατόπιν, σπούδασε γραμματική στην Κωνσταντινούπολη, καθώς και φιλοσο-φία. Η μεγάλη του αγάπη όμως ήταν οι θετικές επιστήμες. 

Προσέγγιση του αριθμού $π$

Max Area

[9] - Challenging Limits

Το ολοκλήρωμα της ημέρας 28/6/2024

Πέμπτη 27 Ιουνίου 2024

THEOREM OF THE DAY: Archimedes’ Equiareal Map Theorem

Click on image.

Math in Movies: Mozart and the Whale (2005)

A romantic comedy drama about two autistic adults who fall in love and who are good with numbers, animals, art and words. It was a risky movie and according to wikipedia was criticized for the stereotype that people with autism spectrum are typically savants. 
Click on image.
A scene is cited in this paper: A couple of kids ask him how much is 5589 burgers times 3972 divided by 17 and he instantly produces the correct, 10-digit answer. The paper also mentions the movies Rain Man from 1988 or Mercury Rising from 1998.

$(x,y)=(?,?)$