99 μυρμήγκια

Ενενήντα εννέα μυρμήγκια υπάρχουν κατά μήκος ενός κορμού, με κάθε μυρμήγκι να βλέπει τη μία ή την άλλη άκρη του κορμού. Το κούτσουρο έχει μήκος $1$ μέτρο από άκρη σε άκρη. Κάθε μυρμήγκι ταξιδεύει είτε προς το αριστερό είτε προς το δεξιό άκρο με σταθερή ταχύτητα $1$ μέτρο ανά λεπτό. 

Όταν δύο μυρμήγκια συναντιούνται, αναπηδούν το ένα από το άλλο και αντιστρέφουν τις κατευθύνσεις τους, διατηρώντας την ταχύτητά τους. Όταν ένα μυρμήγκι φτάσει στο τέλος του κορμού, πέφτει. Κάποια στιγμή θα πέσουν και τα ενενήντα εννέα μυρμήγκια. 

Ποιος είναι ο μεγαλύτερος χρόνος που θα χρειαστεί να περιμένετε για να μην υπάρχουν μυρμήγκια στο κούτσουρο; 

IMO 2004: Shortlisted Problems with solutions (pdf)

Ανισότητες από Μαθηματικούς διαγωνισμούς και Ολυμπιάδες - 1

Νέα ιστοσελίδα: «Κωνσταντίνος Στ. Καραθεοδωρή»

Μία νέα ιστοσελίδα με δυσεύρετο αρχειακό υλικό για τον Κωνσταντίνο Καραθεοδωρή, του Αντρέα Χατζηπολάκη.

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Ο Max Planck βραβεύει τον Albert Einstein με το μετάλλιο Max Planck το 1929 (φωτο)

Ημικύκλια και ευθείες

Έστω $S_−$ το ημικύκλιο που ορίζεται από την εξίσωση 

$$(x + 1)^2 + (y − \dfrac{3}{2})^2 = \dfrac{1}{4}, x ≤ −1$$

Έστω $S_+$ το ημικύκλιο που ορίζεται από την εξίσωση 

$$(x − 1)^2 + (y − \dfrac{3}{2})^2 = \dfrac{1}{4}, x ≥ 1$$

Έστω $R$ ο γ.τ. των σημείων $P$, τα οποία είναι τα σημεία τομής των ευθειών 

$Ax + By = 1$

όπου $(A, B) ∈ S_−$ και της ευθείας 

$Cx + Dy = 1$ 

όπου $(C, D) ∈ S_+$.

Να βρεθεί το εμβαδόν της περιοχής $R$?

Η ομορφιά των Αριθμών [8]

$48 = −4^2 +8^2$

$147 = 14^2 −7^2$

$3468 = −34^2 +68^2$

$10101 = −10^2 +101^2$

$13467 = 134^2 −67^2$

$16128 = −16^2 +128^2$

$34188 = −34^2 +188^2$

$140400 = −140^2 +400^2$

Space Math @ NASA Problem 236: LRO Sees Apollo-11 on the Moon!

Problem 236: LRO Sees Apollo-11 on the Moon! 

Students use the latest image from the Lunar Reconnaissance Orbiter of the Apollo-11 landing site to explore lunar features at 1-meter resolution, and determine the solar elevation angle. 

[Grade: 6-8 | Topics: scale; ratios; angle measure; right triangles]

Πώς μπορούμε να ελέγξουμε την ορθότητα των σχέσεων; - ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ (4 video, συνεχής ροή)

 Toυ Νίκου Ιωσηφίδη   

Στα 4 video με τίτλο ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΩΝ ΣΧΕΣΕΩΝ – ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ ο αγαπητός συνάδελφος κ. Νίκος Ιωσηφίδης μας εξηγεί με παραδείγματα Άλγεβρας, Γεωμετρίας, Τριγωνομετρίας, Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου και Φυσικής πώς μπορούμε να ελέγξουμε την ορθότητα μιας σχέσης. 

Εξισώσεις 3ου και 4ου βαθμού

 Tου Χαράλαμπου Δημητριάδη   

Ε. Μ. Ε. Παράρτημα Κεντρικής Μακεδονίας: 13η Διεθνής Μαθηματική Εβδομάδα 2023

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Επαναληπτικό Θέμα $Γ$, από το περιοδικό «Ευκλείδης» [4]

How to Tell a Mathematician You Love Them: ANALYST

Πρώτοι παράγοντες

Πόσους διαφορετικούς πρώτους παράγοντες έχει η παράσταση 

$5^{14} − 30 + 5^{13}$ ?

