Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Μπορείς να το λύσεις αυτό; [53]

Carl Friedrich Gauss - The Greatest Mathematician Since Antiquity

German 10-Deutsche Mark Banknote (1993)

30 April 1777: Born Carl Friedrich Gauss

German 10-Deutsche Mark Banknote (1993) with formula and graph of normal distribution; portrait as mirror image of the Jensen portrait (background: some Göttingen buildings).

Problem of the week: Different digits

Όλο εκπλήξεις

Ο Άγγελος είχε δύο αριθμούς γραμμένους στον πίνακα. Όταν πρόσθεσε σε αυτούς τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη και το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο τους, πήρε τέσσερις διαφορετικούς αριθμούς μικρότερους από το $100$. 

Έμεινε έκπληκτη όταν διαπίστωσε ότι όταν διαίρεσε τον μεγαλύτερο από αυτούς τους τέσσερις αριθμούς με τον μικρότερο, πήρε τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη όλων των τεσσάρων αριθμών. Ποιους αριθμούς είχε γράψει ο Άγγελος στον πίνακα;

Nicolas Bourbaki: ένας κορυφαίος μαθηματικός που… δεν υπήρξε ποτέ !

Όσοι σπούδασαν Μαθηματικά μετά τον β’ παγκόσμιο πόλεμο, πρέπει να είχαν τουλάχιστον μια φορά στα χέρια τους ένα βιβλίο του Nicolas Bourbaki (Μπουρμπακί). Τα βιβλία του «Eléments de mathématique» αποτελούν για καθηγητές και φοιτητές, Μαθηματικούς, Φυσικούς και Μηχανικούς αναντικατάστατο βοήθημα 

για τη μελέτη των καθαρών και εφαρμοσμένων μαθηματικών, έχουν κυκλοφορήσει δε σε πολλές γλώσσες και σε πολλαπλές εκδόσεις. Οι μέθοδοι ανάπτυξης μαθηματικών θεμάτων και οι συμβολισμοί του Μπουρμπακί έχουν καθιερωθεί και αποτελούν αναπόσπαστο μέρος της γνώσης όλων των νεότερων επιστημόνων.

Μήπως είναι ίσες;

Στο οξυγώνιο τρίγωνο $KLM$, η γωνία $KLM$ είναι $68◦$. Το σημείο $V$ είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου και το σημείο $P$ είναι το ίχνος του ύψους στην πλευρά $LM$. 

Η διχοτόμος της γωνίας $PVM$ είναι παράλληλη προς την πλευρά $KM$. Να συγκριθούν οι γωνίες $MKL$ και $LMK$.

Ένα εκατομμύριο

Εκφράστε τον αριθμό $1000000$ χρησιμοποιώντας μόνο ψηφία $9$ και όλες τις αλγεβρικές πράξεις $+, -,  \times , \div$ και δύναμη και τετραγωνική ρίζα. 

Προσδιορίστε τουλάχιστον τρεις διαφορετικές λύσεις.

Scientist of the Day: Sir J.J Thomson

USA Mathematical Olympiad 2024

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Όμορφες ζέρμπερες

Η Φλώρα σκεφτόταν τι είδους ανθοδέσμη θα έπαιρνε στη μητέρα της για τη γιορτή της μητέρας. Σύμφωνα με τον τιμοκατάλογο στο ανθοπωλείο, υπολόγισε ότι είτε αγοράσει $5$ κλασικές ζέρμπερες

είτε $7$ μινιτζέρμπερες, η ανθοδέσμη θα κοστίσει το ίδιο μετά την προσθήκη της διακοσμητικής κορδέλας, δηλαδή $29,50$ ευρώ. Αν όμως αγόραζε μόνο $2$ μίνι ζέρμπερες και $1$ κλασική ζέρμπερα χωρίς άλλα αξεσουάρ, θα πλήρωνε $10,20$ ευρώ. 

Πόσο κοστίζει η μία μίνι ζέρμπερα;

Five Fives Puzzle: Στόχος 4

Χρησιμοποιώντας πέντε πεντάρια και όποια πράξη θέλετε και δυνάμεις, ριζικά, παραγοντικά, λογαρίθμους - όχι απαραίτητα όλα - να σχηματίσετε τον αριθμό $4$.

Why would you experience time differently when moving at the speed of light?

The problem with the concept of time dilation - as well as the rest of relativity - is that it’s not very intuitive. We like things that are intuitive and we can wrap our heads around, but relativity is just not one of those things.

