Αλιεύοντας καβούρια

Ο Μιχάλης (ένας ερασιτέχνης φυσικός) αποφάσισε να πάει για ψαροντούφεκο. Ο φίλος του ο Θανάσης λατρεύει τα καβούρια και έτσι αποφασίζει να δοκιμάσει να ψαρέψει ένα καβούρι με το καμάκι και να του το προσφέρει.

Ο Μιχάλης βλέπει ένα καβούρι στο βυθό της θάλασσας, το οποίο γνωρίζει ότι βρίσκεται $3$ μέτρα κάτω από την επιφάνεια του νερού- ωστόσο, οι γνώσεις του στη φυσική του λένε ότι τα πράγματα μπορεί να μην είναι όπως φαίνονται.

Ένα άλογο χωρίς όνομα

Πατέρας και γιος κάνουν ένα ταξίδι $64$ χιλιομέτρων μέσα στην έρημο, ξεκινώντας στις $4$ το απόγευμα. Έχουν μόνο ένα άλογο (χωρίς όνομα), το οποίο μπορεί να ταξιδέψει σταθερά $8$ χλμ/ώρα μεταφέροντας έναν από αυτούς.

Ο πατέρας μπορεί να διατηρήσει ένα σταθερό ρυθμό περπατήματος $3$ χιλιόμετρα/ώρα και ο γιος $4$ χιλιόμετρα/ώρα. 

Iππεύουν και περπατούν εναλλάξ. Ο καθένας δένει το άλογο αφού διανύσει μια ορισμένη απόσταση, στη συνέχεια περπατάει μπροστά αφήνοντας το άλογο για τον άλλον.

Στη μέση της διαδρομής, συναντιούνται και σταματούν για ένα τρίωρο ύπνο και για να ταΐσουν το άλογο. Μετά το ύπνο, συνεχίζουν το ίδιο μοτίβο.

Τι ώρα φτάνουν στον προορισμό τους;

Μετεωρολογικοί σταθμοί

Σε ένα δίκτυο μετεωρολογικών σταθμών, κάθε σταθμός πρέπει να γνωρίζει πόσες ώρες ηλιοφάνειας υπήρχαν στους άλλους.

Δυστυχώς, το σύστημα email τους έχει μολυνθεί από ιό και μπορούν να επικοινωνούν μόνο μέσω τηλεφωνικών κλήσεων.

Για τρεις σταθμούς, δείξτε ότι απαιτούνται τρεις ξεχωριστές κλήσεις ώστε να είναι γνωστά όλα τα αποτελέσματα σε όλους τους τρεις σταθμούς.

Για πέντε σταθμούς, δείξτε ότι απαιτούνται τουλάχιστον έξι ξεχωριστές κλήσεις.

Ποιο είναι το ελάχιστο αριθμό κλήσεων εάν υπάρχουν επτά σταθμοί;

Γενικεύστε τη συλλογιστική σας για $n$ σταθμούς.

Ένα θρυλικό πείραμα στο φεγγάρι

Ένα θρυλικό πείραμα στο φεγγάρι, ένα σφυρί και ένα φτερό που πέφτουν από το ίδιο ύψος, φτάνουν στη σεληνιακή επιφάνεια ταυτόχρονα χωρίς αντίσταση αέρα. Όλα τα αντικείμενα πέφτουν με τον ίδιο ρυθμό (ανεξαρτήτως μάζας) όπως είχε προβλέψει ο Γαλιλαίος, πάνω από 400 χρόνια νωρίτερα.

A legendary experiment on the moon, a hammer and feather dropped from the same height, reach the lunar surface simultaneously without air resistance. All objects fall at the same rate (regardless of mass) as predicted by Galileo, over 400 years earlier. pic.twitter.com/tYPPWtsbXE

— World of Engineering (@engineers_feed) July 27, 2023

Ο Λεωνίδας στην Βιβλιοθήκη

Ο Λεωνίδας παίρνει το τρένο για να πάει στην βιβλιοθήκη στο πανεπιστήμιο του. Λέει στον Ροβήρο την ώρα που θα φτάσει το τρένο του και λέει στην Άννα σε ποιο λεπτό θα αναχωρήσει. Τους λέει επίσης και στους δύο ότι το τρένο φεύγει μεταξύ $0600$ και $1000$. 

Συμβουλεύονται τον πίνακα και βρίσκουν τα εξής δρομολόγια:

$0632, 0643, 0650, 0717, 0746$

$0819, 0832, 0917, 0919, 0950$

Ο Ροβήρος λέει τότε: "Δεν ξέρω πότε φεύγει το τρένο του Λεωνίδα, αλλά είμαι σίγουρος ότι ούτε η Άννα ξέρει.

