Η Μπέλα και η Έλλα

Η Μπέλα αρχίζει να περπατάει από το σπίτι της προς το σπίτι της φίλης της Έλλας. Την ίδια στιγμή την ίδια στιγμή, η Έλλα αρχίζει να οδηγεί το σκούτερ της προς το σπίτι της Μπέλλας. 

Η καθεμιά τους διατηρεί ένα σταθερή ταχύτητα και η Έλλα οδηγεί $4$ φορές πιο γρήγορα από ό,τι περπατάει η Μπέλλα. 

Η απόσταση μεταξύ των σπιτιών τους είναι $2$  μίλια, δηλαδή $10.560 πόδια$, και η Μπέλα καλύπτει $2 \dfrac{3}{4}$ πόδια με κάθε βήμα. 

Πόσα βήματα θα κάνει η Μπέλα μέχρι να συναντήσει την Έλλα;

Α) $704$      Β) $745$      Γ) $768$      Δ) $867$      Ε) $1056$

Ποια να είναι άραγε ?

Η γραφική παράσταση της πρώτης παραγώγου $f'$ μιας συνάρτησης $f$ φαίνεται παρακάτω.

Ποια από τις ακόλουθες προτάσεις πρέπει να είναι αληθής;

$I$. $f(1) > f(3)$

$II$. $f(3) > f(4)$

$III$. $f(3) - f(2) \leq 2$

$IV$. $f(3) - f(2) \geq 2$

(α) $II$ μόνο

(β) $I, IV$ μόνο

(γ) $II, III$ μόνο

(δ) $I, II, III$ μόνο

(ε) $I, II, IV$ μόνο

Φτηνό πάρκινγκ

Η Ευαγγελία διαθέτει ένα πάρκινγκ όπου μπορούν να σταθμεύουν αυτοκίνητα και μοτοσικλέτες. 

Αυτή χρεώνει $1$ ευρώ ημερησίως για τις μοτοσικλέτες και $1$ ημερησίως για τις μοτοσικλέτες και $2$ ημερησίως για τα αυτοκίνητα. Μια μέρα έχει $100$ οχήματα στο πάρκινγκ της, τα οποία αντιστοιχούν σε $326$ τροχούς. 

Πόσα χρήματα έβγαλε εκείνη την ημέρα;

(Α) $150$     (Β) $163$     (Γ) $100$     (Δ) $326$     (Ε) $180$     (ΣΤ) $50$

Πολυγωνική επιφάνεια

Να βρεθεί το εμβαδόν του ακόλουθου πολυγώνου, δεδομένου ότι 

$∠D =120^0$, $∠B= ∠F=150^0$ και $BC =12$. 

(Το πολύγωνο ABCDEFG έχει άξονα συμμετρίας).

Βάθος νερού

Το παρακάτω κύπελλο είναι ένας κώνος με ύψος $8$ cm, διάμετρο κορυφής $18$ cm και διάμετρος πυθμένα 6 cm. 

Αν γεμίσει με νερό μέχρι το μισό του όγκου του, ποια θα είναι το βάθος του νερού;

Πιθανές τιμές

Έστω ότι $a, b c$ είναι μη μηδενικοί πραγματικοί αριθμοί, με 

$a+b+c = 0$. 

Ποιες είναι οι πιθανές τιμές της παράστασης:

$$\dfrac{a}{ \sqrt{a^2}}+ \dfrac{b}{ \sqrt{b^2}}+\dfrac{c}{ \sqrt{c^2}}+\dfrac{abc}{ \sqrt{a^2b^2c^2}}$$

Χελώνα vs λαγός

Μια χελώνα προκαλεί έναν λαγό σε αγώνα δρόμου. Ο λαγός συμφωνεί πρόθυμα και τρέχει γρήγορα μπροστά, αφήνοντας πίσω του την αργοκίνητη χελώνα. Ο λαγός είναι σίγουρος ότι θα κερδίσει. σταματάει για να πάρει έναν υπνάκο. 

