Ρόμβος και ορθογώνιο

Με ένα χαρτόνι η Ιουλία σχεδίασε ένα ορθογώνιο και έναν ρόμβο. Στη συνέχεια παρατήρησε ότι τα δύο τετράπλευρά του δεν έχουν μόνο την ίδια περίμετρο, αλλά και το ίδιο εμβαδόν.

Επιπλέον, τα μήκη των πλευρών του ορθογωνίου και των διαγωνίων του ρόμβου είναι ακέραιοι αριθμοί (σε εκατοστά).

Ποια είναι η μικρότερη δυνατή περίμετρος του ορθογωνίου που έφτιaξε η Ιουλία;

Είναι δυνατόν;

Είναι δυνατόν να τοποθετηθούν οι αριθμοί από το $1$ έως το $121$ σε έναν πίνακα $11 × 11$ έτσι ώστε οι αριθμοί που διαφέρουν κατά $1$ να βρίσκονται σε οριζόντια ή κάθετα γειτονικά κελιά και όλα τα τέλεια τετράγωνα $(1, 4, 9, . . . . . . 121)$ να είναι σε μια στήλη;

Inversion: Reflection in a Circle: What is it? A Mathematical Droodle

Explanation

Το μαργαριτάρι

Τρεις πέτρες, τρία κοχύλια και ένα μαργαριτάρι τοποθετούνται σε πανομοιότυπα κουτιά σε μια κυκλική πλάκα με τη σειρά που φαίνεται.

Στη συνέχεια κλείνουν τα καπάκια των κουτιών και η πλάκα περιστρέφεται. Μπορείτε να ανοίγετε ένα κουτί τη φορά. Ποιος είναι ο μικρότερος αριθμός κουτιών που πρέπει να ανοίξετε για να μάθετε πού βρίσκεται το μαργαριτάρι;

Γενέθλια για τρεις

Ο Mατθαίος, η Mατθίλδη και ο Ιάκωβος γιορτάζουν σήμερα τα γενέθλιά τους. Είναι όλοι διαφορετικής ηλικίας και ο Ματθαίος, ο νεότερος από τους τρεις, είναι τέσσερα χρόνια μικρότερος από τον Ιάκωβο, τον μεγαλύτερο. 

Καθώς τους αρέσουν οι αριθμοί, διασκεδάζουν υπολογίζοντας όλα τα αθροίσματα δύο ή τριών αριθμών που επιλέγονται από τις ηλικίες τους. Με την πρόσθεση αυτών των αθροισμάτων παίρνουν ένα πρώτο αποτέλεσμα. 

Στη συνέχεια υπολογίζουν όλες τις θετικές διαφορές που μπορούν να υπολογιστούν μεταξύ δύο από τις ηλικίες τους και στη συνέχεια προσθέτουν αυτές τις διαφορές και παίρνουν ένα δεύτερο αποτέλεσμα. Στη συνέχεια διαιρούν το πρώτο αποτέλεσμα με το δεύτερο και, έκπληξη, παίρνουν ακριβώς την ηλικία του Ιάκωβου.

Πόσο χρονών είναι ο Ιάκωβος;

10 Equations That Changed The World

Crazy Power Representations of Natural Numbers

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Χολμς και Γουάτσον

Δύο ντετέκτιβ, ο Χολμς και ο Γουάτσον δεν, κυνηγούν έναν κλέφτη σε μια βιβλιοθήκη, η οποία έχει την κάτοψη ακριβώς όπως φαίνεται στο διάγραμμα. Ο Χολμς και ο Γουάτσον ξεκινούν από το κεντρικό δωμάτιο με την ένδειξη $D$.

Δείξτε ότι ανεξάρτητα από το πού βρίσκεται ο κλέφτης ή πώς κινείται, ο Holmes και ο Watson μπορούν να τον βρουν. Ο Χολμς και ο Γουάτσον δεν χρειάζεται να είναι μαζί. Ένας ντετέκτιβ βλέπει τον κλέφτη μόνο αν βρίσκονται στο ίδιο δωμάτιο. 