All of it is dependent upon the fact that the speed of light is constant regardless of the relative speed of the observer. This doesn’t match what we observe intuitively for massive objects. For example, if I’m on a train car moving at 20 km/h, and I throw a ball backward at that same speed, I will observe that ball moving away from me at 20 km/h.

Gerolamo Cardano: Ο αιρετικός μαθηματικός της Αναγέννησης

Ο Τζερόλαμο Καρντάνο (Gerolamo Cardano) ήταν ένας Ιταλός πολυμαθής, γνωστός κυρίως για τα μαθηματικά του επιτεύγματα. Ήταν μια αμφιλεγόμενη προσωπικότητα, με μια ταραχώδη ζωή γεμάτη σπουδαίες ανακαλύψεις, σκάνδαλα και προσωπικές τραγωδίες.

Ο Τζερόλαμο Καρντάνο (Gerolamo Cardano , 24 Σεπτεμβρίου 1501 – 21 Σεπτεμβρίου 1576) ήταν Ιταλός πολυμαθής λόγιος του οποίου οι γνώσεις εκτείνονταν σε όλο το εύρος των θετικών επιστημών όπως μαθηματικά, βιολογία, ιατρική, χημεία, αστρολογία και αστρονομία, φιλοσοφία και φιλολογία, καθώς και τυχερά παιχνίδια.

$1 : 3 : 5 : 7 : 9$

Όταν το ισόπλευρο τρίγωνο και τα «δελτοειδή» πάνω του έχουν το ίδιο ύψος, η αναλογία των εμβαδών τους είναι $1 : 3 : 5 : 7 : 9$. 

Τι θα συμβεί αν τα σχήματα τηλεσκοπηθούν έτσι ώστε τα εμβαδά τους να είναι ίδια. Ποια είναι τότε η αναλογία των υψών τους;

Το ολοκλήρωμα της ημέρας 30/4/2024

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα

IMO 1994 - Problem 4

Euler-Lagrange equation

The Euler-Lagrange equation is a fundamental equation in the field of analytical mechanics, specifically within the framework of Lagrangian mechanics. 

It provides a method to derive the equations of motion for a system based on a function called the Lagrangian, L, which represents the difference between the kinetic energy (T) and potential energy (V) of the system, $L = T−V$. 

Blue Area=?

@PerHenrikChris1

Extension of Pascal's Triangle $(a+b+c)^n$

Παζλ με σπιρτόξυλα [4]

Ριζικό να σου πετύχει

Nα απλοποιηθεί 

Βλέποντας τον Πυθαγόρα - 1

Αποδείξεις χωρίς λόγια. Πυθαγόρειο θεώρημα.

Παρακάτω είναι ένα βίντεο που απεικονίζει αυτή την απόδειξη.

Πηγή: plus.maths

Μέρος πλευράς

Στο παρακάτω σχήμα έχουμε δύο τετράγωνα. Να βρεθεί το μήκος $χ$ του ευθύγραμμου τμήματος.

Η οδός Henri-Poincaré είναι ένας δρόμος στο 20ο διαμέρισμα του Παρισιού

Rue Henri-Poincaré

$x^x=x$

Να λυθεί η εξίσωση

Σήμερα είναι η 121η ημέρα του έτους

Πώς επιπλέουν τα πλοία;

$\dfrac{(DEFG)}{R}= \dfrac{555}{76} $

thanasis gakopoulos @TGakopoulos

Αριθμογρίφος Νο 376

Ματ σε 2

Παίζουν τα λευκά και κάνουν ματ σε 2 κινήσεις.

Albert Einstein: «Pure mathematics is, in its way, the poetry of logical ideas»

Physics Notes: Fermi-Dirac distribution function

30 April: On this day in 2018 Google released a Gauss doodle

41st Balkan Mathematical Olympiad 2024

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Άντε να συνεννοηθείς

$25$ φίλοι πρόκειται να παραγγείλουν πίτσα. Σε $7$ από τους φίλους αρέσει το πεπερόνι στην πίτσα τους, στους $4$ από αυτούς τους $7$ αρέσει τόσο το πεπερόνι όσο και τα μανιτάρια, ενώ στους $3$ από αυτούς τους $4$ αρέσουν και οι ελιές. 

Συνολικά σε $8$ από τους φίλους αρέσουν τα μανιτάρια, και από αυτούς τους $8$, στους $2$ αρέσουν τα μανιτάρια και οι ελιές αλλά όχι το πεπερόνι. Μόνο σε $1$ άτομο αρέσουν μόνο οι ελιές. 