Εν τω μεταξύ, η χελώνα περπατάει με αργό και σταθερό ρυθμό για το ολόκληρο τον αγώνα. Ο λαγός ξυπνάει και τρέχει προς τη γραμμή του τερματισμού, αλλά βρίσκει τη χελώνα ήδη εκεί. Ποιο από τα παρακάτω γραφήματα ταιριάζει με την περιγραφή του αγώνα δρόμου, που δείχνει την απόσταση $d$ που διένυσαν τα δύο ζώα με την πάροδο του χρόνου $t$ από την εκκίνηση έως τον τερματισμό;

Ρολόι τοίχου

Το ρολόι τοίχου στο σπίτι της Εύας, το οποίο δεν είναι ακριβές, χάνει χρόνο με σταθερό ρυθμό.

Μια μέρα πριν κάνει την εργασία της, παρατηρεί ότι το ρολόι τοίχου και το ρολόι της (το οποίο είναι ακριβές) δείχνουν και τα δύο $10:00$ π.μ. 

Όταν τελειώνει την εργασία της, το ρολόι της λέει $10:40$ και το ρολόι τοίχου της λέει $10:35$. Αργότερα εκείνη την ημέρα, η Εύα χάνει το ρολόι της. Αυτή κοιτάζει το ρολόι τοίχου της και αυτό λέει $5:00$ μμ. Ποια είναι η πραγματική ώρα;

Α) $5: 50$μμ    Β) $5: 55$μμ    Γ) $6: 00$μμ    

Δ) $6: 30$μμ    Ε) $4: 35$μμ

Max root

Η μεγαλύτερη πραγματική ρίζα του πολυωνύμου 

$χ^4 - 4χ^3 + 5χ^2 - 4χ + 1$

είναι η

α. $2+ \sqrt{11}-\sqrt{2}$ 

 β. $\sqrt{7}$ 

γ. $\dfrac{5}{2}$ 

 δ. $\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}$ 

 ε.$\sqrt{2+ \sqrt{7}}$

Μία ανισότητα, μία εξίσωση και ένα σύστημα [9]

Έστω $a,b$ και $c$ θετικοί αριθμοί, τέτοιοι ώστε

$a+b+c=abc$.

Να αποδείξετε ότι

$\sqrt{\left(1+a^{2}\right)\left(1+b^{2}\right)}+\sqrt{\left(1+b^{2}\right)\left(1+c^{2}\right)}+$

$+\sqrt{\left(1+c^{2}\right)\left(1+c^{2}\right)}\geq  \sqrt{\left(1+a^{2}\right)\left(1+b^{2}\right)\left(1+c^{2}\right)}+4$

Να λυθεί η εξίσωση

$\dfrac{\log_{2}x}{x^{4}-10x^{2}+26}=\dfrac{5-x^{2}}{\log_{2}^{2}x+1}.$

Να λυθεί το σύστημα 

$\begin{cases} 5x^{2}+2y^{2}+z^{2} & =2\\ xy+yz+zx & =1 \end{cases}$

Πολυκατοικίας συγκάτοικοι

Η Αλίκη και ο Μπάμπης ζουν σε μια πολυκατοικία. Κάθε όροφος της πολυκατοικίας έχει δέκα διαμερίσματα αριθμημένα με διαδοχικούς θετικούς ακέραιους αριθμούς. 

Τα διαμερίσματα $10$ έως $19$ βρίσκονται στον πρώτο όροφο, τα διαμερίσματα $20$ έως $29$ βρίσκονται στον δεύτερο όροφο, τα διαμερίσματα $30$ έως $39$ βρίσκονται στον τρίτο όροφο. όροφος, και ούτω καθεξής.

Αποδεικνύεται ότι ο Μπάμπης μένει στον $n$ όροφο, όπου $n$ είναι ο αριθμός του διαμερίσματος της Αλίκης και ότι το άθροισμα των αριθμών των διαμερισμάτων της Αλίκης και του Μπάμπη είναι $260$.

