On Mixtilinear Incircles (pdf)

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Καρφωμένο τρίγωνο

Ένα ισόπλευρο τρίγωνο από ένα κομμάτι χαρτόνι βρίσκεται σε ένα επίπεδο. Τρία καρφιά είναι καρφωμένα στα σημεία $K, L$ και $M$ στις πλευρές του σε τέτοια απόσταση ώστε το τρίγωνο να μην 

μπορεί να μετακινηθεί.  Δίνεται ότι τα σημεία $Κ$ και $L$ διαιρούν τις αντίστοιχες πλευρές τους με αναλογία $2:l$ και $3:2$. 

Με ποια αναλογία το σημείο $Μ$ διαιρεί την άλλη πλευρά του τριγώνου;

Χειραψίες με πολιτικούς

Αντιπρόσωποι από $100$ χώρες έφτασαν σε διεθνή διάσκεψη. Κάθε αντιπροσωπεία αποτελούνταν από δύο άτομα - τον Πρόεδρο και τον Πρωθυπουργό. 

Πριν από την έναρξη της διάσκεψης, ορισμένοι από τους συμμετέχοντες έδωσαν τα χέρια, αλλά κανένας από τους Προέδρους δεν έδωσε τα χέρια με τον ίδιο τον Πρωθυπουργό του. 

Κατά τη διάρκεια της αναβολής, ο Πρόεδρος της Ιλλυρίας ρώτησε όλους τους υπόλοιπους συμμετέχοντες πόσες χειραψίες έδωσαν. Όλες οι απαντήσεις ήταν διαφορετικές. 

Με πόσους συνέδρους έδωσε τα χέρια ο πρωθυπουργός της Ιλλυρίας;

Άθροισμα $999$

Tοποθετήστε τα εννιά ψηφία

       

στα εννιά κενά τετραγωνάκια στην παρακάτω πρόσθεση

ώστε το άθροισμα να δίνει τον αριθμό $999$.

Φυσικές δυνάμεις

Βρείτε ένα φυσικό αριθμό $a$ ώστε ο $2a$ να είναι τέλειο τετράγωνο, ο $3α$ να είναι τέλειος κύβος, και ο $5α$ να είναι τέλεια πέμπτη δύναμη.

Παρενθετικός γρίφος

Τοποθετήστε παρενθέσεις στην παράσταση 

$2\div 2 - 3\div 3 - 4\div 4 - 5\div 5$

για να λάβετε έναν αριθμό μεγαλύτερο από $39$.

Πιθανά πολύγωνα

Υπάρχει κυρτό πολύγωνο που δεν έχει ούτε άξονα συμμετρίας ούτε κέντρο συμμετρίας, αλλά τέτοιο ώστε όταν περιστρέφεται γύρω από κάποιο σημείο κατά γωνία μικρότερη από $180^0$, επιστρέφει στην αρχική του θέση;

Στοιχεία του προϋπολογισμού

Μια Βουλή αποτελούμενη από $2.000$ βουλευτές πρέπει να ψηφίσει έναν κρατικό προϋπολογισμό που αποτελείται από $200$ στοιχεία δαπανών. 

Κάθε βουλευτής προετοιμάζει ένα προσχέδιο προϋπολογισμού, όπου η μέγιστη δαπάνη για κάθε στοιχείο προσδιορίζεται και οι συνολικές δαπάνες δεν υπερβαίνουν μια δεδομένη τιμή $S$. 

Για κάθε στοιχείο η Βουλή ψηφίζει μια μέγιστη δαπάνη που εγκρίνεται από τουλάχιστον $k$ βουλευτές. 

Ποια είναι η ελάχιστη τιμή του $k$ για την οποία η συνολική δαπάνη μπορεί να εγγυηθεί ότι δεν θα είναι μεγαλύτερη από το $S$;

«Άλμπερτ, πάψε να λες στο Θεό τι να κάνει!»

