Challenging Recreational Mathematics: 05/01/2023

Τετάρτη 31 Μαΐου 2023

Γαλάζιο εμβαδόν

Να βρεθεί το εμβαδόν του γαλάζιου ορθογωνίου.

Τιμή αθροίσματος

Αν

$$\dfrac{ \sqrt{15}+ \sqrt{35}+ \sqrt{21}+5}{ \sqrt{3}+2 \sqrt{5}+ \sqrt{7}}= \dfrac{α \sqrt{7}+β \sqrt{5}+γ \sqrt{3}}{2}$$

όπου $α,β,γ$ ακέραιοι αριθμοί, τότε να βρεθεί η τιμή του αθροίσματος

$α + β+ γ$.

Το παρακάτω σχήμα δείχνει επτά πολυγωνικά πλακίδια που μπορούν να ενωθούν μεταξύ τους για να σχηματίσουν ένα τετράγωνο όπως φαίνεται, στο παρακάτω σχήμα. Δύο από τα πλακίδια είναι τετράγωνα και τα άλλα πέντε είναι ισοσκελή ορθογώνια τρίγωνα.

Εάν το εμβαδόν του σκιασμένου τριγωνικού πλακιδίου είναι $18$ τετραγωνικά εκατοστά, ποιος είναι ο μέσος όρος των επιφανειών (σε τετραγωνικά εκατοστά) και των επτά πλακιδίων;

Τιμή παραγώγου

Έστω οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις $f (x)$ και η $g(x)$ των οποίων και οι δύο γραφικές παραστάσεις διέρχονται από το σημείο $(2,5)$. Επιπλέον η εφαπτομένη της $C_f$ στο σημείο αυτό έχει συντελεστή διεύθυνσης $-1$ και η κάθετη της εφαπτομένης της $C_g$ στο ίδιο σημείο έχει συντελεστή διεύθυνσης $\dfrac{1}{3}$. Αν

$h(x)= \dfrac{f(x)}{g(x)}+f(x)g(x)$

τότε να βρεθεί η τιμή $h'(2)$.

α) $-2$ β) $-\dfrac{102)}{5}$ γ) $-\dfrac{98}{5}$ δ) $-\dfrac{54}{15}$ ε) $-5$

Άρρητη και τρεις άγνωστοι

Nα λυθεί η εξίσωση

$$\sqrt{z-y^2-6x-26}+x^2+6y+z-8=0$$

Κανονικό $12$-γωνο

Ένα κανονικό $12$-γωνο εγγράφεται σε έναν κύκλο ακτίνας $12$. Το άθροισμα των μηκών όλων των πλευρών και των διαγωνίων του $12$-γωνο μπορεί να γραφτεί με τη μορφή

$a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3 }+d\sqrt{6}$

όπου οι $a,\,b,\,c$ και $d$ είναι θετικοί ακέραιοι αριθμοί.

Βρείτε το άθροισμα $a+b+c+d$.

Μεγαλύτερη - μικρότερη

Η κυβική εξίσωση

$x^3+ax^2+bx+c=0$

έχει πραγματικούς συντελεστές και τρεις πραγματικές ρίζες.

Δείξτε ότι το

$a^2-3b\ge 0$

και ότι το $\sqrt{a^2-3b}$ είναι μικρότερο ή ίσο με τη διαφορά μεταξύ της μεγαλύτερης και της μικρότερης ρίζας.

Πόσους αριθμούς βλέπετε;

Η σταθερά του Brun και η Barbra Streisand

Η δίδυμη πρώτη εικασία, γνωστή και ως εικασία του Polignac, στη θεωρία αριθμών, λέγεται ο ισχυρισμός ότι υπάρχουν άπειρα πολλά δίδυμοι πρώτοι, ή ζεύγη πρώτων που διαφέρουν κατά $2$.

Για παράδειγμα, οι $3$ και $5$, $5$ και $7, 11$ και $13$, και $17$ και $19$ είναι δίδυμοι πρώτοι. Καθώς οι αριθμοί μεγαλώνουν, οι πρώτοι γίνονται λιγότερο συχνοί και οι δίδυμοι πρώτοι ακόμα πιο σπάνιοι.

Η σταθερά του Brun, 1,90216. . . , είναι ο αριθμός που προκύπτει προσθέτοντας τα αντίστροφα των περιττών δίδυμων πρώτων αριθμών Οι δίδυμοι πρώτοι είναι ζεύγη πρώτων που διαφέρουν κατά δύο. Οι πρώτοι δίδυμοι πρώτοι είναι οι ${3, 5}, {5, 7}, {11, 13,}$ και ${17, 19}$.