Ποια είναι η διαφορά των αριθμών διαμερισμάτων τους (δηλαδή, ο αριθμός του Μπάμπη μείον τον αριθμό της Αλίκης);

a. $0$    β. $195$    γ. $214$    δ. $246$    ε. $310$

Πεδίο ορισμού

Η γραφική παράσταση της $f^{−1}(x)$ φαίνεται παρακάτω. 

Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης 

$g(x) = f(4 − x)$.

Επιλεγμένα άρθρα του Mathematical Excalibur: POLE and POLAR

THEOREM OF THE DAY: Euclid’s Infinity of Primes

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Τιμή παράστασης

Αν η παράσταση

γράφεται στη μορφή $x^a y^b z^c$ , να βρεθεί η τιμή

$log_{2}  \big( \dfrac{1}{a+b+c} \big)$.

Διαφορά εμβαδών

Στο παρακάτω σχήμα, το $ABC$ είναι ορθογώνιο τρίγωνο. 

Γνωρίζουμε ότι

 $BC=4$, $AC=20$, $AE = BE$,  $DE= BD$.  

Έστω $M$ το εμβαδόν του τριγώνου $BDE$ και $N$ το εμβαδόν του $BEA$. 

Να βρεθεί η διαφορά

$|Μ-Ν|$.

$a+b=?$

Έστω

$f (x)= - 2lnx$, $g(x) = e^{2x+3}$ και $h(x) = - 2^x$.

Αν 

 $a=(f \circ g \circ h)(2)$

και 

$b=h^{-1}\big(-\dfrac{1}{ \sqrt{2}}\big) + \big(g^{-1} \circ h^{-1}\big)(-4)$ 

να βρεθεί το άθροισμα 

$a+b$.

Trisectrix of Maclaurin

Video Calculus: Leibniz Notation and the Chain Rule (20 minutes)

Liebniz notation for the derivative. The chain rule.

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Το ολοκλήρωμα της ημέρας 30/6/2023

61.O αριθμός $m$ είναι ο μικρότερος θετικός ακέραιος έτσι ώστε ο αριθμός

$m\big(\dfrac{2ln2}{3} - \int_0^1 x^2 ln(x+1)dx\big)$

να είναι επίσης ακέραιος. Να βρεθεί ο $m$.

Πάρκινγκ αυτοκινήτων

Μπαίνετε σε ένα πάρκινγκ ενός πολυκαταστήματος και βλέπετε παρκαρισμένα $10$ αυτοκίνητα, κατασκευασμένα τα έτη 

$1960, 1961, 1962, 1963, 1964, 1965, 1966, 1967, 1968$ και $1969$. 

Τα αυτοκίνητα είναι τακτοποιημένα στη σειρά και με τυχαία σειρά ημερομηνίας. 

Ποιες είναι οι πιθανότητες τα τρία πλησιέστερα αυτοκίνητα να έχουν ημερομηνίες με φθίνουσα σειρά;

Προσοχή στο φανάρι

Μία νταλίκα έχει ύψος $12$ πόδια και $8$ ίντσες (από το δρόμο μέχρι την κορυφή). Η καμπίνα του φορτηγού έχει μήκος $8$ πόδια και το φορτηγό έχει μήκος $24$ πόδια (βλ. παρακάτω εικόνα). 

Εάν το μπροστινό μέρος του φορτηγού απέχει $8$ πόδια από ένα φανάρι που είναι ψηλά $18$ πόδια πάνω από το δρόμο, πόσο πίσω από το φορτηγό πρέπει να είναι ο οδηγός ενός αυτοκινήτου ώστε να μπορεί να δει το φανάρι; 

Υποθέτουμε ότι το μάτι του οδηγού είναι $4$ πόδια πάνω από το δρόμο.