Στις 24 Οκτωβρίου το 1927,πραγματοποιείται υπό την αιγίδα του Διεθνούς Ιδρύματος Φυσικής και Χημείας, με έδρα τις Βρυξέλλες, στο Ινστιτούτο Solvay, ένα σημαντικό συνέδριο.

Το κύριο θέμα αυτού του συνεδρίου ήταν «Ηλεκτρόνια και Φωτόνια». Ένα προανάκρουσμα για την νέα –για την εποχή- και -υπό διαμόρφωση- κβαντική θεωρία.

Είναι δυνατόν;

Τα δύο σκέλη ενός ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσα με τα δύο σκέλη ενός άλλου ισοσκελούς τριγώνου. Είναι ποτέ δυνατό να τοποθετήσουμε ένα από αυτά τα τρίγωνα εντελώς μέσα στο άλλο;

Εύρεση γωνίας [20]

Πηγή: Mathematics Learning

Τεστ εξάσκησης για την Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα «ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ» των μικρών (κάτω των 15,5 ετών) - 32ο ΤΕΣΤ

ΘΕΜΑ 1ο

Σε κάθε κελί ενός πίνακα  γράφουμε έναν από τους αριθμούς  ή  Θεωρούμε το άθροισμα των αριθμών σε κάθε γραμμή και στήλη. Πόσοι το πολύ από τους  αυτούς αριθμούς μπορεί να είναι διαφορετικοί;

ΘΕΜΑ 2ο

Αν  με

   

να δείξετε ότι

Τρία τεσσάρια

Εισαγάγετε μαθηματικά σύμβολα μεταξύ των τριών αριθμών 

4 4 4 

έτσι ώστε η παράσταση που προκύπτει να ισούται με $16$.

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Επαναληπτικό θέμα στις Συναρτήσεις

 Της Αθηνάς Καλαμπόκα   

Εβαρίστ Γκαλουά (Évariste Galois, 25 Οκτωβρίου 1811 – 31 Μαΐου 1832)

Εβαρίστ Γκαλουά
Ο Γκαλουά σε ηλικία 15 ετών, σε σκίτσο συμμαθητή του με μολύβι. Ήταν μελαχρινός και έδειχνε μικρότερος από την ηλικία του
Γενικές πληροφορίες
Όνομα στη μητρική γλώσσα	Évariste Galois (Γαλλικά)
Γέννηση	25  Οκτωβρίου 1811[1][2][3] Μπουρ-λα-Ρεν
Θάνατος	31  Μαΐου 1832[4][1][5] Παρίσι
Αιτία θανάτου	τραύμα από πυροβολισμό
Συνθήκες θανάτου	ανθρωποκτονία και μονομαχία
Τόπος ταφής	Μπουρ-λα-Ρεν
Χώρα πολιτογράφησης	Γαλλία
Εκπαίδευση και γλώσσες
Ομιλούμενες γλώσσες	Γαλλικά[6]
Σπουδές	École Normale Supérieure Λύκειο Λουί-λε-Γκραν
Πληροφορίες ασχολίας
Ιδιότητα	μαθηματικός
Εργοδότης	École Normale Supérieure
Αξιοσημείωτο έργο	Θεωρία Γκαλουά
Επηρεάστηκε από	Αντριέν-Μαρί Λεζάντρ
Πολιτική τοποθέτηση
Πολιτική ιδεολογία	ρεπουμπλικανισμός
Οικογένεια
Γονείς	Gabriel Galois
Αξιώματα και βραβεύσεις
Βραβεύσεις	γενικός διαγωνισμός (1827)
Υπογραφή

Το σπιράλ (σπείρα) του Θεόδωρου

Η σπείρα αρχίζει με ένα ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο, με κάθε σκέλος με μήκους την μονάδα . Ένα άλλο ορθογώνιο τρίγωνο σχηματίζεται, με το ένα σκέλος να είναι η υποτείνουσα του προηγούμενου τριγώνου (με μήκος $\sqrt{2}$) και το άλλο σκέλος που έχει μήκος $1$, το μήκος της υποτείνουσας αυτού του δεύτερου τριγώνου είναι $\sqrt{3}$. 

