Υπάρχουν;

Υπάρχουν ρητοί αριθμοί $x, y, z, t$ τέτοιοι ώστε  

$$1 + \sqrt{2} = (x + y\sqrt{2})^2 + (z + t \sqrt{2})^2$$

Αβγά σπασμένα

Μια ηλικιωμένη γυναίκα πηγαίνει στην αγορά και ένα άλογο πατάει πάνω στο καλάθι της και συνθλίβει τα αυγά. Ο αναβάτης προσφέρεται να πληρώσει για τις ζημιές και την ρωτά πόσα αυγά είχε φέρει. 

Εκείνη δεν θυμάται τον ακριβή αριθμό, αλλά όταν τα έβγαλε δύο τη φορά, έμενε ένα αυγό. Το ίδιο συνέβη και όταν τα έβγαλε τρία, τέσσερα, πέντε, και έξι κάθε φορά, αλλά όταν τα έβγαλε επτά, έβγαιναν ίσα. 

Ποιος είναι ο μικρότερος αριθμός αυγών που θα μπορούσε να έχει;

[Από τον Brahmagupta (γεννήθηκε γύρω στο 598, πέθανε μετά το 665)]

ΒΙΒΛΙΟ: Combinatorics - Vilenkin N. (pdf)

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Δύο διαστημόπλοια

Δύο διαστημόπλοια αιωρούνται στο διάστημα και είναι σε ηρεμία το ένα σε σχέση με το άλλο. Είναι συνδέονται με ένα διαστημικό νήμα. Το νήμα είναι ισχυρό, αλλά δεν μπορεί να αντέξει ένα απότομο τέντωμα. 

Σε μια δεδομένη στιγμή, τα διαστημόπλοια αρχίζουν ταυτόχρονα (σε σχέση με το αρχικό αδρανειακό τους σύστημα) να επιταχύνονται (κατά τη διεύθυνση της ευθείας μεταξύ τους) με την ίδια επιτάχυνση. (Ας υποθέσουμε ότι αγόρασαν πανομοιότυπους κινητήρες από το ίδιο κατάστημα και τους έβαλαν στην ίδια ρύθμιση).

Θα σπάσει τελικά το νήμα;

Κανονικό $N$-γωνο

Εγγράψετε ένα κανονικό $N$-γωνο σε κύκλο ακτίνας $1$. Σχεδιάστε τα $N − 1$ τμήματα που συνδέουν μια δεδομένη κορυφή με τις $N − 1$ άλλες κορυφές. 

Δείξτε ότι το γινόμενο των μηκών αυτών των $N − 1$ τμημάτων ισούται με $N$. 

Το παραπάνω σχήμα έχουμε την περίπτωση, όπου $N = 10$ και το γινόμενο των μηκών των $9$ τμημάτων είναι $10$.

MARTIN GARDNER: The Magical Numbers of Dr. Matrix (pdf)

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Eisatopon game

Καθορίστε την καλύτερη στρατηγική για κάθε παίκτη στο ακόλουθο παιχνίδι δύο παικτών. Υπάρχουν τρεις σωροί, καθένας από τους οποίους περιέχει κάποιο αριθμό νομισμάτων. 

Οι παίκτες εναλλάσσουν κινήσεις και σε κάθε κίνηση αφαιρούν οποιοδήποτε (μη μηδενικό) αριθμό νομισμάτων από έναν μόνο σωρό. 

Νικητής είναι αυτός που θα αφαιρέσει το τελευταίο νόμισμα (ή τα τελευταία νομίσματα).

Download in progress

Ποια από τις ακόλουθες γραμμές προόδου υποδεικνύει ότι $23,4$ MB από τα $37$ MB έχουν ληφθεί;

Λιγότερα από 100, αλλά πόσα;

Σε ένα πλοίο, ο συνολικός αριθμός αυτοκινήτων, ποδηλάτων και φορτηγών είναι ζυγός αριθμός και είναι μικρότερος από $100$. 

Ο αριθμός των αυτοκινήτων είναι κατά ένα τρίτο μεγαλύτερος από τον αριθμό των ποδηλάτων. Ο αριθμός των ποδηλάτων είναι κατά ένα τέταρτο μεγαλύτερος από τον αριθμό των φορτηγών. 