Σε πόσους από τους φίλους δεν αρέσουν καθόλου ελιές, πεπερόνι και μανιτάρια στην πίτσα τους; 

(α) $13$      (β) $7$      (γ) $2$      (δ) $1$      (ε) κανένα από τα παραπάνω

Γινόμενο αποστάσεων

Ποια από τις παρακάτω εξισώσεις περιγράφει το σύνολο όλων των σημείων $(x, y)$, έτσι ώστε το γινόμενο της απόστασης από $(x, y)$ έως $(−2, 0)$ και της απόστασης από $(x, y)$ έως $(2, 0 )$ να είναι $4$;

α) $(x^ 2 + y^ 2 )^ 2 = 32 $

β) $x ^4 + 2x^ 2y^ 2 + y^ 4 + 8y^ 2 − 8x^ 2 + 12 = 0$ 

γ) $x ^4 − 8x ^2 + y^ 4 = 0$ 

δ) $(x^ 2 + y^ 2 )^ 2 + 8(y^ 2 − x^ 2 ) = 0$ 

ε) κανένα από τα παραπάνω

Συμμετρική συνάρτηση

Στο πιο κάτω σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση συνάρτησης $f$ στο $[1, 5]$ η οποία περνά από τα σημεία $A(1, 5), B(5, 1)$ και είναι συμμετρική ως προς το $M(3, 3)$. 

Το εμβαδόν του σκιασμένου χωρίου ισούται με:

Α. $18$       Β. $12$       $Γ. 9$    

Δ. $6$      Ε. Δεν μπορεί να προσδιοριστεί

ΚΕ΄ ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ 2024

Τρία εμβαδά

Να βρεθεί το άθροισμα των εμβαδών των τριών τετραγώνων.

Πόσους φύλακες χρειάζεται μία πινακοθήκη;

Βασίλειος Δρακόπουλος (Ph.D) 

Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση 

Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο

Μέσα από ένα φανταστικό περιστατικό διατυπώνουμε ένα από τα παραδοσιακότερα προβλήματα της Υπολογιστικής Γεωμετρίας την φρούρηση μίας πινακοθήκης. 

Σκιαγραφώντας την έως τώρα απλούστερη όλων απόδειξη του βασικού θεωρήματος, οδηγούμαστε προς μία μέθοδο τριγωνοποίησης της υπό εξέταση αίθουσας. Αναφέρονται, τέλος, η χρονική πολυπλοκότητα της μεθόδου, καθώς και άλλα παρόμοια ενδιαφέροντα προβλήματα.

Κάντε κλικ στην εικόνα, για να διαβάσετε το άρθρο.

Επίσκεψη στον ζωολογικό κήπο

Ο ζωολογικός κήπος πρόσφερε στις σχολικές επισκέψεις μια ευνοϊκή τιμή εισόδου: κάθε πέμπτος μαθητής λαμβάνει ένα δωρεάν εισιτήριο. Ο καθηγητής του τμήματος $Γ_6$ υπολόγισε ότι αν αγοράσει εισιτήρια εισόδου για παιδιά από την τάξη του, θα εξοικονομήσει τέσσερα εισιτήρια και θα πληρώσει $19,95$ €. 

Η καθηγήτρια του τμήματος $Β_6$ του πρότεινε να αγοράσει εισιτήρια για τα παιδιά και των δύο τάξεων ταυτόχρονα, οπότε θα πληρώσουν $44,10$ €. Πόσα παιδιά από τα τμήματα $Γ_6$  και πόσα παιδιά από το τμήμα $Β_6$ πήγαν στον ζωολογικό κήπο; 

(Η τιμή του εισιτηρίου σε σεντ είναι ακέραια)

Δώρο ένα βιβλίο

Ο Ιάσονας έλαβε ως δώρο ένα βιβλίο για τα Χριστούγεννα, το οποίο άρχισε να διαβάζει αμέσως την παραμονή των Χριστουγέννων, στις $24$ Δεκεμβρίου. Διάβαζε τον ίδιο αριθμό σελίδων κάθε μέρα μέχρι τις $31$ Ιανουαρίου του νέου έτους. 