Η Άννα απαντά: "Δεν ήξερα, αλλά τώρα ξέρω".

Ο Ροβήρος απαντά, "Τώρα ξέρω κι εγώ!

Πότε φεύγει το τρένο του Λεωνίδα και πώς το ξέρουν;

Με όλα τα μέσα

Ο Ραφαήλ πρέπει να φτάσει από το σημείο $Α$ στο σημείο $Δ$ παίρνοντας ένα λεωφορείο από το $Α$ στο $Β$, ένα τρένο από το $Β$ στο $Γ$ και περπατώντας από το $Γ$ στο $Δ$. 

Γνωρίζει τα εξής:

Ένα λεωφορείο αναχωρεί από το $Α$ κάθε $8$ λεπτά, ξεκινώντας από τις $8$ το πρωί κάθε μέρα, και διαρκεί $10$ λεπτά για να φτάσει στο $Β$. 

Ένα τρένο αναχωρεί από το $Β$ κάθε $6$ λεπτά, ξεκινώντας στις $8$ π.μ. κάθε μέρα, και χρειάζεται $12$ λεπτά για να φτάσει στο $Γ$.

Ο Ραφαήλ χρειάζεται $5$ λεπτά με τα πόδια για να φτάσει στο $Δ$ από το $Γ$.

Ποια είναι η τελευταία ώρα που ο Ραφαήλ μπορεί να πάρει το λεωφορείο στο $Α$ για να φτάσει στο $Δ$ μέχρι τις $10$ π.μ.

A Solution to 1988 IMO Question 6 (The Most Difficult Question Ever Set at an IMO)

Το πιο δύσκολο πρόβλημα που μπήκε ποτέ σε Ολυμπιάδα Μαθηματικών.

Κάντε κλικ στην εικόνα για να δείτε ολόκληρη τη λύση σε pdf.

Μπέρδεμα με τις πίτσες

Ο Χρήστος επισκέφθηκε το τοπικό Pizza Shark για να αγοράσει μία πίτσα για κάθε μέλος της ομάδας του καλοκαιρινού σχολείου μαθηματικών.

Κατά την άφιξή του, συνειδητοποίησε ότι είχε χάσει τη λίστα που είχε φτιάξει με τις πίτσες που είχαν ζητηθεί.

Ήξερε ότι υπήρχαν συνολικά $32$ άτομα και ότι και οι $3$ χορτοφάγοι της ομάδας ήθελαν μόνο μανιτάρια.

Θυμήθηκε επίσης ότι ίδιος αριθμός ατόμων ήθελε μόνο να έχει κοτόπουλο με όσους ήθελαν μια απλή πίτσα.

Τρία ημικύκλια

Στο παρακάτω σχήμα φαίνονται τρία ημικύκλια με ακτίνα $1$ στο εσωτερικό ενός ισοπλεύρου τριγώνου. 

Η διάμετρος κάθε ημικυκλίου βρίσκεται κατά μήκος μιας πλευράς του τριγώνου. 

Ποιο είναι το μήκος κάθε πλευράς του ισόπλευρου τριγώνου;

Τραπεζάκι για μαθηματικούς

Γεωμετρία ΕΠΑΛ Α΄ Λυκείου: Τα θέματα της Τράπεζας Θεμάτων του Ι.Ε.Π ταξινομημένα με βάση την ύλη

Στη σελίδα αυτή παρουσιάζονται τα θέματα της Τράπεζας Θεμάτων του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής ταξινομημένα με βάση την ύλη.

 Κεφάλαιο 3 : Τρίγωνα     

3.2 1ο κριτήριο ισότητας τριγώνων

3.3 - 3.4 2ο και 3ο κριτήριο ισότητας τριγώνων

3.6 Κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων

3.7 Κύκλος - Μεσοκάθετος - Διχοτόμος

3.11 - 3.12 - 3.16 Ανισοτικές σχέσεις πλευρών και γωνιών - Τριγωνική ανισότητα - Σχετικές θέσεις δύο κύκλων

 Κεφάλαιο 4 : Παράλληλες ευθείες     

4.2 Τέμνουσα δύο ευθειών - Ευκλείδειο αίτημα

4.6 Άθροισμα γωνιών τριγώνου

4.8 Άθροισμα γωνιών κυρτού ν - γώνου

Πηγή: schools.patakis

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Προτεινόμενο Θέμα 404o

 Tου Ανδρέα Πάτση    

Θεωρούμε συνάρτηση $f : [-3,+\infty)\rightarrow R$ με τύπο 

$f (χ) = χ^2 +αχ +11$ 

όπου $α$ ένας πραγματικός αριθμός. Γνωρίζουμε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης $f ο f$ διέρχεται από το σημείο $Α(1,443)$.

