Challenging Recreational Mathematics: 05/01/2024

Παρασκευή 31 Μαΐου 2024

Harvard University: ADVANCED CALCULUS (Revised Edition)

Click here.

Crux Mathematicorum Vol. 50, No. 5

MathemAttic: Problems - Solutions
Problem Solving Vignettes
Olympiad Corner: Problems - Solutions
Gregarious and Reclusive Triples

Click here.

Σωστό αποτέλεσμα;

Οι $ab, cd$ και $ef$ είναι διψήφιοι φυσικοί αριθμοί. Ένας μαθητής πολλαπλασίασε το $ab$ με το $24$ ως εξής:

και βρήκε ότι το γινόμενο είναι $882$.

Σύμφωνα με αυτό, ποιο είναι το σωστό αποτέλεσμα αυτού του πολλαπλασιασμού;

Α) $480$ Β) $504$ Γ) $528$ Δ) $552$ Ε) $576$

10ο βήμα

Το μοτίβο που δίνεται στο σχήμα σχηματίζεται χρησιμοποιώντας σχήματα $Υ$.

Σύμφωνα με αυτό, πόσα $Υ$ σχηματίζονται συνολικά στο μοτίβο στο βήμα $10$;

Α) $255$ Β) $511$ Γ) $513$ Δ) $1023$ E) $1025$

$\dfrac{n}{m}=?$

Έστω $m$ και $n$ δύο μη μηδενικοί και διαφορετικοί πραγματικοί αριθμοί, μία από τις ρίζες της εξίσωσης

$x^2 + (m + 1)x + n - m = 0$

είναι ο αριθμός $m - n$.

Να βρεθεί ο $\dfrac{n}{m}$;

Α) $2$ Β) $3$ Γ) $4$ Δ) $5$ Ε) $6$

THEOREM OF THE DAY: The Friendship Theorem

Click here.

Figurate numbers: Triangular, Pentagonal Polygonal numbers

Triangular numbers

The $n$th triangular number is

$T_n =1+2+3+ ··· + n = \dfrac{1}{2}n(n + 1)$.

The first few of these are

$1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, ... .$

Pentagonal numbers

The pentagonal numbers are the sums of the arithmetic progression

$1+4+7+ ··· + (3n − 2) + ··· $.

The nth pentagonal number is

$P_n = \dfrac{1}{2}n(3n − 1)$.

The polygonal numbers $P_{n,k}$

More generally, for a fixed $k$, the $k$-gonal numbers are the sums of the arithmetic progression

$1+(k − 1) + (2k − 3) + ···$.

The nth $k$-gonal number is

$P_{k,n} = \dfrac{1}{2}n((k − 2)n − (k − 4))$.

$a+b+c+d=?$

Έστω $a, b, c$ και $d$ πραγματικοί αριθμοί

$ax^2 + bx + 12 ≥ 0$

$cx^2 + dx + 24 ≤ 0$.

Για την εύρεση του συνόλου λύσεων του συστήματος των ανισοτήτων χρησιμοποιείται ο παρακάτω πίνακας και το σύνολο λύσεων είναι $[-2, -1] \cup [4, 6]$.

Σύμφωνα με αυτό, ποιο είναι το άθροισμα των $a+b+c+d$;

Α) $15$ Β) $16$ Γ) $17$ Δ) $18$ Ε) $19$

Proof Without Words: The Area of an Arbelos

Σύστημα ανισοτήτων

Στο σχήμα δίνονται οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων $f, g$ και $h$.

Δεδομένου $x ∈ [-2,2]$ και

$f(x)-g(x) > 0$

$g(x)-h(x) < 0$

ποιο από τα παρακάτω είναι το σύνολο λύσεων του συστήματος ανισοτήτων

Α) $(-2,-1)$ Β) $(-1,0)$ Γ) $(1,2)$

Δ) $(-2,-1) \cup (1,2)$ Ε) $(-1,0) \cup (1,2)$

Το ολοκλήρωμα της ημέρας 31/5/2024

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα

\[\int_1^e \frac{\log(x^{2024})}{x} \mathrm dx\]

ΙΣΤΟΣΕΛΙΔΕΣ: Mathematics and Art

- Bridges

- ArtSci Salon

- Pattern Formation Experiments by University of Toronto Physics Professor, Stephen Morris

- Sequential Math (Teaching Math in Comic Form)

- Making Math Visible (Math Workshops with a focus on creating artistic mathematical structures)

- Hysteresis and Yarn Loops

- Crochet Coral Reef (Using geometry to create coral via yarn and crocheting)

- Maths Craft

Διαβάστε περισσότερα »

Γαλάζιος τόπος

Στο παρακάτω διάγραμμα, δίνεται η ευθεία $2y - 3x - 12 = 0$ και το τεταρτοκύκλιο με κέντρο $Ο$ που τέμνει τον άξονα $x$ στο σημείο $D(-2, 0)$.

Να βρεθeί το εμβαδόν της χρωματισμένης περιοχής;

A brief history of vector calculus

Source: sequentialmath

Four Fours Puzzle: Στόχος 1

Χρησιμοποιώντας τέσσερα τεσσάρια και όποια πράξη θέλετε και δυνάμεις, ριζικά, παραγοντικά - όχι απαραίτητα όλα - να σχηματίσετε τον αριθμό $1$.

Catalan's minimal surface

In differential geometry, Catalan's minimal surface is a minimal surface originally studied by Eugène Charles Catalan in 1855.

It has the special property of being the minimal surface that contains a cycloid as a geodesic. It is also swept out by a family of parabolae.