Πίσω μπρος

Μια τυπική κλειδαριά συνδυασμού έχει $40$ αριθμούς $(0 - 39)$. Ας υποθέσουμε ότι η κλειδαριά είναι τοποθετημένη όπως στο παρακάτω διάγραμμα, με τον επιλογέα να δείχνει στο $0$.

Χρησιμοποιήστε το τυπικό σύστημα συντεταγμένων όπου η αρχή είναι στο κέντρο της κλειδαριάς και ο θετικός άξονας $x$ εκτείνεται από την αρχή έως τον αριθμό $0$ στην κλειδαριά. 

$g(2)=?$

Έστω 

$h(x) = \dfrac{\dfrac{ \dfrac{1}{x}}{x+1}}{x+3}$

και

                              $g(x) = h(h(h(h(x)+2)))$.

Nα βρεθεί η τιμή

 $g(2)$.

Φορολογία εισοδήματος

Ένας βουλευτής προτείνει ένα νόμο για τη φορολογία εισοδήματος ως εξής: αν τα κέρδη σας σε μια δεδομένη ημέρα είναι $x$ ευρώ, τότε πληρώνετε $x$ τοις εκατό του εισοδήματός σας εκείνη την ημέρα σε φόρους και αν κερδίζετε $100$ ευρώ ή περισσότερα σε μια ημέρα, πληρώνετε όλο το εισόδημά σας σε φόρους. 

Ποιος ημερήσιος μισθός θα σας αφήσει με το περισσότερα χρήματα μετά την καταβολή των φόρων;

α. $45$ β. $48$ γ. $49,75$ δ. $50$ ε. $52$

$f$, $f '$, $f''$ κατά σειρά

Στο σχήμα παρουσιάζονται τρία γραφήματα με τις ενδείξεις $I$, $II$ και $III$. Το ένα είναι η γραφική παράσταση της $f$, το άλλο είναι η γραφική παράσταση της $f '$ και το άλλο η γραφική παράσταση της $f''$.

Ποιο από τα παρακάτω προσδιορίζει τη σειρά $f$, $f '$, $f''$, για κάθε μία από τις τρεις γραφικές παραστάσεις;

α) $I, II, III$      β) $I, III, II$      γ) $II, I, III$      

δ) $II, III, I$      ε) $III, II, I$

Τρεις νομισματικές μονάδες

Στη χώρα του Μάθτζοκ, υπάρχουν τρεις νομισματικές μονάδες: το Μπλοκ, το Κλοκ και το Ντλοκ.

Σας λένε ότι $2$ Μπλοκ και $5$ Κλοκ αξίζουν $52$ Ντοκλ, ενώ $3$ Μπλοκ και $4$ Κλοκ αξίζουν $52$ Ντοκλ αξίζει $57$ Ντοκλ. 

Πόσο αξίζουν $4$ Μπλοκ και $3$ Κλοκ;

(Α) $54$ Ντοκλ

(Β) $56$ Ντοκλ

(Γ) $58$ Ντοκλ

(Δ) $60$ Ντοκλ

(Ε) $62$ Ντοκλ

Απογραφή

Το ένα τρίτο των ανθρώπων από τη χώρα $Α$ ισχυρίζεται ότι είναι από τη χώρα $Β$ και οι υπόλοιποι παραδέχονται ότι είναι από τη χώρα $Α$. 

Το ένα τέταρτο των ανθρώπων από τη χώρα $Β$ ισχυρίζονται ότι είναι από τη χώρα $Α$ και οι υπόλοιποι παραδέχονται ότι είναι από τη χώρα $Β$. 

Σε μια απογραφή των δύο χωρών, το μισό του συνολικού πληθυσμού ισχυρίστηκε ότι είναι από τη χώρα $Α$. 

Ποια είναι η αναλογία του πληθυσμού της χώρας$ Α$ προς αυτή της χώρας $Β$;

(A) $1/2$      (B) $1$      (Γ) $3/2$      (Δ) $2$      (E) $5/2$ 

Δύο άνισοι

Βρείτε δύο άνισους αριθμούς, ο καθένας από τους οποίους είναι το τετράγωνο του άλλου.