Απάντηση: 7

Λύση

Έχουμε διαδοχικά 

$5^{14} − 30 + 5^{13} = 5(5^{13} + 5^{12} − 6)$

$= 5(5^{12}(5 + 1) − 6) = 5 ·6(5^{12} − 1)$

$= 5 ·6(5^6 − 1)(5^6 + 1)$

$= 5 ·6 ·5^3 − 1)(5^3 + 1)(5^2 + 1)(5^4 − 5^2 + 1)$

$= 5 ·6 ·124 ·126 ·601$

$= 2^5· 3^3· 5 · 7 · 13 · 31 · 601$

Αποτελέσματα επιλογής μαθητών για την 40η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα (BMO 2023) και τη 27η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα Νέων (jBMO 2023)

Συγχαρητήρια σε όλα τα παιδιά! Καλή επιτυχία στον αγώνα σας! 

Τομ ο σκίουρος

Ο Τομ ο σκίουρος βρήκε ένα καλάθι με κουκουνάρια ένα πρωί.

Αποφάσισε ότι κάθε μέρα θα διπλασίαζε τον αριθμό των κουκουναριών στο καλάθι το πρωί και θα έτρωγε $2$ κουκουνάρια από το καλάθι το απόγευμα. 

Στο τέλος της τρίτης ημέρας, το καλάθι είχε $34$ κουκουνάρια. 

Πόσα κουκουνάρια υπήρχαν στο καλάθι όταν το βρήκε ο Τομ ο σκίουρος;

MARTIN GARDNER: The Unexpected Hanging and Other Mathematical Diversions (pdf)

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Μαθηματικά ΕΠΑΛ Γ' Λυκείου: Έξι επαναληπτικά διαγωνίσματα

 Του Κωνσταντίνου Κασλή   

Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής – Νο 1

Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής – Νο 2

Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής – Νο 3

Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής – Νο 4

Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής – Νο 5

Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής – Νο 6

Πηγή: kaslis

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: 50 Ασκήσεις στην Συνέχεια συναρτήσεων και στα Θεωρήματα

 Του Θωμά Λάντου   

Πλήρης περιστροφή

Στην παρακάτω εικόνα βλέπουμε την γραφική παράσταση της συνάρτησης

$f(x) = tanx secx$

η οποία τέμνει τον άξονα $x$ στο $0$ και στο $π$, και την ευθεία $y=k$ στα σημεία $A(\dfrac{π}{3}, k)$ και $Β$.

α) Να προσδιορίσετε τις συντεταγμένες των $Α$ και $Β$.

β) Nα βρεθεί το εμβαδόν της χρωματισμένης περιοχής.

γ) Η γραφική παράσταση της $f$ περιστρέφεται γύρω από τον άξονα $x$. Ο όγκος του στερεού που σχηματίζεται μεταξύ των κατακόρυφων ευθειών $x = 0$ και $x=a$ είναι ίσος με $\dfrac{π}{3}$.

Προσδιορίστε την τιμή του $a$.

Τα Μαθηματικά της Τεχνητής Νοημοσύνης - Συζητούν οι καθηγητές Δελλαπόρτας Πέτρος και Δασκαλάκης Κωνσταντίνος

Η ομάδα ΘΑΛΗΣ + ΦΙΛΟΙ διοργάνωσε την Τετάρτη 11 Ιανουαρίου 2023 στο Θέατρο της Σχολής Μωραΐτη, στο Παλαιό Ψυχικό, εκδήλωση με θέμα «Τα Μαθηματικά της Τεχνητής Νοημοσύνης».

 

Ο Πέτρος Δελλαπόρτας, καθηγητής Στατιστικής στο University College London και στο Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών, ιδρυτικό μέλος επίσης της ομάδας ΘΑΛΗΣ + ΦΙΛΟΙ, συζητά με τον Κωνσταντίνο Δασκαλάκη, καθηγητή της Επιστήμης των Υπολογιστών στο ΜΙΤ, για τον κόσμο της Τεχνητής Νοημοσύνης.

