The Nine Point Circle

In the early 19th century, Poncelet, Feuerbach and others showed that in any triangle, the following nine points are cyclic:the midpoint of each side of the triangle, the foot of each altitude, the midpoint of the interval joining each vertex of the triangle to the orthocentre.

That is, these nine points lie on a circle.

He also showed that the centre of this nine-point circle lies on the Euler line, and is the midpoint of the interval joining the circumcentre to the orthocentre.

Κύβου πορεία [4]

Γράφουμε διαφορετικό πρώτο αριθμό μικρότερο από $20$ σε κάθε όψη ενός κύβου, έτσι ώστε τα άθροισμα των δύο αριθμών στις απέναντι όψεις να είναι πάντα το ίδιο.

Τοποθετούμε τον κύβο στο πρώτο τετράγωνο του σχεδίου της εικόνας με τον μικρότερο αριθμό προς τα κάτω και μετά τον κυλήσαμε προς την κατεύθυνση που υποδεικνύεται στο σχέδιο.

Πυθαγόρειες τριάδες και αριθμοί Φιμπονάτσι

Οι πυθαγόρειες τριάδες

Όταν άρχισε να εφαρμόζει το πυθαγόρειο θεώρημα, εντύπωση του έκανε η τριάδα «3, 4 ,5» ως μήκη πλευρών ορθογωνίου τριγώνου. Δοκίμασε και με την τριάδα 2, 3, 4 για να διαπιστώσει εύκολα ότι δεν μπορούσε να είναι πλευρές ορθογωνίου τριγώνου. 

Το ίδιο έγινε και με την τριάδα 4, 5, 6. Αναρωτήθηκε «ποιες άλλες τριάδες φυσικών αριθμών θα μπορούσαν να είναι πλευρές ορθογωνίου τριγώνου» και η πρώτη βέβαια επιλογή ήταν «όλα τα πολλαπλάσια των «3, 4 ,5» δηλαδή οι τριάδες «6, 8 ,10» «9, 12, 15» «15, 20 ,25» «18, 24, 30» και οι υπόλοιπες.

Golden triangle flower

The Theorem of the Day: The Riemann Explicit Formula

The number of primes not exceeding a given real number $x$ is given by 

$π(x) = R(x) + \sum R(x^ρ)$

where the sum is over all zeros $ρ$ of $ζ$, the Riemann zeta function, and $R(x)$ is the entire function of $log x$ defined by 

$R(x)=1+ \sum_{n-1}^ \infty  \dfrac{(logx)^n}{nn!ζ(n+1)}$.

Read more »

Παράξενο πρόβλημα αριθμών

Τεστ εξάσκησης για την Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα «ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ» των μικρών (κάτω των 15,5 ετών) - 49ο ΤΕΣΤ

ΘΕΜΑ 1ο

Έστω  ένας θετικός ακέραιος τέτοιος ώστε οι αριθμοί  και  να είναι τέλεια τετράγωνα. Δείξτε ότι ο αριθμός  είναι σύνθετος.

ΘΕΜΑ 2ο

Στην περιφέρεια ενός κύκλου τοποθετούμε τους αριθμούς  Έστω  το μεγαλύτερο άθροισμα τριών διαδοχικών αριθμών.

Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή του 

ΘΕΜΑ 3ο

ΒΙΒΛΙΟ: Bulgarian Mathematics Olympiad 1960-2008 (pdf)

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Εγγεγραμμένοι αριθμοί

Terence Tao: Ο πιο εξαιρετικός μαθηματικός της εποχής του

Ένας μαθηματικός μπορεί να είναι γνώστης σε πολλούς τομείς των μαθηματικών, αλλά ο Terence Tao ενδιαφέρεται να ερευνήσει και να διδάξει πολλά διαφορετικά πεδία ταυτόχρονα: Αρμονική Ανάλυση, Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις, Θεωρία Αριθμών, Αλγεβρική Συνδυαστική, Φράκταλ Γεωμετρία...