2 - Το έλυσες; Η απλή ερώτηση που σχεδόν όλοι κάνουν λάθος!

Θα παρουσιάσουμε έξι παζλ, βασισμένα σε ένα τεστ IQ για παιδιά που επινόησε η Αμερικανίδα ψυχολόγος Γκρέις Άρθουρ τη δεκαετία του $1920$.

Σε κάθε παζλ υπάρχει ένα τετράγωνο με σχέδια στην κορυφή. Η πρόκληση είναι να μάθετε πώς να δημιουργήσετε αυτό το τετράγωνο τοποθετώντας μερικά από τα διαθέσιμα χρωματιστά μπλοκ το ένα πάνω στο άλλο.

Εδώ είναι το δεύτερο παράδειγμα. Είναι πολύ απλό, αλλά περίπου το 90% των ανθρώπων το κάνουν λάθος ανεξάρτητα από το IQ τους.

Πηγή: Theguardian

Γαλλική σημαία

Η γαλλική σημαία έχει μια λευκή λωρίδα στη μέση με μια μπλε λωρίδα στα αριστερά και μια κόκκινη λωρίδα στα δεξιά.

  

Με πόσους τρόπους μπορείτε να χρωματίσετε μια παρόμοια σημαία (δηλαδή με τρεις λωρίδες) αν έχετε μια επιλογή από πέντε χρώματα και καμία από τις δύο γειτονικές λωρίδες δεν μπορεί να έχει το ίδιο χρώμα;

α. $60$      β. $80$      γ. $100$      δ. $125$      ε. $150$

Βέλος στο τρίγωνο

Σε έναν τοίχο σχεδιασμένο ένα μεγάλο τρίγωνο με κορυφές στα $(0,0), (0,4)$ και $(5,0)$, όπως βλέπετε στο παρακάτω σχήμα. Ρίχνετε ένα βέλος στο εσωτερικό του τριγώνου.   

Ποια είναι η πιθανότητα η τετμημένη $x$ του βέλους του σημείου που θα καρφωθεί το βέλος να είναι μικρότερη από τη τεταγμένη $y$; 

Μία ανισότητα, μία εξίσωση και ένα σύστημα [8]

Έστω οι θετικοί αριθμοί $a$ και $b$. Να αποδείξετε ότι

$$\dfrac{a+b}{1+ab}+\left(\dfrac{1}{1+a}+\dfrac{1}{1+b}\right)ab+\dfrac{a+b+2ab}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)ab}\geq3.$$ 

Πότε ισχύει η ισότητα?

Να λυθεί η εξίσωση

$$\sqrt{2x-2}+\sqrt[3]{x-2}=\dfrac{9-x}{\sqrt[3]{8x-16}}.$$

Να λυθεί το σύστημα 

$$\begin{cases} x & =2^{1-y},\\ y & =2^{1-x}. \end{cases}$$

Το ολοκλήρωμα της ημέρας 29/6/2023

60. Aν

$ 2000+ \int_0^α \dfrac{63}{π(1+x^2)}dx=2021$

να υπολογιστεί ο αριθμός $α$.

Why $π$ is in the normal distribution (beyond integral tricks)

Κλίση $\pm 1$

Βρείτε το άθροισμα των μηκών όλων των ευθύγραμμων τμημάτων με κλίση $1$ ή $-1$ που συνδέουν δύο σημεία στο παρακάτω διάγραμμα.

Ραδιενεργό υλικό

Τα ραδιενεργά υλικά διασπώνται με ρυθμό ανάλογο με την ποσότητα που υπάρχει. Πριν από δύο χρόνια ένα εργαστήριο είχε $50$ γραμμάρια συγκεκριμένης ραδιενεργής ουσίας. Σήμερα το εργαστήριο έχει $40$ γραμμάρια της ουσίας. 