α) Να αποδείξετε ότι $α = 6$ 

β) i) Να αποδείξετε ότι η $f$ είναι αντιστρέψιμη 

ii) Να ορίσετε την συνάρτηση $f^{-1}$ 

γ) Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων $f$ και $f^{-1}$ 

δ) Να υπολογίσετε το όριο

Πηγή: Μαθηματικά Γ Λυκείου (Ζαχαριάδης-Πάτσης -Τρύφων)

Earth 🌎 vs Mars 🔴

«Αν ένα ακατάστατο γραφείο είναι σημάδι ενός ακατάστατου μυαλού, τότε τι σημάδι είναι ένα άδειο γραφείο;» - Albert Einstein

Πώς υπολογίζεται η «μισή» παράγωγος της συνάρτησης f(x)=x

Έχει νόημα η μισή παράγωγος της συνάρτησης $f(x)=x$, δηλαδή μια έκφραση της μορφής ;

Θα ξεκινήσουμε με την συνάρτηση , παραγωγίζοντάς την διαδοχικά:

Arthur Engel, The Creation of Mathematical Olympiad Problems

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Μπλε εμβαδόν

TEDEd: Can you solve the locker riddle

Το ολοκλήρωμα της ημέρας 31/7/2023

89. Nα υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:

Μετρώντας προβατάκια zzzzzzz

Λόγος χρωμάτων [1]

Το τετράπλευρο είναι τετράγωνο.

Η ελληνική ομάδα γύρισε με δύο μετάλλια από την Ολυμπιάδα Φυσικής στην Ιαπωνία

Εμβάθυναν στη θερμοδυναμική και την πυρηνική φυσική, γνώρισαν λάτρεις της Φυσικής από όλο τον κόσμο και έφαγαν σούσι, πολύ σούσι. 

Ο λόγος για τα μέλη της ελληνικής αντιπροσωπείας στην Ολυμπιάδα Φυσικής –τον Οδυσσέα Κοτζαμπάση (2ο Γενικό Λύκειο Ξάνθης), τον Χαράλαμπο Νικολάου (Πρότυπο Λύκειο Αναβρύτων), τον Σωτήρη Εμιρζά (ιδιωτικό ΓΕΛ Παλλάδιο), τον Οδυσσέα Καγκαρά (Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου) και τον Κωνσταντίνο Κωνσταντινίδη (Εκπαιδευτήρια Μαντουλίδη),

Πέντε τροχοί

Οι τροχοί $1$ και $2$ έχουν την ίδια ακτίνα, όταν αρχίσει να κινείται ο τροχός $1$, ο τροχός $2$ θα κινείται

α) αργότερα από τον τροχό $1$

β) πιο γρήγορα από τον τροχό $1$

γ) το ίδιο με τον τροχό $1$

Άρρητη εξίσωση - 8

Εμβαδόν εξαγώνου

Στο παρακάτω σχήμα έχουμε τρία τετράγωνα, με εμβαδά $26, 18$ και $20$ τ. μ.

Βρείτε το εμβαδόν του εξαγώνου που σχηματίζεται εξωτερικά.

“Amusements in Mathematics”, by H. E. Dudeney, First edition 1917

Συνημίτονο γωνίας

Τα ισόπλευρα τρίγωνα $ΑΒΓ$ και $ΑΒΔ$ βρίσκονται σε κάθετα επίπεδα. 

Υπολογίστε το συνημίτονο της γωνίας $ΓΑΔ$.

(A) $\dfrac{1}{6}$      (B) $\dfrac{1}{4}$      (Γ) $\dfrac{1}{2}$     (Δ) $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$      (E) 2$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

Καφές με παρέα

Η κανάτα καφέ χωράει $4$ φορές περισσότερο από την κανάτα γάλακτος. Όλοι έχουν το ίδιο μέγεθος φλιτζανιού, αλλά ο καθένας θέλει διαφορετικές ποσότητες γάλακτος στην κούπα. στον καφέ του. 

Η Τζέιν θέλει μισό γάλα και μισό καφέ, η Τζιν, η Τζουν και η Τζόαν θέλουν από ένα τέταρτο του γάλακτος και ο Ιάσων πίνει σκέτο καφέ. 

Γεμίζουν τα πέντε φλιτζάνια τους με τον τρόπο που αρέσει στον καθένα και έτσι αδειάζει μία από τις κανάτες. 

