International Mathematical Olympiad 2020, Problem 2

Ίσοι λόγοι σε ρόμβο

Θεωρούμε τον ρόμβο . Οι τέμνονται στο , όπου και .

Να εξεταστεί αν ισχύει: 

.

Πηγή: mathematica

Πραγματικές γιοκ

Αν $q>0$ και $p$ είναι πραγματικός αριθμός, να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο

$$x^4-px^3+qx^2-\sqrt{q}x+1=0$$

δεν έχει πραγματικές ρίζες.

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Επαναληπτικό θέμα

 Του Κωνσταντίνου Γκούλη  

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Ύψος τριών στερεών

Χορός σημείων σε κανονικά πολύγωνα

Περί ορθογωνίων ο λόγος

Στο παρακάτω ορθογώνιο $ACKI$ σημειώνονται δύο παράλληλες προς τις πλευρές και μία διαγώνιος. Τα τρίγωνα $ABD$ και $GHK$ είναι ίσα. 

Να βρεθεί ο λόγος των εμβαδών των ορθογωνίων $ABFE$ και $FHKJ$.

Five Fives Puzzle: Στόχος 33

Χρησιμοποιώντας πέντε πεντάρια και όποια πράξη θέλετε και δυνάμεις, ριζικά, παραγοντικά - όχι απαραίτητα όλα - να σχηματίσετε τον αριθμό $33$.

International Mathematical Olympiad 1965, Problem 4

Το παράδοξο του τροχού του Αριστοτέλη

Φαίνεται ότι οι κύκλοι είναι ίσοι;

Υλικά ανακύκλωσης

Ο πελάτης που φέρνει τα υλικά στην ανακύκλωση είναι υποχρεωμένος να ζυγίσει το φορτωμένο αυτοκίνητο  και να το ξαναζυγίσει μετά την εκφόρτωση των υλικών. 

Ο Παναγιώτης και ο Ματθαίος έκαναν λάθος. Όταν ζυγίστηκε το φορτωμένο αυτοκίνητο, ο Παναγιώτης ανέβηκε στη ζυγαριά και όταν ζυγίστηκε το αυτοκίνητο χωρίς φορτίο, ο Ματθαίος ήταν επάνω στο φορτηγό αντί για τον Παναγιώτη. Ο υπεύθυνος της καταγραφής σημείωσε διαφορά $332$ κιλών. 

Στη συνέχεια, ο υπεύθυνος και ο Παναγιώτης στάθηκαν μαζί στην κενή ζυγαριά, μετά ο ίδιος ο Ματθαίος, και η ζυγαριά έδειξε διαφορά $86$ κιλών. 

Στη συνέχεια, ο υπεύθυνος και ο Ματθαίος ζυγίστηκαν μαζί, μετά μόνος ο Παναγιώτης και η ζυγαριά έδειξε διαφορά $64$ κιλών. 

Πόσο ζύγιζαν τα υλικά ανακύκλωσης;

Ματ σε 2 κινήσεις

Παίζουν τα λευκά και κάνουν ματ σε 2 κινήσεις.

Μεταβλητή ευθεία δια σταθερού σημείου (17)

Δίνεται τραπέζιο με και έστω τυχόντα σημεία στο εσωτερικό του ώστε να είναι και . 

Αποδείξτε ότι η ευθεία , όπου και περνάει από το σημείο .

Πηγή: mathematica

Αδέσποτη πέτρα

Μετά την πρόσκρουση μιας πέτρας, σε παράθυρο ενός σπιτιού το τζάμι ράγισε έτσι ώστε να σχηματιστούν τέσσερα μικρότερα τρίγωνα με κοινή κορυφή στο σημείο της πρόσκρουσης. 

Ο τεχνίτης που ήρθε να αλλάξει το τζάμι παρατήρησε ότι:

• το γυάλινο πάνελ είχε σχήμα ορθογωνίου, το οποίο είχε πλάτος $8$ dm και ύψος $6$ dm,
• το τρίγωνο στα δεξιά είχε τρεις φορές το εμβαδόν του τριγώνου στα αριστερά,
• το τρίγωνο στα αριστερά είχε διπλάσιο εμβαδόν από το αποκάτω τρίγωνο.

Να βρεθούν οι αποστάσεις του σημείου κρούσης από τις πλευρές του ορθογωνίου.

Μελετηρά κορίτσια

Η Iωάννα, η Mαρία, η Λουκία, η Σωτηρία και η Zωή διαγωνίστηκαν στην ανάγνωση του ίδιου βιβλίου. Σε μία ώρα, η Λουκία κατάφερε να διαβάσει $32$ σελίδες, που ήταν ο μέσος όρος των σελίδων που κατάφεραν να διαβάσουν η Σωτηρία και η Ζωή. 

Η Ιωάννα διάβασε $5$ σελίδες περισσότερες από τη Zωή και η Mαρία διάβασε $8$ σελίδες λιγότερες από την Σωτηρία. Κανένα κορίτσι δεν διάβασε τον ίδιο αριθμό σελίδων και το χειρότερο αποτέλεσμα ήταν $27$ σελίδες. 

Βρείτε πόσες σελίδες έχει διαβάσει κάθε κορίτσι.

Physics Notes: Nuclear Reaction

Αριθμογρίφος Νο 362

Εμβαδά με χρώματα [48]

@Eduard16180

Μαθηματικό κάδρο

Από το σαλόνι του σπιτιού ενός μαθηματικού.

