Challenging Recreational Mathematics: 11/01/2023

Πέμπτη 30 Νοεμβρίου 2023

Και ούτω καθεξής ...

α) Ένα παράδειγμα για τη δημιουργία μιας αριθμητικής ακολουθίας: Ο πρώτος όρος ισούται με $3$. Ο δεύτερος όρος ισούται με $5$. Για να βρείτε τον επόμενο αριθμό και όλους τους αριθμούς μετά από αυτόν, πάρτε τον προηγούμενο όρο και αφαιρέστε τον πριν από αυτόν.

Άρα ο τρίτος όρος θα ήταν $5 – 3 = 2$. Τώρα, βρείτε τον $2.018$ο όρο.

β) Ρίξτε μια ματιά στο οπτικό μοτίβο παραπάνω. Περιγράψτε πώς μεγαλώνει με λόγια και περιγράψτε πώς μεγαλώνει.

Στη συνέχεια, χρησιμοποιήστε την περιγραφή σας για να προσδιορίσετε πόσα μωβ τετράγωνα θα ήταν στο $99$ο σχήμα.

γ) Να βρεθεί η τιμή της παράστασης:

ΒΙΒΛΙΟ: Mathematical Problems and Puzzles from the Polish Mathematical Olympiad (pdf)

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Πέμπτης τάξης

Έστω $χ$ θετικός ακέραιος αριθμός τέτοιος ώστε

$$\sqrt[5]{χ + 76638} - \sqrt[5]{χ - 76637}=5$$

Να βρεθεί η τιμή του $χ$.

Red - Green

Δίνεται ένα κανονικό οκτάγωνο με πλευρά $1$ και τρία μέσα τριών διαγωνίων του.

Βρείτε τη διαφορά μεταξύ των εμβαδών του κόκκινου και του πράσινου πολυγώνου.

Λόγος $\dfrac{Α_1}{Α_2}$

Μια μπλε λωρίδα χαρτιού διπλώθηκε πολλές φορές για να σχηματίσει το περίγραμμα ενός κανονικού δεκάγωνου.

Να βρεθεί ο λόγος του εμβαδού της λωρίδας $Α_1$ και του εμβαδού του εσωτερικού κανονικού πενταγώνου $Α_2$;

Δύο εις την δύο και βάλε

Ο μέγιστος κοινός διαιρέτης των αριθμών

και

είναι

α) $1$

β)

γ)

δ)

Αυτοπροσωπογραφία

1000οστό ψηφίο

Ποιο είναι το 1000οστό δεκαδικό ψηφίο του αριθμού:

Μόνα Λίζα

Διαφορά χρωμάτων

Ποια είναι η διαφορά μεταξύ της χρωματισμένης πορτοκαλί επιφάνειας με την γαλάζια επιφάνεια;

PIN Code

$ABCDE \times 4= EDCBA$

Αντικαταστήστε τα γράμματα με ψηφία ώστε ο πολλαπλασιασμός να γίνει σωστός.

Πλευρικά όρια

Αν μια συνάρτηση $f$ είναι ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής $(α, x_0)∪(x_0, β)$, τότε ισχύει η ισοδυναμία:

Κλάσμα έκπληξη

Να απλοποιηθεί το παρακάτω κλάσμα:

Aftermath

Mία το καθένα

Μπορείτε με τους αριθμούς $2, 3, 4$ και $5$ και τα σύμβολα $=$ και $+$ χρησιμοποιώντας κάθε αριθμό και κάθε σύμβολο μία και μόνο μία φορά να σχηματίσετε μία αληθή ισότητα?

Όταν το μηδέν «τορπίλισε» το καταδρομικό Yorktown

Στις 21 Σεπτεμβρίου 1997,το καταδρομικό Yorktown απέπλευσε από το λιμάνι της Αμερικανικής Βιρτζίνια. Σε μικρή απόσταση από το λιμάνι το καταδρομικό με κόστος δισεκατομμυρίων δολαρίων ακινητοποιήθηκε.