Πόσο υγρό μένει στην άλλη;

TEDed: Can you solve the jail break riddle?

Θα τον παντρευτώ, θα τον παντρευτώ

Η Τσικιτίτα θέλει να παντρευτεί έναν φτωχό άντρα, που έχει μόνο δύο χάλκινα νομίσματα. Ο πατέρας της θέλει να παντρευτεί έναν πλούσιο άντρα που έχει $98$ χρυσά νομίσματα. 

Συμφωνεί ότι θα επιλέξει η ίδια η Τσικιτίτα ποιον θα παντρευτεί τραβώντας αυτός ένα νόμισμα από ένα τυχαίο επιλεγμένο δοχείο. Αφήνει την Τσικιτίτα να πάρει όλα τα $100$ νομίσματα και να τα μοιράσει, όπως αυτή θέλει μεταξύ τριών πανομοιότυπων δοχείων. 

Πώς μπορεί να μεγιστοποιήσει η Τσικιτίτα τις πιθανότητες ο πατέρας της να επιλέξει ένα από τα νομίσματα του αγαπημένου της;

Πολλά μπουκάλια κρασί

Η Νεφέλη έχει ένα μεγάλο κελάρι για τα μπουκάλια κρασιού της και επίσης ένα μικρό ψυγείο για κρασιά στην κουζίνα της. Η Νεφέλη πίνει ένα μπουκάλι την ημέρα. 

Επειδή είναι πολύ ιδιότροπη, δεν της αρέσει κανένα μπουκάλι από το κρασί της να εκτίθεται στο φως περισσότερο από $12$ φορές, συμπεριλαμβανομένης της στιγμής που το μεταφέρει από το κελάρι της, την φορά που ανοίγει η πόρτα του κελαριού, την φορά που ανοίγει η πόρτα του ψυγείου και, τέλος, την φορά που ανοίγει το ψυγείο και το παίρνει. 

Για να αποφύγει τη σπατάλη κρασιού, ποια είναι ο μεγαλύτερος αριθμός φιαλών που πρέπει να παίρνει  κάθε φορά που πηγαίνει στο κελάρι της;

Μέσα στην σήραγγα

Η σήραγγα Queensway κάτω από τον ποταμό Mathriver έχει $4$ λωρίδες κυκλοφορίας: μια γρήγορη και μια αργή λωρίδα σε κάθε κατεύθυνση. Τα οχήματα στην ταχεία λωρίδα ταξιδεύουν με $55$ km/h και απέχουν $25$ μέτρα μεταξύ τους. 

Τα οχήματα στην αργή λωρίδα κινούνται με $35$ km/h και απέχουν μεταξύ τους $20$ μέτρα. 

Κατά τη διέλευση από τη σήραγγα, ο Απόστολος και ο Mάρκος παίζουν ένα παιχνίδι μετρώντας τα οχήματα που περνούν με κατεύθυνση αντίθετη προς αυτήν που κινούνταi οι ίδιοι. 

Ο Απόστολος μετράει τα οχήματα που κινούνται στην ταχεία λωρίδα, ενώ ο Mατθαίος τα οχήματα στην αργή λωρίδα. 

α) Ποιος μετράει περισσότερα οχήματα αν το αυτοκίνητο των αγοριών βρίσκεται στην ταχεία λωρίδα; 

β) Ποιος μετράει περισσότερα αν είναι στην αργή λωρίδα;

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ: Για πολύ δυνατούς λύτες [2]

Το κυρτό τετράπλευρο $ABCD$ δεν έχει παράλληλες πλευρές και η τομή των ευθειών $AB$ και $CD$ είναι το $M$. 

Το σημείο $X$ κινείται κατά μήκος του εσωτερικού της πλευράς $AB$ και το σημείο $Y$ κινείται κατά μήκος του εσωτερικού της πλευράς $CD$, έτσι ώστε

$\dfrac{AX}{XB}= \dfrac{DY}{YC}$.

Δείξτε ότι οι κύκλοι $MXY$ έχουν όλοι ένα άλλο κοινό σημείο, διαφορετικό από το σημείο $M$.

KöMaL Contest

Τρεις και μισή

Να βρεθεί η γωνία που σχηματίζουν ο ωροδείκτης με τον λεπτοδείκτη.

Τομ και Τζέρι

Ο Τομ και ο Τζέρι άρπαξαν μια αλυσίδα με $7$ λουκάνικα και τώρα προσπαθούν να μοιράσουν τη λεία. Δαγκώνουν εναλλάξ τα λουκάνικα σε μία από τις συνδέσεις.