Πόσα αυτοκίνητα, ποδήλατα και φορτηγά υπάρχουν στο πλοίο;

Διαστημικό βράχος

Ο αστροναύτης Mathe βρίσκει μια πέτρα από το διάστημα. Ένα μήνυμα στο διαστημικό βράχο γράφει τα εξής: 

$«A**B = ( A + B ) A^2 - \dfrac{B}{C}$.

$3**9 = 105$.

Η λύση για το $C$ είναι το χρονικό διάστημα, σε ώρες, στο οποίο θα εκραγώ αφού φτάσω στη Γη».

Αν ο βράχος προσγειώθηκε στη Γη στις $2:00$ π.μ., ποια ώρα θα εκραγεί;

Energy Drink

Στην παρακάτω εικόνα στα δεξιά, έχουμε τέσσερα μεταλλικά κουτάκια ενός Energy Drink σε ένα κυκλικό δίσκο με κυκλικό τρόπο. Στο μέσο έχουμε ένα άλλο κυκλικό δίσκο με άλλα πέντε κουτιά με κυκλικό τρόπο τοποθετημένα. 

Και στα αριστερά έχουμε άλλα επτά κουτιά τοποθετούνται ομοίως σε μεγαλύτερο δίσκο. Αυτός ο τρόπος τοποθέτησης κουτιών και δίσκων σε μεγαλύτερο δίσκο επαναλαμβάνεται. 

Εάν ο λόγος του αριθμού διατάξεων για τα $2018^2$ δοχεία για να χωρέσουν στη μικρότερη επανάληψη προς τον αριθμό των διατάξεων όταν τα δοχεία $2018^2$ τοποθετούνται σε ένα μόνο κυκλικό δίσκο, μπορεί να εκφραστεί ως $a^2 ∶ b$, όπου τα $a$ και $b$ είναι σχετικά πρώτοi, βρείτε την τιμή του $a+b$. 

Η κα Κυκλάκη

Η κα Κυκλάκη είναι πρόεδρος της Εθνικής Μαθηματικής Λέσχης στο γυμνάσιο όπου διδάσκει. Στην πρώτη συνάντηση του συλλόγου της σχολικής χρονιάς, το 60% των μαθητών που παρευρέθηκαν ήταν μαθητές της 7ης τάξης. 

Αν υπήρχε ένας λιγότερος μαθητής της 8ης τάξης από τον μαθητή της 7ης τάξης, πόσοι μαθητές παρακολούθησαν την πρώτη συνάντηση του συλλόγου;

Στα δύο

Στο παρακάτω σχήμα οι συντεταγμένες του τριγώνου $ABC$ είναι $A(−1, 1)$, $B(1, 1)$ και $C(1, 0)$. Έστω $m$ η κλίση της ευθείας $LM$ που διέρχεται από την αρχή των αξόνων, το σημείο $Ο$, και διαιρεί το εμβαδόν του τριγώνου $ABC$ στη μέση. 

Αν ο αριθμός $m$ είναι λύση της εξίσωσης 

$x^2 − x − α = 0$. 

Ποια είναι η τιμή του $α$; 

(A) $1$      (B) $\dfrac{2}{3}$      (Γ) $\dfrac{3}{2}$      (Δ) $2$       (E) $\dfrac{5}{4}$

Εξάγωνο σε κύβο

Όπως φαίνεται στο σχήμα, ένα κανονικό εξάγωνο κατασκευάζεται ενώνοντας μερικά από τα μέσα των ακμών ενός κύβου. 

Οι ακμές του κύβου έχουν μήκος $2$. Βρείτε το εμβαδόν του εξαγώνου.

TAXI 1729

Μια μέρα, ο Ράσελ πήγε στο σπίτι του Χάρη και είχε μια φιλική συζήτηση μαζί του. 

Ο Ράσελ είπε: «Το ταξί που με έφερε είχε τον αριθμό πινακίδας $1729$». 

Ο Χάρης τότε απάντησε: «Ουάου, δεν είναι μεγάλη τύχη;! Πολύ ιδιαίτερο ταξί.» 