Ο καθηγητής Terence Tao (γεννημένος το 1975) δίνει διαλέξεις στο UCLA (Πανεπιστήμιο της Καλιφόρνια, Λος Άντζελες).

Σε κάθε τομέα έκανε σημαντικές εφευρέσεις και συνεισφορές. Πολλοί μαθηματικοί συμφωνούν ότι αυτός είναι ο καλύτερος μαθηματικός της εποχής του.

SPACE MATH @ NASA: The Basic Mathematics of Rocket Engines - I

Rocket engines work by throwing matter out the back end of a rocket as fast as they can. Usually this matter is in the form of gas. This causes the rocket to move forward in the opposite direction from the ejected matter, thanks to Newton’s Third Law of Motion which says that ‘For every Action, there is an equal and opposite Reaction’. 

To lift tons of cargo into space, rocket engines have to be very powerful. Engineers usually compare different engines by their thrust and by their specific impulse. This makes it easy to decide which kind of engine to use to put different payloads into space in the most efficient and low-cost way possible. 

Τέσσερα τετράγωνα

Στο παρακάτω σχήμα έχουμε τέσσερα τετράγωνα πλευράς $2$, στο εσωτερικό ενός κύκλου.

Να βρεθεί η ακτίνα του κύκλου.

TRUMAN

Το κυρτό εξάγωνο $TRUMAN$ έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες. Αν κάθε πλευρά του έχει μήκος $3$ και το εμβαδόν του εξαγώνου είναι $5$, βρείτε όλες τις πιθανές τιμές του

$TU \times RM \times UA \times MN \times AT \times NR$.

Πηγή: artofproblemsolving

Fermat 's Last Theorem

$ \big( \dfrac{AD}{AB} + \dfrac{AD}{AC} \big)^2=?$

Υπέροχο γράφημα της συνάρτησης $f(x)=xsin \dfrac{1}{x}$

$98989=?$

Το ολοκλήρωμα της ημέρας 31/1/2024

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα

$\int_0^1(1- \sqrt[2024]{x})^{2024} dx$.

Καλημέρα !

India National Mathematical Olympiad 2024 (pdf)

Κάντε κλικ στην εικόνα.

2024 AMC 8 Problems and Solutions

Problem 1

What is the ones digit of

Solution

Problem 2

What is the value of this expression in decimal form?

Τέσσερις κύκλοι

Κατασκευάζονται τέσσερις κύκλοι με τις πλευρές ενός κυρτού τετράπλευρου ως διαμέτρους. 

Υπάρχει κάποιο σημείο μέσα στο τετράπλευρο που δεν είναι μέσα στους κύκλους; 

Η συνάρτηση $y=sin \dfrac{1}{x}$

Η συνάρτηση 

$y=sin \dfrac{1}{x}$. 

δεν έχει ούτε δεξιό ούτε αριστερό όριο καθώς το $χ$ τείνει στο μηδέν. 

Η γραφική αυτή παράσταση παραλείπει τιμές κοντά στον άξονα $y$.

97 όροι

Έστω ο αριθμός 

$P=\dfrac{2^{2}+1}{2^{2}+3.2+4}+\dfrac{3^{2}+1}{3^{2}+3.3+4}+\ldots+\dfrac{98^{2}+1}{98^{2}+3.98+4}$. 

(97 όροι)

Να αποδειχτεί ότι 

$\dfrac{6}{10^{6}}<P<\dfrac{1}{83325}.$.

ΒΙΒΛΙΟ: Penrose Tiles To Trapdoor Ciphers, Martin Gardner (pdf)

Κάντε κλικ στην εικόνα.

These Are the 10 Hardest Math Problems Ever Solved: Trisecting an Angle [9]

The Ancient Greeks wondered about constructing lines and shapes in various ratios, using the tools of an unmarked compass and straightedge. 

If someone draws an angle on some paper in front of you, and gives you an unmarked ruler, a basic compass, and a pen, it’s possible for you to draw the line that cuts that angle exactly in half. It’s a quick four steps, nicely illustrated like this, and the Greeks knew it two millennia ago.