Ένας ντετέκτιβ δεν μπορεί να σταθεί σε μια πόρτα για να δει δύο δωμάτια ταυτόχρονα.

Σύγκριση εξαγώνων

Ένα παραλληλόγραμμο $ABCD$ χωρίζεται από τη διαγώνιο $BD$ σε δύο ίσα τρίγωνα. Δύο κανονικά εξάγωνα είναι εγγεγραμμένα στα τρίγωνα $ABD$ και $BCD$, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

  

Ποιο από τα εξάγωνα είναι μεγαλύτερο;

43ο ΔΙΕΘΝΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΤΟΥΡΝΟΥΑ ΠΟΛΕΩΝ

Προς Maclaurin

(1) Γνωρίζουμε ότι $\cos x \leq 1$ για κάθε $x$. Mε τη βοήθεια της παραγώγου της συνάρτησης $$f(x) = x - \sin x$$ να αποδείξετε ότι $\sin x \leq x$ for $x \geq 0$.

(2) Mε τη βοήθεια της παραγώγου της συνάρτησης $$f(x) = \cos x - \left(1 - {x^2\over 2}\right)$$ να αποδείξετε ότι $\cos x \geq 1 - {x^2\over 2}$ for $x \geq 0$.

(3) Mε τη βοήθεια της παραγώγου της συνάρτησης $$f(x) = \left(x - {x^3 \over 3!}\right) - \sin x $$

Ενεργοί αριθμοί

Γράφουμε τον κατάλογο των πρώτων $1988$ ακεραίων αριθμών: 

$1 - 2 - 3 - 4 ..... 1988$$. 

Στη συνέχεια διαγράφουμε τους δύο πρώτους και γράφουμε το 

άθροισμά τους στο τέλος:

$1 - 2 - 3 - 4 ..... 1988 - 3$.

Στη συνέχεια διαγράφουμε τους δύο πρώτους ενεργούς αριθμούς (που δεν έχουν διαγραφεί) και γράφουμε το άθροισμά τους στο τέλος:

$1 - 2 - 3 - 4 - 5 ..... 1988 - 3 - 7$.

Συνεχίστε με τον ίδιο τρόπο μέχρι να μην έχετε άλλους ενεργούς αριθμούς να διαγράψετε.

Ποιο είναι το άθροισμα όλων των αριθμών που γράφτηκαν από την αρχή (συμπεριλαμβανομένου του πρώτου $1988$).

Peugeot 305

"Αυτό είναι παράξενο", λέει ο Λεωνίδας. 

Αυτό το $305$ έχει έναν πολύ ενδιαφέροντα αριθμό κυκλοφορίας. 

Είτε προσθέσω $304$ είτε $405$ σε αυτόν τον αριθμό, το αποτέλεσμα είναι ένα τέλειο τετράγωνο!

Ποιος είναι αυτός ο αριθμός;

Άφθονη σαμπάνια

Για το γάμο της κόρης του, ο βασιλιάς σκέφτηκε να φτιάξει μια πυραμίδα από ποτήρια, πάνω από τα οποία θα ρέει ένας καταρράκτης σαμπάνιας. 

Η πυραμίδα αυτή αποτελείται από $2$ ποτήρια στην κορυφή $(1×2)$, αυτά της νύφης και του γαμπρού, 6 ποτήρια στο επίπεδο ακριβώς από κάτω $(2×3)$, στη συνέχεια, κατεβαίνοντας προς τα κάτω, $12$ ποτήρια $(3×4)$, $20$ ποτήρια $(4×5)$, ..., μέχρι το κάτω κάτω επίπεδο που έχει $2001×2002$ ποτήρια.

Ποιος είναι ο συνολικός αριθμός των ποτηριών που απαιτούνται;

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: 237 Ερωτήσεις Σωστού - Λάθους

 Tου Ανδρέα Πάτση   

Αριθμός $Ζ$

Αν

                       $Α = 2000$

$Β = Α - 999$

$Γ = Α + Β - 998$

$Δ = Α + Β + Γ - 997$

...........

............

.............

$Ζ = Α + Β + Γ + .......... + Υ - 975$

να βρεθεί ο αριθμός $Z$.