Ο Απόστολος Δοξιάδης παρουσιάζει το βιβλίο του G.H. Hardy: Η Απολογία ενός μαθηματικού

Mathematics and Youth Magazine Problems 2005 (Issue 331 - 342)

Issue 331

1. Can we find two positive integers $x, y$ (written in decimal system) such that $$x+y=\underbrace{99 \ldots 9}_{n \text { times }}$$ and $y$ is obtained by a permutation of the digits of $x$ in the case where $n=2004$ ? and in the case where $n=2005$?
2. 
   Prove that the number $$\sqrt{(a b-c d)(b c-d a)(c a-b d)}$$ is a rational, where $a, b, c$ are rationals satisfying the condition $a+b+c+d=0$.
3. Find all integral solutions of the equation $$x^{2}+2003 x+2004 y^{2}+y=x y+2004 x y^{2}+2005.$$

Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία: Περιοδικό "Ευκλείδης Α΄", τ. 121

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Αναζήτηση ριζών

Για τις παρακάτω περιπτώσεις υποθέστε ότι οι συναρτήσεις $f$ είναι συνεχείς, εκτός αν υποδεικνύεται διαφορετικά με κάποιο τρόπο. Από τις δεδομένες πληροφορίες είναι δυνατόν να προσδιοριστεί αν υπάρχει ρίζα της στο συγκεκριμένο διάστημα;

Εάν δεν είναι δυνατόν να προσδιορίσετε αν υπάρχει ρίζα στο συγκεκριμένο διάστημα σχεδιάστε μια γραφική παράσταση με δύο συναρτήσεις που η μία να πληροί τις δεδομένες πληροφορίες και να έχει ρίζα στο συγκεκριμένο διάστημα και η άλλη να μην έχει ρίζα στο συγκεκριμένο διάστημα.

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Επαναληπτικά Θέματα εν όψει των Πανελλαδικών εξετάσεων 2023 [7]

 Του Νίκου Μπερκέτη  

Ποιο είναι το μεγαλύτερο;

Δύο τρίγωνα έχουν ίσες βάσεις

   

και ίσες περιμέτρους.

Αν

   

Να βρείτε ποιο απ' τα δύο τρίγωνα έχει μεγαλύτερο εμβαδόν.

Πηγή: mathematica

TEDEd: An introduction to mathematical theorems - Scott Kennedy

Let’s Begin…

Euclid of Alexandria revolutionized the way that mathematics is written, presented or thought about, and introduced the concept of mathematical proofs. Discover what it takes to move from a loose theory or idea to a universally convincing proof.

Ευκλείδης ή Καρτέσιος;

 Του Ιωάννη Απλακίδη   

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Μπορείτε να λύσετε τον γρίφο του κωδικού;

Τύπος συνάρτησης

Η Μαρία δακτυλογραφούσε την εργασία της με ρυθμό $36$ λέξεων ανά λεπτό. Μετά από $12$ λεπτά πληκτρολόγησης, της έμειναν $648$ λέξεις για να πληκτρολογήσει. 

Έστω $f(t)$ ο αριθμός των λέξεων που θα άφηνε η Μαρία να πληκτρολογήσει μετά την πληκτρολόγηση για $t$ λεπτά. 

Γράψτε έναν τύπο για την $f(t)$.

Πώς έγινε αυτό;

Σκεφτείτε έναν αριθμό, οποιονδήποτε θετικό ακέραιο (αλλά κρατήστε τον μικρό για να μπορείτε να κάνετε νοερά υπολογισμούς).

$1$. Υψώστε τον αριθμό στο τετράγωνο
$2$. Προσθέστε το αποτέλεσμα στον αρχικό σας αριθμό.
$3$. Διαιρέστε με τον αρχικό σας αριθμό.
$4$. Προσθέστε το $17$.
$5$. Αφαιρέστε τον αρχικό σας αριθμό.
$6$. Διαιρέστε με το $6$.
Ο αριθμός που σκεφτήκατε είναι το $3$ !
Πώς έγινε αυτό;

$AR·BQ = PI^2$

Στο τρίγωνο $ABC$, το σημείο $I$ είναι το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου. Θεωρούμε τον κύκλο που διέρχεται από το $B$ που εφάπτεται στην ευθεία $AI$ στο $I$. Ο κύκλος αυτός τέμνει την πλευρά $AB$ στο $P$, και την πλευρά $BC$ στο $Q$. 

Η ευθεία $QI$ τέμνει την πλευρά $AC$ στο σημείο $R$. 

Να αποδείξετε ότι 

$AR·BQ = PI^2$.

(Netherlands Team Selection Test for BxMO/EGMO 2014)

These Are the 10 Hardest Math Problems Ever Solved

In $2019$, mathematicians finally solved a hard math puzzle that had stumped them for decades. It’s called a Diophantine Equation, and it’s sometimes known as the “summing of three cubes”: 

Find $x, y$, and $z$ such that $x³+y³+z³=k$, for each k from one to $100$.