Solve $asin x + bcos x = c$

Click on icon to see whole pdf.

Notes and Problem Sets - Geometry: Theorems of Ceva, Menelaus and Van Aubel

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Κύκλος $(H_aH_bH_c)$

Δίνεται ένα ορθογώνιο τρίγωνο $A B C$, με $A=90^o$, εγγεγραμμένη σε κύκλο $(O)$. Το σημείο $A^{\prime}$ είναι το σημείο ανάκλασης του $A$ πάνω από στον κύκλο $Ο$. 

Το σημείο $P$ είναι η κάθετη προβολή του $A^{\prime}$ στην μεσοκάθετη του $B C$. 

Έστω $H_{a}$, $H_{b}$, $H_{c}$ αντίστοιχα τα ορθόκεντρα των $A P A^{\prime}$, $B P A^{\prime}$, $C P A^{\prime }$. 

Δείξτε ότι ο κύκλος $(H_aH_bH_c)$ εφάπτεται στον κύκλο $(O)$.

The Theorem of the Day: L’ Hospital’s Rule

Let $f(x)$ and $g(x)$ be real-valued functions of a real variable $x$. Let $a ∈ R$ and suppose that, in some open interval containing $a$, $f(x$ and $g(x)$ are differentiable except possibly at $x = a$, with $g′(x)$ being nowhere zero. 

Suppose, moreover that

Then

provided this limit exists, satisfies

Read more »

Παγκύπριες εξετάσεις για πρόσληψη καθηγητών στην δημόσια εκπαίδευση (2013) - ΘΕΜΑ 5Β

Δίνονται δύο συνεχείς συναρτήσεις $f: R \rightarrow R$ και $g: R \rightarrow R$, τέτοιες ώστε 

$f(x)+f(-x)=g(x)$, $\forall x \in R$.

(α) Με τη βοήθεια της αντικατάστασης ή με οποιοδήποτε άλλο τρόπο, να δείξετε ότι

$ \int_{-a}^a f(x) dx= \int_0^a g(x) dx$ .

(β) Να βρείτε την τιμή του ολοκληρώματος

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \dfrac{εφ^2 χ}{1+3^χ}dχ$.

Για να δείτε όλα τα θέματα κάντε κλικ στην παρακάτω εικόνα:

Physics Notes: Super Conductivity

The Graph of an Equation

In 1637 the French mathematician René Descartes revolutionized the study of mathematics by joining its two major fields—algebra and geometry. 

With Descartes’s coordinate plane, geometric concepts could be formulated analytically and algebraic concepts could be viewed graphically. The power of this approach was such that within a century of its introduction, much of calculus had been developed.

From book «Calculus of a Single Variable».

Το όγδοο θαύμα του κόσμου

Ο αυτοκινητόδρομος Karakoram, που συνδέει το Πακιστάν με την Κίνα, είναι ένας από τους υψηλότερους ασφαλτοστρωμένους δρόμους στον κόσμο, σε μέγιστο υψόμετρο 4.714 m. Συχνά αναφέρεται ως το όγδοο θαύμα του κόσμου.

Επτά θερμοκρασίες

Ο τοπικός μετεωρολόγος ρωτήθηκε πρόσφατα αν μπορεί να θυμηθεί την πρόβλεψη των επτά ημερών από μνήμης. Απάντησε ότι δεν μπορούσε να θυμηθεί την ακριβή πρόγνωση, αλλά θυμόταν ότι κάθε 

μέρα είχε διαφορετική θερμοκρασία και ότι το γινόμενο των θερμοκρασιών ήταν $180$. 

Ποιες είναι οι επτά θερμοκρασίες της πρόβλεψης; 

Υποθέστε ότι οι επιμέρους ημερήσιες θερμοκρασίες στρογγυλοποιούνται στον ένα: για παράδειγμα, οι $23,56$ βαθμοί θα στρογγυλοποιηθούν σε $24$ βαθμούς.