Οι μηχανές του πλοίου νέκρωσαν και το πολεμικό θηρίο έπλεε ακυβέρνητο. Το συγκεκριμένο καταδρομικό είχε σχεδιαστεί να αντέχει σε τορπίλες και θαλάσσιες νάρκες. Είχε κατασκευαστεί να αντέχει σε κάθε είδους επίθεση αλλά κανένας δεν είχε προβλέψει ότι θα το «χτυπούσε» το μηδέν.

Διαβάστε περισσότερα »

Τυχεροί αριθμοί ή πως να κάνουμε πράξεις με το μυαλό μας

Ο Richard Feynman στο κεφάλαιο «Τυχεροί αριθμοί», του βιβλίου του «Σίγουρα θα αστειεύεστε, κύριε Φάινμαν» αναφέρει μεταξύ άλλων και το εξής περιστατικό:

... Όταν βρισκόμουν το Λος Άλαμος, είχα διαπιστώσει ότι ο Hans Bethe έκανε πράξεις με το νου του σαν υπολογιστής. Για παράδειγμα, μια φορά αντικαθιστούσαμε τις αριθμητικές τιμές των μεγεθών σε έναν τύπο, και έφτασα στο τετράγωνο του 48. Πήγα λοιπόν στη μηχανή Marchant για να το βρω, αλλά αυτός με έκοψε:

Διαβάστε περισσότερα »

Μη επαναλαμβανόμενα ψηφία

Πόσοι ακέραιοι αριθμοί μεταξύ $1$ και του $9999$ δεν έχουν επαναλαμβανόμενα ψηφία;

Πύργος XXX

Να λυθεί η εξίσωση

Κουτιά με φρούτα

Υπάρχουν τρία κουτιά. Ο ένας έχει μήλα, ο ένας έχει πορτοκάλια και ο άλλος έχει μήλα και πορτοκάλια. Τα κουτιά φέρουν λανθασμένη ετικέτα, έτσι ώστε καμία ετικέτα να μην είναι σωστή.

Η Σωτηρία ανοίγει μόνο ένα κουτί και χωρίς να κοιτάξει μέσα στο κουτί, βγάζει ένα φρούτο. Το κοιτάζει και αμέσως επισημαίνει σωστά όλα τα κουτιά.

Ποιο κουτί άνοιξε και πώς το ήξερε;.

Συνδεόμενοι κόμβοι

Tα δύο παρακάτω διαγράμματα περιλαμβάνουν «κόμβους» που συνδέονται με ευθείες. Δύο κόμβοι που συνδέονται μεταξύ τους λέμε ότι είναι «γειτονικοί».

Για κάθε διάγραμμα, τοποθετήστε τους ακέραιους αριθμούς $1, 3, 5, 7, 9, 11$ και $13$ στους κόμβους έτσι ώστε οι θετικές διαφορές μεταξύ κάθε ζεύγους γειτονικών κόμβων να είναι όλες διαφορετικές.

Για παράδειγμα, παρακάτω έχουμε μία αποτυχημένη προσπάθεια για το πρώτο διάγραμμα.

Όπως μπορούμε να δούμε, οι θετικές διαφορές δεν είναι όλες διαφορετικές (το $2$ και το $6$ επαναλαμβάνονται).

Γαλοπούλες, μηλόπιτες και πατάτες

Αν δύο γαλοπούλες και μια μηλόπιτα ζυγίζουν το ίδιο με $64$ ψητές πατάτες και αν μια γαλοπούλα και δύο μηλόπιτες ζυγίζουν το ίδιο με $41$ ψητές πατάτες, βρείτε το βάρος μιας γαλοπούλας και το βάρος μιας μηλόπιτας σε σχέση με ψημένες πατάτες.

Διαδοχικά μεσάνυχτα

Είναι μεσάνυχτα της 29ης Νοεμβρίου και η Αννέτα ακούει ένα τραγούδι του αγαπημένου της καλλιτέχνη, ενώ κοιτάζει το ρολόι της, το οποίο έχει δείκτη ώρας, λεπτού και δευτερολέπτου.

Οι δείκτες αυτοί κινούνται συνεχώς.

Ανάμεσα σε δύο διαδοχικά μεσάνυχτα, βρείτε πόσες φορές οι δείκτες της ώρας, του λεπτού και του δευτερολέπτου σχηματίζουν δύο ίσες γωνίες και κανένας από τους δύο δείκτες δεν επικαλύπτεται.