Ο Ράσελ τότε απάντησε: «Ναι, είναι ο μικρότερος αριθμός που μπορεί να εκφραστεί ως το άθροισμα δύο τέλειων [κύβων με δύο διαφορετικούς τρόπους]» 

Ο Χάρης τότε απάντησε: «Ναι, είναι το άθροισμα των κύβων του $9$ και του $10$ και αυτό μπορεί επίσης να εκφραστεί ως το άθροισμα των κύβων του $1$ και του $12$. 

Τώρα το ερώτημα είναι το εξής: 

Ποιος είναι ο μικρότερος αριθμός που μπορεί να εκφραστεί ως άθροισμα τριών κύβων με δύο διαφορετικούς τρόπους;

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Επαναληπτικό Θέμα 416ο

Δίνεται η συνάρτηση $f : R\rightarrow R$, με τύπο

$f(χ)=χ^4+αχ+β$ 

όπου οι $α, β$ είναι δύο σταθεροί πραγματικοί αριθμοί, για την οποία ισχύει ότι:

 $\lim_{x \rightarrow 0}  \dfrac{f(x)-1}{x}=3$.

 

Να αποδείξετε ότι:

α. $α = 3$ και $β =1$.

β. Η συνάρτηση $f $ δεν είναι $1-1$.

γ. i. $\lim_{x \rightarrow + \infty } \big(f(x)ημ  \dfrac{1}{x^5}\big)=0$

ii. $\lim_{x \rightarrow + \infty } \big(f(x)ημ  \dfrac{1}{x^4}\big)=1$

iii. $\lim_{x \rightarrow + \infty } \big(f(x)ημ  \dfrac{1}{x^3}\big)=+\infty$

Πηγή: Μαθηματικά Γ Λυκείου (Πάτσης -Τρύφων)

Αριθμοί στον πίνακα

Σε έναν πίνακα υπάρχουν πολλοί θετικοί ακέραιοι αριθμοί και κανένας αριθμός δεν εμφανίζεται δύο φορές. Η Ρωξάνη υπολογίζει το γινόμενο των δύο μικρότερων αριθμών και βρίσκει $49$.

Στην συνέχεια υπολογίζει το γινόμενο των δύο μεγαλύτερων αριθμών και βρίσκει $2550$.

Ποιο είναι το άθροισμα όλων των αριθμών στον πίνακα;

Υπερβαθμολόγηση: Η πλασματική αριστεία των μαθητών – Τρεις καθηγήτριες γράφουν στην «Κ»

Φέτος θα χορηγηθούν 179.580 αριστεία σε σύνολο περίπου 680.000 μαθητών Γυμνασίου - Λυκείου. Πρόκειται για παιδιά που κατάφεραν να συγκεντρώσουν κατά την περυσινή σχολική χρονιά μέσο όρο πάνω από 18. 

Ενας στους τέσσερις μαθητές στο Γυμνάσιο και στο Λύκειο είναι άριστος. Την ίδια στιγμή, η προαγωγή και η απόλυση από το Λύκειο είναι πολύ εύκολη, καθώς ένας μαθητής μπορεί να τις εξασφαλίσει έχοντας πολύ χαμηλούς βαθμούς σε βασικά μαθήματα όπως Αρχαία, Γλώσσα, Μαθηματικά και υψηλούς σε εύκολα.

Brook Taylor (1685 - 1731)

Το ολοκλήρωμα της ημέρας 30/9/2023

140. Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα

$\int_0^{\sqrt{27}}\dfrac{2}{x+ \sqrt[3]{x}}dx$.

TEDEd: Η τελευταία μπανάνα: Ένα νοητικό πείραμα για τις πιθανότητες

Μπλε τετραγωνάκια

Μια σκακιέρα $4$ επί $503$ είναι χρωματισμένη σε μπλε και λευκά τετραγωνάκια όπως φαίνεται παρακάτω. 