Έχει υποτεθεί ότι υπάρχουν άπειροι δίδυμοι πρώτοι. Κανείς δεν ξέρει σίγουρα. Η εικασία αναφέρθηκε ακόμη και στην ταινία του $1996$ «The Mirror Has Two Faces», στην οποία πρωταγωνίστησε η Barbra Streisand.

International Mathematics Competition for University Students IMC (1994 - 2022) - Problems and Solutions (pdf)

IMC 1994 IMC 1995 IMC 1996 IMC 1997 IMC 1998 IMC 1999 IMC 2000 IMC 2001 IMC 2002 IMC 2003 IMC 2004 IMC 2005 IMC 2006 IMC 2007 IMC 2008 IMC 2009 IMC 2010 IMC 2011 IMC 2012 IMC 2013 IMC 2014 IMC 2015 IMC 2016 IMC 2017 IMC 2018 IMC 2019 IMC 2020 IMC 2021 IMC 2022

Το ολοκλήρωμα της ημέρας 31/5/2023

33. Nα υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:

$\int(συνx)^{συνx+1}εφx(1 + log(συνx)) dx$

Integration Bee MIT

Τρίτη 30 Μαΐου 2023

Ολοκλήρωμα από διάγραμμα

Στο παρακάτω διάγραμμα έχουμε την γραφική παράσταση μιας συνάρτησης $f$.

Με βάση το διάγραμμα να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα

$\int_{-2}^0 x \mid f' (χ^2) \mid dx$

α) $\dfrac{22}{3}$ β) $10$ γ) $4$ δ) $−10$ ε) $- \dfrac{22}{3}$

=-=-=-=-=-=-=-=-=-=

Κάντε κλικ στην παρακάτω εικόνα, για να δείτε τη λύση που μου έστειλε ο κ. Κ. Δόρτσιος.

Ελάχιστη τιμή

Nα βρεθεί η ελάχιστη τιμή της παράστασης

$\sqrt{x^2-7\sqrt{2}x+49}+\sqrt{x^2-\sqrt{2}xy+y^2}+\sqrt{y^2-10y+50}$

όπου $x$, $y$ θετικοί αριθμοί.

Οικογενειακός σχεδιασμός

Μια τετραμελής οικογένεια (πατέρας, μητέρα, γιος και κόρη) ξεκίνησαν για πεζοπορία στην εξοχή. Περπάτησαν όλη την ημέρα, και όταν πια άρχισε να νυχτώνει έφτασαν σε μια παλιά γέφυρα πάνω από ένα βαθύ φαράγγι.

Ήταν πολύ σκοτεινά και είχαν μόνο ένα φακό μαζί τους. Η γέφυρα ήταν τόσο στενή και ετοιμόρροπη, ώστε μπορούσε να αντέξει μόνο δύο άτομα ταυτόχρονα.

Ας υποθέσουμε ότι ο γιος μπορεί να διασχίσει τη γέφυρα σε $1$ λεπτό, η κόρη σε $3$, ο πατέρας σε $8$ και η μητέρα σε $10$.

Είναι δυνατόν να διασχίσει όλη η οικογένεια τη γέφυρα σε 20 λεπτά; Αν ναι, πώς μπορεί να το πετύχει;

(Οταν περνούν τη γέφυρα δύο άτομα, η ταχύτητά τους είναι ίση με την ταχύτητα του βραδύτερου. Επίσης, όποιοι διασχίζουν τη γέφυρα πρέπει να χρησιμοποιούν τον φακό.)

Περιοδικό Quantum

Video Calculus: Trigonometric Limits (17 minutes)

Limits involving sine and cosine. Vertical asymptotes of tan, cot, sec, csc. The limit of sin(x)∕x as x → 0 and related limits.

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Μήκος ερωτηματικό [5]

Απλοποίηση

Να απλοποιηθεί η παράσταση

$$\sqrt{2 \big(1+ \sqrt{1+ \big( \frac{χ^4-1}{2χ^2}\big)^2} \big) }$$

α. $\dfrac{χ^2+1}{ \sqrt{2}χ}$ β. $\dfrac{χ^2+1}{χ}$ γ. $\sqrt{ \dfrac{χ^2+1}{2χ^2}}$

δ. $χ^2+1$ ε. $\dfrac{χ^2-1}{ \sqrt{2}χ}$

Video Calculus: Continuity (19.5 minutes)

Definition of continuity at a point. Continuity of polynomials, rational functions, and trigonometric functions. Left and right continuity. Continuity on an interval.

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Γινόμενο μικτών

Θεωρούμε το γινόμενο των δύο μικτών κλασμάτων

$m \dfrac{6}{7} \times n \dfrac{1}{3}=23$

όπου $m,n$ θετικοί ακέραιοι αριθμοί.