Όταν ένας από αυτούς σπάει μια σύνδεση, μπορεί να φάει κάθε λουκάνικο που υπάρχει στη σειρά.

Ο Τομ παίρνει την πρώτη μπουκιά.

Καθένας από αυτούς προσπαθεί με κάθε τρόπο να φάει περισσότερα λουκάνικα από τον αντίπαλό του. 

Ποιος θα τα καταφέρει;

Ramanujan’s Nested Radical Problem

In 1911, the Indian mathematical genius Srinivasa Ramanujan posed the above problem in the Journal of the Indian Mathematical Society. 

After waiting in vain for a few months, he himself provided a solution to the same! In this article, we go over Ramanujan’s solution (taking note of its spell-binding simplicity) along with exploring a calculus-based approach for the problem. So, let’s dive deep straight into it!

O Ναθαναήλ και η γέφυρα

O Ναθαναήλ περπατά κατά μήκος μιας σιδηροδρομικής γραμμής που διασχίζει μια γέφυρα $200$ μέτρων. Βλέπει ένα τρένο να έρχεται προς το μέρος του από την αρχή της γέφυρας και αμέσως συμπεραίνει τα εξής:

Το τρένο κινείται $4$ φορές πιο γρήγορα από ό,τι μπορεί να τρέξει ο Ναθαναήλ.

Αν τρέξει προς το τρένο, θα φτάσουν και οι δύο στο τέλος της γέφυρας την ίδια στιγμή ταυτόχρονα.

Αν τρέξει αντίθετα με τη φορά του τρένου, φτάνουν και οι δύο στην αρχή της γέφυρας την ίδια στιγμή.

Πόσο απέχει ο Ναθαναήλ από τη γέφυρα;

Απλοποίηση

Απόσταση κεκλιμένων

Η εικόνα δείχνει ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο $8$ επί $9$ χωρισμένο σε τρία μέρη με δύο παράλληλες κεκλιμένες γραμμές. Τα τρία μέρη έχουν το ίδιο εμβαδόν. 

Πόσο απέχουν μεταξύ τους οι κεκλιμένες γραμμές;

Ίσες γωνίες

Στο παρακάτω σχήμα τα τριγωνάκια είναι ισόπλευρα.

Να αποδειχθεί ότι οι δύο χρωματισμένες γωνίες είναι ίσες.

Λογαριθμική εξίσωση

Εύστοχες βολές $÷$ άστοχες βολές

Κατά τη διάρκεια της εξάσκησης στο σουτ, ένας παίκτης του μπάσκετ κάνει ένα βήμα πιο κοντά αν χάσει ένα σουτ και ένα βήμα πιο μακριά αν βάλει ένα σουτ.

Μετά από λίγο ώρα, παρατηρεί ότι είναι δύο βήματα πιο μακριά από ό,τι όταν ξεκίνησε. Τι μπορούμε να πούμε για το ποσοστό ευστοχίας $P$ του παίκτη (δηλ. εύστοχες βολές ÷ άστοχες βολές);

(Α) $25$%$ < P \leq50$%

(Β) $P > 50$%

(Γ) $P > 67$%

(Δ) $P > 75$%

(Ε) Δεν υπάρχουν αρκετές πληροφορίες

Βασίλης Ντάτης: Ο 11χρονος Έλληνας «Αϊνστάιν» που κέρδισε μετάλλιο στην παγκόσμια Ολυμπιάδα Ρομποτικής

Ο μαθητής Βασίλης Ντάτης θα μπορούσε να θεωρηθεί και ο Έλληνας «Αϊνστάιν», καθώς, αν και είναι μόλις 11 χρονών, κέρδισε μετάλλιο στην παγκόσμια Ολυμπιάδα ρομποτικής.

Ο αυτοδίδακτος 11χρονος

Ο Βασίλης Ντάτης είναι από τη Λάρισα και είναι γιος στρατιωτικών. Ξεκίνησε να ασχολείται με τον προγραμματισμό ως «αυτοδίδακτος», κατασκευάζοντας απλά παιχνίδια στο «Scratch», μια ιστοσελίδα του ΜΙΤ.

Δεξιά του $2014$

Εάν οι θετικοί ακέραιοι αριθμοί είναι τοποθετημένοι στο σχήμα που φαίνεται στο διάγραμμα, ποιος αριθμός θα εμφανιζόταν στο αμέσως δεξιά του $2014$;

(Α) $2180$      (Β) $2186$      (Γ) $2191$      (Δ) $2197$      (Ε) $2208$

Ανισότητες - 353η