Πόσα μπλε τετράγωνα υπάρχουν από τα συνολικά $2012$ τετράγωνα αυτής της σκακιέρας;

(a) $1343$      (b) $1340$      (γ) $1341$      (δ) $1342$      (ε) $1344$

Διαγνωστικό τεστ

Ένα διαγνωστικό τεστ για μια ασθένεια λέγεται ότι είναι 90% ακριβές εάν ανιχνεύει το 90% των ατόμων που έχουν την ασθένεια. Επίσης, εάν ένα άτομο δεν έχει την ασθένεια, το τεστ θα αναφέρει ότι δεν την έχει με πιθανότητα 90%. 

Μόνο το 1% του πληθυσμού έχει την ασθένεια. Ένα άτομο επιλέγεται τυχαία από τον πληθυσμό και το διαγνωστικό τεστ δείχνει ότι το άτομο έχει την ασθένεια. 

Ποια είναι η πιθανότητα το άτομο να έχει την ασθένεια;

(Α) περίπου 92%    (Β) περίπου 18%     (Γ) περίπου 32%

(Δ) περίπου 8%     (Ε) περίπου 1%

Ταχύτητα αυτοκινήτων

Δύο αυτοκίνητα κινούνται με την ίδια σταθερή ταχύτητα το ένα προς το άλλο σε ευθύ δρόμο. Ένα αεροπλάνο που πετά με $350$ μίλια την ώρα περνά πάνω από το δεύτερο αυτοκίνητο δύο ώρες μετά το πέρασμα του πρώτου αυτοκινήτου. 

Το αεροπλάνο συνεχίζει να πετά προς την ίδια κατεύθυνση και απέχει $2400$ μίλια από τα αυτοκίνητα όταν προσπερνούν το ένα το άλλο. 

Βρείτε την ταχύτητα των αυτοκινήτων. 

Α) $50$ mph      B) $55$ mph     Γ) $60$ mph      Δ) $65$ mph     E) $70$ mph

Δεκαεννιά κοπέλες

Δεκαεννέα κοπέλες όλες διαφορετικού ύψους, στέκονται σε κύκλο γύρω από μια φωτιά.

Κάθε κοπέλα λέει αν είναι ψηλότερη και από τις δύο γειτόνισσές της, κοντύτερη και από τις δύο, ή στο ενδιάμεσο.

Ακριβώς τρεις είπαν: "Είμαι ψηλότερη".

Πόσες είπαν "είμαι ενδιάμεσα";

Κέλβιν, ο βάτραχος

Ο Κέλβιν ο βάτραχος προσπαθεί να περάσει το ποτάμι. Το ποτάμι έχει $10$ κρινάκια και πρέπει να πηδήξει πάνω σε αυτά με μια συγκεκριμένη σειρά (η σειρά είναι άγνωστη στον Κέλβιν). 

Αν ο Κέλβιν πηδήξει σε λάθος κρινάκια σε οποιαδήποτε σημείο, θα πεταχτεί πίσω στη λάθος πλευρά του ποταμού και θα πρέπει να ξεκινήσει από την αρχή. 

Υποθέτοντας ότι ο Κέλβιν είναι έξυπνος και ξέρει τι κάνει, ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός αλμάτων που χρειάζεται για να φτάσει στην άλλη πλευρά του ποταμού;

Εγγραφές - περιγραφές

Ένα τετράγωνο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο και ένα ορθογώνιο είναι εγγεγραμμένο στο τετράγωνο. Ένας άλλος κύκλος περιγράφεται γύρω από το ορθογώνιο και ένας μικρότερος κύκλος εφάπτεται σε τρεις πλευρές του ορθογωνίου, όπως φαίνεται παρακάτω. 

Η σκιασμένη περιοχή μεταξύ των δύο μεγαλύτερων κύκλων είναι οκτώ φορές η περιοχή του μικρότερου κύκλου, ο οποίος είναι επίσης σκιασμένος. 

Ποιο κλάσμα του μεγαλύτερου κύκλου είναι σκιασμένο;

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Μπορείς να το λύσεις αυτό; [17]

Έστω συνάρτηση 

$f(x)= \sqrt{x^2+ \sqrt{g(x)}}$.