The surface has the mathematical characteristics exemplified by the following parametric equation:

\begin{aligned}x(u,v)&=u-\sin(u)\cosh(v)\\y(u,v)&=1-\cos(u)\cosh(v)\\z(u,v)&=4\sin(u/2)\sinh(v/2)\end{aligned}

en.wikipedia.org

Stanford Math Tournament - PAST TESTS

Click here.

Το εμβαδόν ενός τετράγωνου πλαισίου που σχηματίζεται με την τοποθέτηση τεσσάρων κορδονιών ίσου μήκους μεταξύ τους και στερεώνονται στον τοίχο από τις κορυφές του με καρφιά, όπως φαίνεται στο σχήμα 1, είναι $100$ τετραγωνικές μονάδες.

Στο σχήμα 2, το τετράγωνο αυτό πλάισιο έγινε ρόμβος. Το ύψος των κορυφών του $Α$ και $Β$ από το έδαφος μειώθηκε κατά $6$ μονάδες η καθεμία, ενώ η θέση των άλλων δύο κορυφών δεν άλλαξε.

Πόσες τετραγωνικές μονάδες μειώθηκε το εμβαδόν που καλύπτει το πλαίσιο στον τοίχο;

Physics Notes: Stun gun

Five Fives Puzzle: Στόχος 6

Χρησιμοποιώντας πέντε πεντάρια και όποια πράξη θέλετε και δυνάμεις, ριζικά, παραγοντικά, λογαρίθμους - όχι απαραίτητα όλα - να σχηματίσετε τον αριθμό $6$.

Can you prove that these are the only five Platonic Solids?

Complete Solution To The Twins Paradox

Πέμπτη 30 Μαΐου 2024

Σωστές ισότητες

Μετακινήστε όσο το δυνατόν λιγότερους αριθμούς, για να γίνουν σωστές οι παρακάτω ισότητες:

Ο κ. Σμιθ και σοφέρ του (2)

O κ. Σμιθ τελειώνει ξανά τη δουλειά του νωρίτερα από το κανονικό και παίρνει ένα τρένο νωρίς για το σπίτι. Αυτή τη φορά φτάνει στον προαστιακό του σταθμό μισή ώρα νωρίτερα.

Και πάλι, αντί να περιμένει τον σοφέρ, ξεκινάει με τα πόδια για το σπίτι. Και όπως πριν, συναντά στο δρόμο τον σοφέρ του, ο οποίος τον παίρνει αμέσως και τον πηγαίνει σπίτι.

Πόσα λεπτά νωρίτερα φτάνουν στο σπίτι αυτή τη φορά;

Περιπλανώμενη πριγκίπισσα

Μια πριγκίπισσα ζει σε ένα παλάτι που έχει στη σειρά $17$ δωμάτια. Κάθε μέρα μετακομίζει σε ένα νέο δωμάτιο δίπλα στο τελευταίο (π.χ., αν κοιμάται στο δωμάτιο $5$ ένα βράδυ, τότε θα κοιμάται στο δωμάτιο $4$ ή στο δωμάτιο $6$ το επόμενο βράδυ).

Μπορείτε να ανοίγετε μια πόρτα κάθε βράδυ. Αν την βρείτε, θα γίνετε ο πρίγκιπας της. Μπορείτε να τη βρείτε σε έναν πεπερασμένο αριθμό κινήσεων;

Κόκκινο !

Κάθε ένα από τα τρία άτομα φορά είτε ένα κόκκινο καπέλο είτε ένα μπλε καπέλο. Ο καθένας μπορεί να δει το χρώμα των καπέλων των άλλων αλλά όχι το δικό του. Καθένας καλείται να σηκώσει το χέρι του αν δει ένα κόκκινο καπέλο σε έναν άλλο παίκτη.

Ο πρώτος που θα μαντέψει σωστά το χρώμα του δικού του καπέλου κερδίζει. Και οι τρεις σηκώνουν τα χέρια ψηλά. Περνούν μερικά λεπτά στα οποία δεν γίνονται εικασίες και μετά ένας παίκτης λέει "Κόκκινο" και κερδίζει.

Πώς ήξερε το χρώμα του καπέλου του;

Είναι ή όχι;

Είναι ο αριθμός

$94.271.013$

το άθροισμα $12$ διαδοχικών ακεραίων αριθμών;

2023 φοίνικες

Κατά μήκος της λεωφόρου του Πανεπιστημίου του Στάνφορντ υπάρχουν 2023 φοίνικες που είναι είτε κόκκινοι, πράσινοι ή μπλε.

Έστω οι θετικοί ακέραιοι $R, G, B$ ο αριθμός των κόκκινων, πράσινων και μπλε φοινίκων αντίστοιχα.

Δεδομένου ότι

$R^3+ 2B +G = 12345$

υπολογίστε το $R$.

THEOREM OF THE DAY: The Spherical Law of Cosines

Click here.

Japanese Temple Geometry I

EULER'S RELATION

Euler’s Formula: A Complete Guide

Ωραίες ώρες

Καλούμε μια ώρα ωραία σε ένα ψηφιακό ρολόι $12$ ωρών, αν το άθροισμα των ψηφίων των λεπτών είναι ίσο με την ώρα.

Για παράδειγμα, οι ώρες $10:55$, $3:12$ και $5:05$ είναι ωραίες στιγμές.

Πόσες ωραίες στιγμές συμβαίνουν κατά τη διάρκεια μιας ημέρας;

(Δεν θεωρούμε χρόνους της μορφής 00:XX.)

Stanford Math Tournament 2023

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Μπορείς να το λύσεις αυτό; [63]

Δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης $y = f(x)$ στο ορθοκανικό σύστημα συντεταγμένων. Το εμβαδόν της περιοχής με μπλε χρώμα είναι $5$ τετραγωνικές μονάδες.