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Σημειώσεις που περιέχουν ασκήσεις, θέματα, παρατηρήσεις και μεθοδολογίες από τον Μπάμπη Στεργίου

Οι σημειώσεις αυτές αποτελούν συμπληρωματικό υλικό του βιωματικού σεμιναρίου που πραγματοποίησε ο κ. Μπάμπης Στεργίου στη Χαλκίδα στις 26/4/2023, στο πλαίσιο της εκδήλωσης βράβευσης την οποία οργάνωσε το Παράρτημα Εύβοιας της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας.

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Πηγή: eme-evia

Η Εγκυκλοπαίδεια

Για την αρίθμηση των σελίδων μιας εγκυκλοπαίδειας, ο αριθμός $1$ έχει τυπωθεί $1988$ φορές.

Πόσες σελίδες έχει η εγκυκλοπαίδεια;

Πρότυπα Σχολεία: Τα θέματα και οι απαντήσεις των εξετάσεων 2023

Ανακοινώθηκαν από την αρμόδια Επιστημονική Επιτροπή του υπουργείου Παιδείας και Θρησκευμάτων τα θέματα και οι απαντήσεις των εξετάσεων στα οποία διαγωνίστηκαν σήμερα οι υποψήφιοι για τα Πρότυπα Σχολεία.

Kάντε κλικ στους παρακάτω συνδέσμους για να δείτε τα θέματα και τις απαντήσεις:

Γυμνάσιο Θέματα 2023

Γυμνάσιο Απαντήσεις

Λύκειο Θέματα 2023

Λύκειο απαντήσεις

Βοσκοτόπι

Ένας βοσκότοπος έχει πενταγωνικό σχήμα VACHE και περιέχει μια τριγωνική λιμνούλα MEU. Τι χώρος έχει απομείνει για να βοσκήσουν οι αγελάδες;

Κάθε μικρό τετραγωνίδιο έχει πλευρά 20 μέτρων. 

Μυστική συνάντηση

Έφτασαν διακριτικά, όλοι ντυμένοι με κοστούμι. Τους παρακολούθησα προσεκτικά. Ο καθένας τους έδωσε το χέρι ακριβώς σε τρεις άλλους, εκτός από έναν, ο οποίος έδωσε το χέρι μόνο σε ένα άτομο. 

Δεν τις μέτρησα, αλλά ήταν λιγότερες από μια ολόκληρη ομάδα ποδοσφαίρου.

Πόσες ήταν;

Σημείωση: Μια πλήρης ομάδα ποδοσφαίρου έχει $11$ παίκτες.

Ακολουθία γραμμάτων

Δίνεται η παρακάτω ακολουθία γραμμάτων:

Ποιο γράμμα θα εμφανιστεί στην 195η θέση;

A. α    B. β    Γ. ε    Δ. θ

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Φυλλάδιο επανάληψης με όλη τη Θεωρία - ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ - ΟΡΙΣΜΟΙ - ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σωστό Λάθος - ΑΝΤΙΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Πηγή: lisari

IMO 2016: Shortlisted Problems with solutions (pdf)

Kάντε κλικ στην εικόνα.

International Mathematical Olympiad (IMO): Ιστορικά στοιχεία, βαθμολογίες και όλα τα προβλήματα από το 1967 έως σήμερα

IMO year	Country	Dates	Team Leader’s report
IMO 1967	Yugoslavia	3–12 July	HTML
IMO 1968	USSR	5–18 July	HTML
IMO 1969	Romania	5–20 July	HTML
IMO 1970	Hungary	8–22 July	HTML
IMO 1971	Czechoslovakia	10–21 July	HTML
IMO 1972	Poland	5–17 July	HTML
IMO 1973	USSR	5–16 July	HTML
IMO 1974	East Germany	4–17 July	HTML
IMO 1975	Bulgaria	3–16 July	HTML
IMO 1976	Austria	7–21 July	HTML
IMO 1977	Yugoslavia	1–13 July	HTML

Φρέσκα αυγά

Μια κότα γεννάει ένα αυγό κάθε μέρα. Αυτό το αυγό είτε πωλείται είτε περιμένετε $90$ ημέρες για να έχετε μια άλλη όρνιθα έτοιμη να γεννήσει. Ένα αυγό που γεννήθηκε την ημέρα $n$ δίνει μια όρνιθα ωοτοκίας την ημέρα $n+90$, η οποία αρχίζει αμέσως να γεννάει.