Δίνονται δύο συναρτήσεις $f$ και $g$ τέτοιες ώστε 

$g(\dfrac{1}{\sqrt{2}})= \dfrac{1}{4}$

και

$f'(\dfrac{1}{\sqrt{2}})= \dfrac{1}{\sqrt{2}}$

να βρεθεί η τιμή 

$g'(\dfrac{1}{\sqrt{2}})$.

Πλακόστρωση

Θεωρήστε την επένδυση του επιπέδου με τετράγωνα και ισόπλευρα τρίγωνα, όπως στο παρακάτω σχήμα. 

Εάν το σχέδιο συνεχίζεται σε μια πολύ μεγάλη περιοχή, ποια είναι κατά προσέγγιση η αναλογία μεταξύ του αριθμού των τετραγώνων και του αριθμού των ισόπλευρων τριγώνων που χρησιμοποιούνται;

(A) $\dfrac{1}{3}$      (B) $1$     (Γ) $\dfrac{2}{3}$      (Δ) $\dfrac{1}{2}$      (E) $2$

Μείωση πλευράς

Ποιο είναι, κατά προσέγγιση, το ποσοστό μείωσης της μήκους της πλευράς ενός τετραγώνου όταν αυτό χάνει το ένα τέταρτο του εμβαδού του, με αποτέλεσμα να γίνει μικρότερο τετράγωνο;

Α. 13%      Β. 25%       Γ. 38%      Δ. 50%      Ε. 65%

Τα κέντρα κορυφές

Οι τρεις κύκλοι στο παρακάτω σχήμα, έχουν κέντρα $A , B$ και $C$ είναι εφαπτόμενοι ο ένας στον άλλον και έχουν ακτίνες $7$, $21$ και $6$,αντίστοιχα.

Να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου $ABC$.

A) 54      B) 64      Γ) 74      Δ) 84      E) 94

Τεστ εξάσκησης για την Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα «ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ» των μικρών (κάτω των 15,5 ετών) - 16ο ΤΕΣΤ

ΘΕΜΑ 1ο

Έστω  και  θετικοί πραγματικοί αριθμοί. Να αποδείξετε ότι

α) αν  τότε 

β) αν  τότε 

Ισχύουν τα α), β) αν  πραγματικοί αριθμοί (όχι απαραίτητα θετικοί);

ΘΕΜΑ 2ο

Σε μια τάξη φοιτούν  μαθητές. Διαπιστώθηκε ότι για κάθε τριάδα μαθητών της τάξης ισχύουν τα εξής:υπάρχουν δύο μαθητές που έχουν γράψει μαζί εργασία υπάρχουν δύο μαθητές που δεν έχουν γράψει μαζί εργασία. Να βρείτε τη μέγιστη τιμή του .

Μικρότερη δυνατή

Έστω $a, b$ και $c$ είναι διαφορετικοί θετικοί ακέραιοι έτσι ώστε ο αριθμός 

$\sqrt{a \sqrt{b} \sqrt{c}}$ 

να είναι ακέραιος.

Υπολογίστε τη μικρότερη δυνατή τιμή του αθροίσματος

$a + b + c$.

ΜIT - Harvard Tournament 2023

Το θεώρημα του Pick

Το θεώρημα του Pick είναι ένα θεώρημα που δίνει το εμβαδόν των λεγόμενων πολυγώνων πλέγματος , πολύγωνων των οποίων όλες οι κορυφές βρίσκονται σε σημεία ενός σημειακού πλέγματος. 

Για παράδειγμα, τα σχήματα που εικονίζονται παρακάτω στα δεξιά είναι όλα δικτυωτά πολύγωνα.

Το θεώρημα του Pick δίνει τον τύπο για την περιοχή ενός πολυγώνου πλέγματος $Ε$, ως:

$Ε = I + \dfrac{1}{2}B − 1$

όπου:

• $I$ είναι ο αριθμός των σημείων πλέγματος μέσα στο πολύγωνο
• $B$ είναι ο αριθμός των σημείων πλέγματος στο όριο του πολυγώνου, όπου η απόσταση μεταξύ κάθε σημείου πλέγματος είναι $1$ μονάδα.