Σπείρα του Θεόδωρου με $16$ τρίγωνα

Δεν υπάρχει

Η συνάρτηση 

$f(χ)= \sqrt{2} - 1 + 2 \sqrt{χ}$

ικανοποιεί την συνθήκη

$f(f(χ)= \sqrt{2} + 1$

Δείξτε ότι δεν υπάρχει συνάρτηση ορισμένη στο σύνολο των πραγματικών αριθμών έτσι ώστε

$f(f(χ)= \sqrt{2} - 1$.

SHORTS: Παντογράφος

The List of Hilbert’s Twenty-Three Problems: Hilbert’s Twentieth Problem

Hilbert’s Twentieth Problem: Do all variational problems with certain boundary conditions have solutions

Do solutions in general exist? The calculus of variations is a field concerned with optimizing certain types of functions called functionals. In his 19th and 20th problems, Hilbert asked whether certain classes of problems in the calculus of variations have solutions (his 20th) and, if so, whether those solutions are particularly smooth (19th).

Το ολοκλήρωμα της ημέρας 31/10/2023

156. Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα

150 χρόνια από τη γέννηση του Κωνσταντίνου Καραθεοδωρή

Ο Φιλολογικός Σύλλογος Παρνασσός σας προσκαλεί στη διάλεξη του Ομ. Καθηγητή του Πανεπιστημίου Κρήτης κ. Ιω. Πυργιωτάκη με θέμα:

«Ο Μαθηματικός Κωνσταντίνος Καραθεοδωρή και το ελληνικό Πανεπιστήμιο της Σμύρνης: Η αποκατάσταση της αλήθειας»

Παρασκευή 3 Νοεμβρίου 2023 στις 7 το απόγευμα στην αίθουσα Κ. Παλαμά του Μεγάρου Παρνασσού.

Είσοδος ελεύθερη.

Πλατεία Αγ. Γεωργίου Καρύτση, Αθήνα

ΒΙΒΛΙΟ: Principles and Techniques in Combinatorics - Chen Chuan-Chong, Koh Khee-Meng (pdf)

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Δύο ποδηλάτισες

Δύο ποδηλάτισες, η Kατερίνα και η Ιωάννα, ξεκίνησαν ταυτόχρονα ο ένας προς τον άλλον από δύο πόλεις που απέχουν μεταξύ τους $40$ χιλιόμετρα. 

|Η Κατερίνα έτρεχε με $23$ χιλιόμετρα την ώρα και η Ιωάννα με $17$ χλμ/ώρα. 

Πριν από την αναχώρηση, μια μύγα προσγειώθηκε στη μύτη της Ιωάννας. Τη στιγμή της αναχώρησης, άρχισε να πετάει προς την Kατερίνα με $40$ χλμ/ώρα. 

Όταν έφτασε στην Kατερίνα, πέταξε αμέσως προς την αντίθετη κατεύθυνση με $30$ km/h (ο άνεμος έπνεε προς την Kατερίνα). 

Μόλις η μύγα έφτασε στην Ιωάννα, έστριψε. και πάλι πίσω, και ούτω καθεξής. 

Βρείτε τη συνολική απόσταση που διένυσε η μύγα μέχρι οι ποδηλάτισες να συναντηθούν (η ταχύτητα της μύγας ήταν σταθερή προς κάθε κατεύθυνση).

Επιλογή υποσυνόλου

Με πόσους τρόπους μπορούμε να επιλέξουμε ένα υποσύνολο του συνόλου 

 $\big\{1, 2, 3, . . ., 11\big\}$ 

που δεν περιέχει τρεις διαδοχικούς ακέραιους αριθμούς;

Basics of Olympiad Inequalities (pdf)

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Το μυστήριο των αστεριών

Τα φεγγάρια στον παρακάτω πολλαπλασιασμό δηλώνουν ένα και το αυτό ψηφίο. 