Να βρεθεί το άθροισμα $m+n$.

ΣΤΟΧΟΣ $161$

Χρησιμοποιώντας τα σύμβολα των τεσσάρων πράξεων (όχι απαραίτητα όλες) και παρενθέσεις και τους αριθμούς $2, 2, 4, 6, 6$ και $8$ από μία φορά το καθένα, να σχηματίσετε τον αριθμό $161$.

GEOGEBRA: Τετραγωνισμός του κύκλου

Τετραγωνισμός του κύκλου

Εκκεντροκυκλικά

Από το έκκεντρο $I$ τριγώνου $ABC$ φέρνω κάθετη στη $BC$ που τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο στα σημεία $P,Q$

Αν οι

τέμνουν τη

στα

να δείξετε ότι τα σημεία

είναι ομοκυκλικά.

Πηγή: mathematica

Σύγκριση αριθμών [6]

Έστω ο αριθμός

$S=\dfrac{2}{2013+1}+\dfrac{2^{2}}{2013^{2}+1}+\dfrac{2^{3}}{2013^{2^{2}}+1}+$

$+\ldots+\dfrac{2^{2014}}{2013^{2^{2013}}+1}$

Ποιος αριθμός είναι μεγαλύτερος ο

$S$ ή ο $\dfrac{1}{1006}$?

Το ολοκλήρωμα της ημέρας 30/5/2023

32. Nα υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:

$\int\dfrac{x-1}{x+x^2logx}dx$

Integration Bee MIT

Δευτέρα 29 Μαΐου 2023

Μεγαλύτερη τιμή

Έστω συνάρτηση $f: R \rightarrow R$ για την οποία ισχύουν:

i) $\mid f(a) - f(b) \mid \leq \mid a-b \mid $, $\forall a,b \in R$

ii) $f(f(f(0))) = 0$

Να βρεθεί η μεγαλύτερη δυνατή τιμή του $f(0)$.

Θετικός ακέραιος

Για οποιονδήποτε φυσικό αριθμό $n$, ($n\ge 3$), έστω το $f(n)$ υποδηλώνει τον αριθμό των μη ομοιόμορφων ακέραιων τριγώνων με περίμετρο $n$

(π.χ. $f(3)=1 ,\,f(4)=0,\,f(7)=2$).

Δείξτε ότι:
1. $f(1999)>f(1996)$,
2. $f(2000)=f(1997)$.
Βρείτε τον θετικό ακέραιο $n$ έτσι ώστε

$133^5+110^5+84^5+27^5=n^5$.

Μονοπάτι σύντομο

Μια μύγα και ένα μυρμήγκι βρίσκονται σε μια κορυφή ενός μοναδιαίου κύβου. Θέλουν να κατευθυνθούν στην απέναντι κορυφή του κύβου.

Η μύγα μπορεί να πετάξει μέσα από το εσωτερικό του κύβου, ενώ το μυρμήγκι πρέπει να περπατήσει στις ακμές του κύβου. Πόσο μικρότερο είναι το μονοπάτι της μύγας αν και τα δύο έντομα ακολουθήσουν το συντομότερο δυνατό μονοπάτι.

Περιοδικό FORUM GEOMETRICORUM, Τεύχη 1 - 5

IMC 2010 - Ημέρα 1η - Πρόβλημα 1

Έστω $0< α < β$. Να αποδείξτε ότι

$\int_a^b (x^2+1)e^{-x^2}dx \geq e^{-a^2} - e^{b^2}$.

Άθροισμα γωνιών

Στο παρακάτω σχήμα, να υπολογιστεί το άθροισμα

$\angle Α_1+\angle 2+\angle 3+\angle 4+\angle 5+\angle 6+\angle 7$.

Το γκρίζο εμβαδόν

Το $ABCD$ είναι ορθογώνιο. Να βρείτε το εμβαδόν του τετράπλευρου $ATSD$.

Πηγή: mathematica

Τροφή επ' αόριστον

Ένα δέντρο έχει $10$ κιλά μήλα την αυγή. Κάθε απόγευμα, ένα πουλί έρχεται και τρώει $x$ κιλά μήλα. Κατά τη διάρκεια της νύχτας, η ποσότητα τροφής στο δέντρο αυξάνεται κατά $10$%.

Ποιο είναι το μέγιστο τιμή του $x$ τέτοια ώστε το πουλί να μπορεί να συντηρηθεί επ' αόριστον από το δέντρο χωρίς να τελειώσει η τροφή του στο δέντρο.