Δεν υπάρχει πουθενά ζωγραφισμένο άλογο !

Exiting new proof of Conway's Circle Theorem

Click on image.

American Invitational Mathematics Examination (AIME) 1989, Problem 9

Εν κινήσει

Maximum rectangle area

Click on image.

THEOREM OF THE DAY: Arrow’s Impossibility Theorem

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Τι είναι τα μαθηματικά;

«Τα μαθηματικά συνίστανται στην απόδειξη του πιο προφανούς πράγματος με τον λιγότερο προφανή τρόπο».

– Polya, George, στο N. Rose Mathematical Maxims and Minims, Raleigh NC:Rome Press Inc., 1988.

Εμβαδόν γραμμοσκιασμένου

Five Fives Puzzle: Στόχος 34

Χρησιμοποιώντας πέντε πεντάρια και όποια πράξη θέλετε και δυνάμεις, ριζικά, παραγοντικά - όχι απαραίτητα όλα - να σχηματίσετε τον αριθμό $34$.

Αναστήλωση των Γεωμετρικών Αποδείξεων του Θεοδώρου του Κυρηναίου για το Ασύμμετρο των Ριζών του 3, 5,... 17

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Δύο σκάλες

Στο σπίτι μας, έχουμε δύο διαφορετικές σκάλες μεταξύ των δύο ορόφων. Σε καθεμία από αυτές τις σκάλες, όλα τα σκαλοπάτια έχουν το ίδιο ύψος. 

Στη μία από τις σκάλες κάθε σκαλί έχει $10$ cm ύψος, η άλλη έχει $11$ σκαλοπάτια λιγότερα από την πρώτη. Ανέβαινα πέντε φορές και κατέβηκα πέντε φορές κατά τη διάρκεια της ημέρας, επιλέγοντας τυχαία ανάμεσα στις δύο σκάλες. 

Συνολικά, ανέβηκα τον ίδιο αριθμό σκαλοπατιών σε κάθε μια από τις σκάλες. 

Ποια είναι η διαφορά ύψους μεταξύ των ορόφων;

Solve the problem !

“Hello, I’m coming to your seminar. But first where’s the tea?”

Feynman started to write some physics equations on the blackboard rightly before the seminar while he was writing, Einstein entered the hall and told him, “Hello, I’m coming to your seminar. But first where’s the tea?” It was Feynman’s first encounter with Einstein. 

When the seminar finally started, Feynman’s hands were shaking, in the beginning, seeing all those great minds of the time. He would call them monster minds. 

But as he started with the seminar and dug deep down into the actual topic he was fearless and couldn’t think of anything else except the topic he was explaining. 

He said, “the moment I start to think about Physics, and have to concentrate on what I’m explaining, nothing else occupies my mind. I’m completely immune to being nervous.”

@ Physics In History

The mathematics of honeycomb

Nature is amazing. Things are always arranged in elegant patterns. Actually, we can often use mathematical concepts to analyse these patterns. 

Many animals and even plants in nature are mathematicians. In this article, we will concentrate on beestheir honeycombs are great works of maths. Everyone knows that honeycomb consists of hexagons. But why? The most important reason is that hexagon is one of the few types of regular polygons that can cover up a space completely without coinciding. If a regular polygon is to fulfil the above requirement, the sum of certain number of its interior angles must be equal to $2π$.

Read more »

Χάρτινα αεροπλανάκια

Η Αγγελική, η Bαρβάρα, ο Ιωσήφ, ο Βαγγέλης και ο Μιχαήλ διαγωνίστηκαν στη ρίψη αεροπλάνου από χαρτί. Ο καθένας έριξε μία φορά το αεροπλάνο του και το άθροισμα των μηκών των βολών τους ήταν $41$ μέτρα. 

Ο Μιχαήλ έριξε τα λιγότερα, που ήταν $90$ εκατοστά λιγότερα από αυτά που έριξε η Αγγελική και αυτή έριξε $60$ εκατοστά λιγότερο από τον Βαγγέλη. Ο Ιωσήφ το πέταξε πιο μακριά από όλους και το μήκος ήταν ολόκληρα μέτρα. Αν αγωνίζονταν μόνο οι Mιχαήλ, ο Βγγέλης και η Αγγλική,  το μέσο μήκος της ρίψης θα ήταν $20$ cm μικρότερο. 

Προσδιορίστε τα μήκη των ρίψεων όλων των ονομαζόμενων παιδιών.

Άπειρα τετράγωνα

Να βρεθεί το άθοισμα των εμβαδών των απείρων τετραγώνων του σχήματος.

@Igor Tigerrr Geometerrr

Τετράγωνα επί των πλευρών

Έστω το παραλληλόγραμμο $ABCD$. Κατασκευάζουμε τέσσερα τετράγωνα επί των πλευρών του $ABCD$. 

Αν το $NPMO$ είναι το τετράγωνο του Thebault, τότε να αποδείξετε ότι: 

1- Τα κέντρα των τεσσάρων κύκλων $(NAP), (PBM), (MCO)$, $(OCN)$ σχηματίζουν ρόμβο. 

2- Η τομή των τεσσάρων κύκλων $(NAP)$ και $(PBM), (PBM)$ και $(MCO), (MCO)$ και $(OCN), (OCN)$ και $(NAP)$ σχηματίζουν ένα τετράγωνο.

Πηγή: stackexchange