Ο Μενέλαος έχει μία κότα (και έναν κόκορα).

Πόσα αυγά θα μπορέσει να πουλήσει, το πολύ, μετά από $360$ ημέρες;

Εξισώσεις για μαθηματικούς διαγωνισμούς [5]

Nα λυθεί η εξίσωση

$$\frac{1}{\sqrt{3 x^{2}+x^{3}}}+2 \sqrt{\frac{x}{3 x+1}}=\frac{3}{2}$$

Welcome to the European Girls’ Mathematical Olympiad EGMO 2023 in Portorož, Slovenia!

Το ολοκλήρωμα της ημέρας 29/4/2023

3. Nα υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:

Integration Bee MIT 

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Θέμα 4ο από την Τράπεζα Θεμάτων (κωδικός θέματος 23199)

Έστω \(f:(1,+\infty)\) μια παραγωγίσιμη συνάρτηση ώστε για κάθε \(x>1\) να ισχύει:

$xf(x)f'(x)=\dfrac{1}{2} \text{ και } f(e)=1.$

α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση 

\(g(x)=f^2(x)-\ln{x},\quad x>1\) 

είναι σταθερή και να βρείτε τον τύπο της \(f\).

(Μονάδες 9)

Έστω \(f(x)=\sqrt{\ln{x}},\quad x>1.\)

β) Να αποδείξετε ότι η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία \(A(e,0)\) και \(B(e,1)\) εφάπτεται στη γραφική παράσταση της \(f\) στο \(Β\).

(Μονάδες 8)

γ) Να αποδείξετε ότι για κάθε \(x>1\) ισχύει:

$\dfrac{1}{x+1}\lt f^2(x+1)-f^2(x)\lt \dfrac{1}{x}$

(Μονάδες 8)

Ομοκυκλικά σημεία

Στις πλευρές $AB, BC, CD$ και $DE$ ενός κανονικού εννιαγώνου $ABCDEFGHI$ κατασκευάζουμε τα τρίγωνα $XAB$, $YBC$, $ZCD$ και $TDE$ εξωτερικά του.

Οι γωνίες $X, Y , Z, T$ αυτών των τριγώνων είναι $20◦$ η καθεμία. Για τις γωνίες $XAB, YBC, ZCD$ και $TDE$ ισχύει: κάθε επόμενη γωνία είναι $20◦$ μεγαλύτερη από αυτή που αναφέρεται πριν. 

Να αποδείξετε ότι τα σημεία $X, Y, Z, T$ βρίσκονται στον ίδιο κύκλο. 

44ο ΔΙΕΘΝΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΤΟΥΡΝΟΥΑ ΠΟΛΕΩΝ

Διαφορετικοί ΦΠΑ

Σε αυτή τη μακρινή χώρα, οι φόροι που επιβάλλονται στις πωλήσεις διαφέρουν από επαρχία σε επαρχία. Στην επαρχία Algebraburg, όλες οι πωλήσεις φορολογούνται με $15$%, ενώ στο Geometryville οι πωλήσεις φορολογούνται με $8$% από την κυβέρνηση, και στη συνέχεια, στην τιμή που υπολογίζεται με αυτόν τον φόρο, προστίθεται ένας δεύτερος φόρος $5$% για να προκύψει η τελική τιμή.

Ο Αριστείδης και ο Φρίξος αγόρασαν το ίδιο βιβλίο (επομένως με την ίδια τιμή προ φόρων) σε δύο διαφορετικές πόλεις.

Ο Αριστείδης πλήρωσε $287,5$ λίρες στο Algebrαnburg.

Πόσο πλήρωσε ο Φρίξος που αγόρασε το βιβλίο του στο Geometryville;

Επίσκεψη στο μουσείο

Ο χάρτης αυτού του μουσείου δείχνει τον αριθμό των πινάκων που εκτίθενται σε καθεμία από τις δώδεκα αίθουσες. 