Πόσα γραμμάρια θα έχει το εργαστήριο σε τέσσερα χρόνια από τώρα;

(α) $25,6$      (β) $31,2$      (γ) $34,5$      (δ) $19,4$      (ε) $23,8$

Σακούλες με μπίλιες

Ο Τρύφων έχει μπροστά του έξι σακούλες με μπίλιες. 

Το πλήθος των μπιλιών στις σακούλες είναι διαδοχικοί ακέραιοι αριθμοί, όχι απαραίτητα διαφορετικοί, για παράδειγμα $12, 12, 13, 14, 14, 15$.

Ο Τρύφων παίρνει τρεις σακούλες για τον εαυτό του και δίνει τις άλλες τρεις στον αδελφό του.

Τώρα έχει συνολικά $58$ μπίλιες και ο αδελφός του έχει $61$.

Πόσες μπίλιες είχε η κάθε σακούλα;

Επιστήμη το 2023

Οι πέντε αριθμοί

Πέντε αριθμοί γράφτηκαν στους πέντε δίσκους στο παρακάτω σχέδιο.

Έχουν σβηστεί, αλλά ευτυχώς, σε κάθε τμήμα, είχαμε φροντίσει να γράψουμε το άθροισμα των δύο αριθμών που είναι τοποθετημένοι στους δύο δίσκους που βρίσκονται στα άκρα του τμήματος αυτού. Βρείτε τους πέντε αριθμούς.

Διόρθωση: ο αριθμός που βρίσκεται δεξιά πρέπει να γράφει $36$ και όχι $30$.

Οκτώ χορδές

Ποιος είναι ο μέγιστος αριθμός επιφανειών στις οποίες $8$ χορδές μπορούν να χωρίσουν έναν κύκλο;

THEOREM OF THE DAY: Bayes’ Theorem

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Διακοπές στην Χαβάη

Υπάρχει ένας κατακόρυφος φοίνικας ύψους $21$ ποδιών που αναπτύσσεται στη μέση ενός μεγάλου επίπεδου νησιού της Χαβάης. Μια συγκεκριμένη ημέρα, ο ήλιος θα ανατείλει στις $6:00$ π.μ. και θα δύσει στις $6:00$ μ.μ. 

Το μεσημέρι εκείνης της ημέρας, ο ήλιος θα είναι ακριβώς από πάνω και ο κορμός του φοίνικα δεν θα ρίχνει σκιά.

Ένας καθηγητής μαθηματικών που επισκεπτόταν το νησί, ξάπλωσε το βράδυ πριν από αυτήν την ιδιαίτερη μέρα και ξύπνησε το πρωί όταν οι ακτίνες του ήλιου έφτασαν στα μάτια του, που ήταν $13$ πόδια δυτικά από το δέντρο.

Τι ώρα ξύπνησε;

Έκφραση f(χ)

Έστω 

$f(χ)= \dfrac{χ-1}{χ+1}$.

Να εκφράσετε την $(f(2χ)$, συναρτήσει της $f(χ)$.

Δύο αργυρά και δύο χάλκινα μετάλλια στη Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα Νέων (JBMO 2023)

Συγχαίρουμε θερμά την ομάδα των νέων που απέσπασε δύο αργυρά και δύο χάλκινα μετάλλια στη φετινή JBMO! Μας γέμισαν με μεγάλη χαρά και υπερηφάνεια.

Πιο συγκεκριμένα, ο Λάζαρος Καραγεωργίου (25 μονάδες) και ο Μιχαήλ Τσουρέκας (19 μονάδες) απέσπασαν αργυρό μετάλλιο, ενώ ο Κωνσταντίνος Μπερούκας (12 μονάδες) και η Ιωάννα Ζάχου (12 μονάδες) χάλκινο. Ας αναφέρουμε, επίσης, ότι η Λυδία Κράτσα έφτασε πολύ κοντά στο χάλκινο με τις 9 μονάδες που συγκέντρωσε.