ΒΙΒΛΙΟ: A Path To Combinatorics For Undergraduates (pdf)

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Το ολοκλήρωμα της ημέρας 29/9/2023

139. Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα

$\int_0^{100} \dfrac{1}{400-20 \sqrt{x}}dx$.

Άθροισμα $χ+ψ$

Το μήκος της υποτείνουσας ενός ορθογώνιου τριγώνου δίνεται από

$\sqrt{1+3+5+7+....+25}$.

Τα μήκη των άλλων δύο πλευρών είναι 

$\sqrt{1+3+5+....+χ}$ και $\sqrt{1+3+5+....+ψ}$

όπου $χ$ και $ψ$ είναι θετικοί ακέραιοι αριθμοί.

Ποια είναι η τιμή του αθροίσματος $χ+ψ$;

A. $12$      B. $17$       Γ. $24$       Δ. $28$       E. $32$

Επικάλυψη όχι

Το παρακάτω σχήμα δείχνει ένα ψηφιδωτό του επιπέδου με ισόπλευρα τρίγωνα πλευράς μήκους $1$. 

Στο πείραμα της ρίψης ενός νομίσματος διαμέτρου $1$, ποια είναι η πιθανότητα το κέρμα να μην καλύπτει καμία κορυφή τριγώνου;

α)  $\dfrac{8 \sqrt{3}-4π}{7 \sqrt{3}}$   β)  $\dfrac{8 \sqrt{3}-4π}{8 \sqrt{3}}$   γ)  $\dfrac{8 \sqrt{3}-4π}{9 \sqrt{3}}$ 

δ)  $\dfrac{8 \sqrt{3}-4π}{10 \sqrt{3}}$    ε)  $\dfrac{8 \sqrt{3}-4π}{11 \sqrt{3}}$

Νέα διάκριση για το ΕΚΠΑ με δύο χρυσά μετάλλια στα Μαθηματικά

Ακόμα μια σημαντική διάκριση κατέγραψε το Τμήμα Μαθηματικών του Εθνικού και Καποδιστριακού Πανεπιστημίου Αθηνών (ΕΚΠΑ), στον σημαντικότερο διαγωνισμό μαθηματικών διεθνώς, ο οποίος διεξήχθη φέτος στη Βουλγαρία πριν από περίπου έναν μήνα.

Ο 19χρονος Γιώργος Γεωργελές και ο 20χρονος Δημήτρης Εμμανουήλ κατέκτησαν χρυσά μετάλλια απέναντι σε 393 φοιτητές, 72 ομάδων από 43 χώρες στην 30η διοργάνωση του διαγωνισμού. Συγκεκριμένα, ο τριτοετής, πλέον, Δημήτρης κατέλαβε την 26η θέση και ο δευτεροετής, πλέον, Γιώργος κατέλαβε τη θέση 50-53 (ισοβαθμία τεσσάρων ατόμων)

Πέντε κύκλοι

Οι πέντε τεμνόμενοι κύκλοι στο παρακάτω σχήμα καθορίζουν εννέα περιοχές. Σε κάθε από αυτές τις περιοχές γράφετε έναν από τους αριθμούς από το $1$ έως το $9$, έτσι ώστε κάθε αριθμός γράφεται ακριβώς μία 

φορά και το άθροισμα των αριθμών μέσα σε κάθε κύκλο είναι $11$. 

Ποιος αριθμός πρέπει να είναι γραφεί στην περιοχή που σημειώνεται με $Χ$; 

(Α) $7$      (Β) $4$      (Γ) $6$      (Δ) $3$      (Ε) $5$

Εξοικονόμηση μελάνης

Πριν από τον Πρώτο Παγκόσμιο Πόλεμο, οι καρτ ποστάλ τυπικά τυπώνονταν στην άκρη της κάρτας, με την εικόνα να γεμίζει ολόκληρη την κάρτα. 

Κατά τη διάρκεια του Πρώτου Παγκοσμίου Πολέμου και για λίγο μετά, οι εκδότες καρτ ποστάλ είχαν την τάση να αφήνουν ένα λευκό περίγραμμα γύρω από την άκρη της κάρτας, για να εξοικονομήσουν μελάνι.