Stanford Math Tournament 2013

Άθροισμα $α+β$

Έστω το κλάσμα $\dfrac{α}{β}$ με τον μικρότερο δυνατό θετικό παρονομαστή που ικανοποιεί την σχέση:

$$\dfrac{386}{2019}< \dfrac{α}{β}< \dfrac{35}{183}$$

Να βρεθεί το άθροισμα $α+β$.

Το ολοκλήρωμα της ημέρας 29/5/2023

31. Nα υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:

$\int \dfrac{dx}{xx^{\frac{16}{25}}+x^{\frac{9}{25}}}$

Integration Bee MIT

Κυριακή 28 Μαΐου 2023

Κουνελοκατασκευές

α) Ένα κουνέλι που του αρέσουν τα Μαθηματικά έχει μία τετράγωνη αυλή με πλευρά $10$ μέτρα. Φτιάχνει εκεί ένα κηπάκο για να φυτέψει αγγουράκια συνδέοντας κάθε κορυφή της αυλής με το μέσο μιας απέναντι πλευράς, πηγαίνοντας δεξιόστροφα, όπως φαίνεται στο σχήμα παρακάτω.

Ποιο είναι το εμβαδόν της περιοχής που σχηματίζεται στο εσωτερικό του τετραγώνου;

β) Ας υποθέσουμε ότι το κουνέλι φτιάχνει τον κηπάκο του συνδέοντας κάθε κορυφή της αυλής με ένα σημείο σε απόσταση $x$ από την επόμενη κορυφή, πηγαίνοντας δεξιόστροφα, όπως φαίνεται στο σχήμα.

Τώρα ποιο είναι το εμβαδόν της περιοχής στο εσωτερικό του τετραγώνου;

Άθροισμα $2w + 3x+ 5y+7z$

Αν $w,x,y,z$ είναι ακέραιοι αριθμοί και ισχύει

$2^w\times 3^x\times 5^y\times 7^z=882$

τότε το άθροισμα

$2w + 3x+ 5y+7z$

ισούται με

α) $46$ β) $25$ γ) $22$ δ) $35$ ε) $60$ ζ) $21$

Ολοκλήρωμα περιμέτρου

Με τη βοήθεια της συνάρτησης

$f(x)= \dfrac{\sqrt{8}}{3} \sqrt{9-x^2}$

σχηματίζουμε τρίγωνα με κορυφές τα σημεία $(-1,0)$, $(x, f(x))$, $(1,0)$, για κάθε $x \in (-3,3)$.

Αν $P(x)$ είναι η περίμετρος των τριγώνων αυτών , τότε να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα

$\int_0^3 P(x) dx=$

α) $3π\sqrt{2}$ β) $24$ γ) $64$ δ) $9$ ε) $10$

ΣΤΟΧΟΣ 227

Χρησιμοποιώντας τα σύμβολα των τεσσάρων πράξεων (όχι απαραίτητα όλες) και παρενθέσεις και τους αριθμούς $3, 3, 4, 4, 5,5$ από μία φορά το καθένα, να σχηματίσετε τον αριθμό $227$.

Μήκος ερωτηματικό [4]

Απόλυτη παράσταση

Έστω $α, β,γ$ ακέραιοι που ικανοποιούν τις σχέσεις

$αβ + βγ +γα = 1$

και

$(1 + α^2)(1 +β^2)(1 + γ^2) = 6923904100$.

Να βρεθεί η τιμή της παράστασης

$\mid (α+β)(β+γ)(γ+α) \mid$.

Το ολοκλήρωμα της ημέρας 28/5/2023

30. Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα

$\int \left(x^{10}+\sqrt{1+x^{20}}\right)^{^{\Large\frac{21}{10}}}\,dx\ $

όπου $x\in \mathbb{R}$.

Σάββατο 27 Μαΐου 2023

Αναμνηστική φωτογραφία

Οκτώ άτομα ποζάρουν μαζί σε ευθεία γραμμή για μια φωτογραφία. Η Αλίκη και ο Μπάμπης πρέπει να σταθούν ο ένας δίπλα στον άλλο και η Καίτη και ο Νίκος πρέπει να σταθούν ο ένας δίπλα στον άλλο.

Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούν να ποζάρουν τα οκτώ άτομα για τη φωτογραφία τους;

Προτεινόμενα θέματα θεωρίας Α’, Β’ και Γ’ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Προτεινόμενα θέματα θεωρίας μαθηματικών Α’, Β’ και Γ’ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ από τους μαθηματικούς του 2ου Γυμνασίου Βέροιας Τριανταφυλλίδου Ε. και Κουκουλιάντας Γ.

Α Γυμνασίου

Β Γυμνασίου

Γ Γυμνασίου

Πηγή: askisopolis