Εκείνη την ημέρα διαπίστωσε ότι είχε διαβάσει μέχρι στιγμής $78$ σελίδες, δηλαδή μόλις το ένα τρίτο του βιβλίου. Την ίδια στιγμή, αυτός ανακάλυψε ότι αν ήθελε να τελειώσει το βιβλίο για τα γενέθλιά του, θα έπρεπε να διαβάζει τέσσερις περισσότερες σελίδες κάθε ημέρα, ξεκινώντας από αύριο. 

Προσδιορίστε πότε είναι τα γενέθλια του Ιάσονα.

THEOREM OF THE DAY: The Hardy–Ramanujan Asymptotic Partition Formula

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Αλγόριθμος Gauss για τον υπολογισμό ημερομηνίας του Ορθόδοξου Πάσχα

O μεγάλος μαθηματικός Carl Friedrich Gauss (1777-1855) είχε ασχοληθεί με τον προσδιορισμό της ημερομηνίας του Πάσχα.

Επειδή οι Εβραίοι γιόρταζαν το Πάσχα κατά την ημέρα της Πανσέληνου που γινόταν μετά την εαρινή ισημερία και επειδή ο Χριστός αναστήθηκε μετά το Εβραϊκό Πάσχα, η Α’ Οικουμενική σύνοδος που έγινε στη Νίκαια της Βιθυνίας το 325 μ.Χ. καθόρισε τον παρακάτω συνοδικό κανόνα:

6η Διαλυκειακή Δοκιμασία Προσομοίωσης στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ΄ Λυκείου “Θεόδωρος Φυλακτός” 2024

Κάντε κλικ στην πιο πάνω εικόνα για να δείτε τα θέματα και στην παρακάτω εικόνα για να δείτε τις απαντήσεις και την μοριοδότηση τους.

Ingenious mathematical problems and methods by L.A.Graham

I started reading this book in 2011 when i went to Ranchi with my mom. It’s a collection of problems. My favorite is still the “Truck in the desert” problem.

2. Largest product

28. Euclid’s put put problem

81. Old man and his son

84. All four ailments

95. The Ambulatory commuter

Source: sumantmath

Ζωολογικός κήπος

Η εικόνα δείχνει πέντε περιβόλους του ζωολογικού κήπου. Κάθε περίβολος κατοικείται από ένα από τα πέντε είδη ζώων. 

Γνωρίζουμε ότι:

• το περίγραμμα της καμηλοπάρδαλης έχει πέντε πλευρές,
• το περίγραμμα των πιθήκων δεν γειτνιάζει ούτε με το περίβλημα του ρινόκερου ούτε με το περίβλημα της καμηλοπάρδαλης,
• το περίγραμμα του λιονταριού έχει τον ίδιο αριθμό πλευρών με το περίβλημα των πιθήκων,
• οι φώκιες έχουν μια λίμνη στο περίγραμμα τους.

Προσδιορίστε ποια ζώα βρίσκονται σε ποιον από τους 5 χώρους. 

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Σειρά επαναληπτικών θεμάτων που προτείνει ο Θ. Ποδηματάς και λύνει ο Β. Κακαβάς - ΘΕΜΑ 13ο

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Μια νέα πρωτοβουλία με συνδρομή των αγαπητών μελών της lisari team Θωμάς Ποδηματάς και Βασίλης Κακαβάς, για τους μαθητές της Γ΄ Λυκείου.

Ο Θωμάς θα προτείνει κάθε Κυριακή μια άσκηση και την επόμενη Κυριακή ο Βασίλης θα δίνει υπόδειξη για την άσκηση αυτή! Μια προσπάθεια για την καλύτερη και άρτια προετοιμασία των μαθητών ενόψει των Πανελλαδικών Εξετάσεων.

Πηγή: lisari

Διάμεσος κάθετη

Από σημείο $P$ εκτός κύκλου φέρνουμε τα εφαπτόμενα τμήματα $PB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,PC$. 

Ας είναι $A$ τυχαίο σημείο του μικρού τόξου $BC$. Αν $E\,\,\kappa \alpha \iota \,\,Z$ οι προβολές του $P$ στις $AB\,\,,\,\,AC$ και $M$ το μέσο της χορδής $BC$. Δείξετε ότι

$MA \bot EZ$.

Πηγή: mathematica

Άλγεβρα Β΄ Λυκείου: Επαναληπτική άσκηση

Να λύσετε την ανίσωση:

 $\displaystyle {{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{f(x)g(x)}}\ge {{\left( \dfrac{1}{8} \right)}^{g(x)}}$

 αντλώντας τις απαραίτητες πληροφορίες από το παρακάτω σχήμα.

Πηγή: mathematica