Αυτή η μοναδική πληροφορία είναι αρκετή για να βρείτε όλα τα ψηφία που αντιπροσωπεύουν τα αστέρια, τα οποία είναι  διαφορετικά.

Περιοδικό Quantum

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β' Λυκείου: Τα θέματα της Τράπεζας Θεμάτων + Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής και 1 Διαγώνισμα

Στη σελίδα αυτή παρουσιάζονται τα θέματα της Τράπεζας Θεμάτων του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής ταξινομημένα με βάση την ύλη.

 Κεφάλαιο 1ο : Διανύσματα   

1.1 - 1.2 Η έννοια του διανύσματος - Πρόσθεση και αφαίρεση διανύσματος

1.3 Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα

1.4 Συντεταγμένες στο επίπεδο

1.5 Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων

 Κεφάλαιο 2ο : Η ευθεία στο επίπεδο   

2.1 Εξίσωση ευθείας

2.2 Γενική μορφή εξίσωσης ευθείας

2.3 Εμβαδόν τριγώνου

 Κεφάλαιο 3ο : Κωνικές τομές   

3.1 Ο Κύκλος

3.2 Η Παραβολή

3.3 Η Έλλειψη

3.4 Η Υπερβολή

Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής

 Κεφάλαιο 1ο: Διανύσματα   

1.1 - 1.3 (50 ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής)

1.4 - 1.5 (50 ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής)

 Κεφάλαιο 2ο: Η ευθεία στο επίπεδο   

50 ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής σε όλο το κεφάλαιο

Διαγωνίσματα και θέματα εξετάσεων

 Κεφάλαιο 1ο: Διανύσματα   

διαγώνισμα 1

 Κεφάλαιο 2ο: Η ευθεία στο επίπεδο   

διαγώνισμα 1

Θέματα προαγωγικών εξετάσεων

1

Πηγή: schools.patakis

Τεστ εξάσκησης για την Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα «ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ» των μικρών (κάτω των 15,5 ετών) - 31ο ΤΕΣΤ

ΘΕΜΑ 1

Οι θετικοί ακέραιοι είναι διαφορετικοί ανά δύο και οι θετικές διαφορές μεταξύ δύο οποιονδήποτε από αυτούς σχηματίζουν ένα σύνολο με στοιχεία διαδοχικούς θετικούς ακεραίους.

α) Να δείξετε ότι

 

β) Να βρείτε παράδειγμα τέτοιων αριθμών.

ΘΕΜΑ 2

Έστω μια αναδιάταξη των αριθμών .

Δείξτε ότι υπάρχουν έτσι ώστε

  και

Μια απεικόνιση του κύκλου των εννέα σημείων του Euler

Θεώρημα

Ο κύκλος των εννέα σημείων είναι ο κύκλος που διέρχεται από τα μέσα των πλευρών του τριγώνου, τα ίχνη των υψών του τριγώνου καθώς και από τα μέσα των ευθυγράμμων τμημάτων που ενώνουν τις κορυφές του τριγώνου με το ορθόκεντρό του.

Ακτίνα κύκλου

Πηγή: Mathematics Learning

92,8 %

Παλίνδρομου ρίζα

Nα υπολογιστεί

$\sqrt{12345678987654321}$.

The List of Hilbert’s Twenty-Three Problems: Hilbert’s Problem #19

Are The Solutions of Regular Problems in The Calculus of Variations Always Necessarily Analytic: Are the solutions of regular problems in the calculus of variations always necessarily analytic

Do solutions in general exist? The calculus of variations is a field concerned with optimizing certain types of functions called functionals. In his 19th and 20th problems, Hilbert asked whether certain classes of problems in the calculus of variations have solutions (his 20th) and, if so, whether those solutions are particularly smooth (19th).