Ο Μάρκος έχει χρόνο μόνο να επισκεφτεί έξι δωμάτια και θέλει να δει όσο το δυνατόν περισσότερους πίνακες. 

Σχεδιάστε το μονοπάτι του.

Τηλεφωνικό καλώδιο

Η Αριάδνη έκανε τρεις κόμπους $Α, Β$ και $C$ στο τηλεφωνικό της καλώδιο. Το κομμάτι $ΑΒ$ αντιστοιχεί στο ένα δέκατο πέμπτο του συνολικού μήκους του σύρματος και το $AC$ στο ένα έκτο.

Αν τυλίξει το κομμάτι $ΑΒ$ γύρω από έναν κορμό δέντρου, η Αριάδνη κάνει ακριβώς δύο στροφές. 

Πόσους γύρους μπορεί να εκτελέσει στον ίδιο κορμό με το κομμάτι $BC$;

Πανελλαδικές Εξετάσεις: Τα θέματα των μαθημάτων των τελευταίων 23 ετών (2000-2022) - ΟΛΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Η μελέτη των θεμάτων των τελευταίων 23 ετών (2000-2023) από τους υποψηφίους και τους εκπαιδευτικούς τους, αποτελούν σημαντικό εργαλείο για την καλύτερη επιτυχία.

Πατήστε αντίστοιχα παρακάτω για να ανοίξετε τα θέματα: 

ΝΕΟΕΛΛΗΝΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ ΓΕ.Λ. Γ΄ ΤΑΞΗΣ

ΝΕΟΕΛΛΗΝΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ ΓΕ.Λ. Β΄ ΤΑΞΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Ένα απαιτητικό θέμα

Έστω η συνάρτηση για την οποία γνωρίζουμε ότι: 

• είναι δύο φορές παραγωγίσιμη με αρνητική,
  
  
  
• ,
• .
• υπάρχει τέτοιο ώστε

Να αποδειχθεί ότι από οποιοδήποτε σημείο του άξονα άγεται μοναδική εφαπτομένη στη γραφική παράσταση της συνάρτησης .

Πηγή: mathematica

Τέσσερα ψηφία

Αντικαταστήστε τέσσερα διαφορετικά ψηφία με τα $A, B, C$ και $D$ για να κάνετε σωστή την παρακάτω μαθηματική παράσταση: 

$(AB + A) × C = DAC$

(Το $AB$ είναι ένας διψήφιος αριθμός και ο $DAC$ είναι ένας τριψήφιος αριθμός.

Οι $A, B, C$ και $D$ είναι μονοψήφιοι αριθμοί.) 

Παράξενοι τύποι με ριζικά

Ακέραιοι αριθμοί μπορούν να παραχθούν από ορισμένες ένθετες ρίζες. 

Για παράδειγμα, 

$2=  \sqrt{2+ \sqrt{2+ \sqrt{2+ \sqrt{2+ \sqrt{2}...}}}}$ 

ή

$6=  \sqrt{30+ \sqrt{30+ \sqrt{30+ \sqrt{30+ \sqrt{30}...}}}}$ 

Γενικά, μπορείτε να εντυπωσιάσετε τους φίλους σας με έναν άπειρο αριθμό από αυτές τις ταυτότητες της φόρμας:

$Α=  \sqrt{m+ \sqrt{m+ \sqrt{m+ \sqrt{m+ \sqrt{m}...}}}}$ 

όπου $m = Α^2-Α$, με $m >0$.

Ανατέλλων Ήλιος

Όλοι οι κύκλοι και το ημικύκλιο εφάπτονται μεταξύ τους και είναι εγγεγραμμένα σε τετράγωνο.

Οι τρεις μικροί κύκλοι είναι ίσοι, με ακτίνα $r$.

Η ακτίνα του κόκκινου κύκλου είναι $R$. Να αποδείξετε ότι $r = 3R$.

Πηγή: archimedes-lab

Πολύ μεγάλοι αριθμοί στην πραγματική ζωή !

Οι περισσότεροι άνθρωποι είναι εξοικειωμένοι με τα χαρτονομίσματα των τρισεκατομμυρίων δολαρίων της Ζιμπάμπουε ή έχουν ακούσει ιστορίες για Γερμανούς που χρησιμοποιούν άχρηστα μάρκα κατά τη διάρκεια της Δημοκρατίας της Βαϊμάρης για ταπετσαρία, αλλά αυτό που λίγοι γνωρίζουν είναι ότι η Ουγγαρία έσπασε όλα τα ρεκόρ. 

Εκατό δισεκατομμύρια μάρκα της Βαϊμάρης

Μεταξύ $1945$ και $1946$, η Ουγγαρία βρισκόταν σε κατάσταση υπερπληθωρισμού, με τα ποσοστά του πληθωρισμού να έφταναν το $41,9$ εκατομμύριο τοις εκατό (δηλαδή $41.900.000.000.000.000.000$ %).

Κουτί με σοκολάτες

Ο Νίκος και η Σοφία άνοιξαν ένα ορθογώνιο κουτί με σοκολάτες και θέλουν να τις φάνε εναλλάξ. Οι σοκολάτες είναι τοποθετημένες σε πλέγμα $2m × 2n$. Ο Νίκος μπορεί να πάρει δύο σοκολάτες δίπλα-δίπλα, αλλά η Σοφία μπορεί να πάρει μόνο μία κάθε φορά. 

Εάν δεν υπάρχουν άλλες σοκολάτες δίπλα-δίπλα, όλες οι υπόλοιπες σοκολάτες πηγαίνουν στην Σοφία. Ο πεινασμένος πάει πρώτος. Κάθε παίκτης θέλει να φάει όσο το δυνατόν περισσότερες σοκολάτες. 

Ποιος είναι ο μέγιστος αριθμός σοκολατών που μπορεί να πάρει η Σοφία, ανεξάρτητα από το πόσες ο Νίκος θα διαλέξει για αυτόν;

Τα «ψευδή» θεωρήματα του Αρχιμήδη

Ο Αρχιμήδης (287 π.Χ.–212 π.Χ.), ο αρχαίος Έλληνας γεωμέτρης, θεωρείται συχνά ως ο μεγαλύτερος μαθηματικός και επιστήμονας της αρχαιότητας και ένας από τους τρεις μεγαλύτερους μαθηματικούς που περπάτησαν στη Γη—μαζί με τον Ισαάκ Νεύτωνα και τον Καρλ Φρίντριχ Γκάους. 

Γνωρίζετε όμως ότι μερικές φορές έστελνε στους συναδέλφους του ψευδή θεωρήματα για να τους παγιδεύσει επειδή του έκλεβαν συχνά τις ιδέες του, για να τα παρουσιάσουν ως δικές τους επινοήσεις; 

Γύρω γύρω όλοι

Πέντε άνδρες και εννέα γυναίκες στέκονται σε ίσες αποστάσεις γύρω από έναν κύκλο με τυχαία σειρά.

Η πιθανότητα κάθε άντρας να στέκεται διαμετρικά απέναντι από μια γυναίκα είναι $\dfrac{m}{n}$, όπου $m,n$ είναι μεταξύ τους πρώτοι θετικοί ακέραιοι αριθμοί.

Να βρεθεί το άθροισμα $m+n$.

AIME 2023

Το ολοκλήρωμα της ημέρας 28/4/2023

2. Nα υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:

$\int \big((1 − x)^3 + (x − x^2)^3 + (x^2 − 1)^3−$

$- 3(1 − x)(x − x^2)(x^2 −1)\big) dx$

Integration Bee MIT

Πλευρά ισοπλεύρου τριγώνου

Ένα ισόπλευρο τρίγωνο βρίσκεται στο καρτεσιανό επίπεδο έτσι ώστε οι συντεταγμένες $x$ των κορυφών του να είναι ρίζες της εξίσωσης 

$x^3 − 9x^2 +10x +5 = 0$. 

Υπολογίστε το μήκος πλευράς του τριγώνου.

MIT - HARVARD Tournament 2023