On the surface, it seems easy. Can you think of the integers for $x, y$, and $z$ so that $x³+y³+z³=8$? Sure. One answer is $x = 1, y = -1$, and $z = 2$. But what about the integers for $x, y$, and $z$ so that $x³+y³+z³=42$?

4 - Σημεία διαφωνιών μεταξύ μαθηματικών: Αριθμός ριζών εξίσωσης

 Του Νίκου Ιωσηφίδη   

Στα 4 βίντεο με τίτλο "ΣΗΜΕΙΑ ΔΙΑΦΩΝΙΩΝ" ο αγαπητός συνάδελφος κ. Νίκος Ιωσηφίδης, αναφέρεται στις διαφωνίες των μαθηματικών σε διάφορα μαθηματικά θέματα.

100 προϊόντα

Το Discount Store έχει τρία προϊόντα προς πώληση που θέλει να αγοράσει η Ιουλία. Οι τιμές τους είναι $0,50$ ευρώ, $3$ ευρώ και $7$ ευρώ. Η Ιουλία διαπιστώνει ότι μπορεί να αγοράσει μερικά από το καθένα και να αγοράσει συνολικά $100$ προϊόντα διαθέτοντας $100$ ευρώ.

Πόσα από το κάθε είδος μπορεί να αγοράσει;

Με αφορμή την διάλεξη του κ. Θ. Μπόλη «Μη τετριμμένες γενικεύσεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος»

 Tου Γιώργου Μπούκη   

Μαθηματικοί στα χαρτονομίσματα: Albert Einstein

 

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Ωραία θέματα με διαγράμματα [7]

 Στην παρακάτω εικόνα βλέπουμε την γραφική παράσταση της παραγώγου μιας συνάρτησης $f$. 

α) limx→−7 f(x) = 

β) limx→−5 f(x) = 

γ) lim x→−10− f(x) = 

δ) limx→0 f(x) x = 

ε) List all critical numbers of f(x). (f) List the intervals where f 0 (x) > 0. 

ζ) List the intervals where f 00(x) < 0. (h) lim h→0 f(−6 + h) + 1 h =

TEDEd: The mathematical secrets of Pascal’s triangle - Wajdi Mohamed Ratemi

Let’s Begin…

Pascal’s triangle, which at first may just look like a neatly arranged stack of numbers, is actually a mathematical treasure trove. But what about it has so intrigued mathematicians the world over? Wajdi Mohamed Ratemi shows how Pascal's triangle is full of patterns and secrets.

Ασκήσεις στον Ανεμόμυλο

 Του Δημήτρη Νικολακόπουλου   

Από το περιοδικό «Ευκλείδης Β΄», τ. 120.

Pythagorean Theorem: Some False Proofs

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Σελίδες βιβλίου

Κατά τη διάρκεια των διακοπών διάβαζα ένα βιβλίο. Στο κάτω μέρος κάθε σελίδας αναγράφεται ο αριθμός της σελίδας: $1, 2, 3 $κ.ο.κ.

Ο συνολικός αριθμός των ψηφίων που εμπλέκονται σε όλους τους αριθμούς σελίδων σε όλες τις σελίδες είναι $1626$.

Πόσες σελίδες είχε το βιβλίο που διάβαζα;

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Επαναληπτικά Θέματα εν όψει των Πανελλαδικών εξετάσεων 2023 [6]

 Του Κώστα Γκούλη   

λ

Κάντε κλικ και ξανά κλικ στην εικόνα, για να την δείτε σε μεγέθυνση.

Παππούς και εγγονή

Ένας παππούς και η εγγονή του έχουν την ίδια ημέρα γενέθλια. 

Για έξι συνεχόμενα γενέθλια, η ηλικία του παππού είναι πολλαπλάσιο της ηλικίας της εγγονής του. 

Πόσο χρονών είναι ο παππούς και η εγγονή του μετά τα έκτα γενέθλια;

Το αποτέλεσμα σωστό δεν είναι, κύριε;

Mathematics and Youth Magazine Problems 2017 (Issue 475 - 486)

Issue 475

1. Given a natural number $n$. Find all prime numbers $p$ such that the following number $$A=1010n^{2}+2010(n+p)+10^{10^{1954}}$$ can be written as a difference of two perfect squares.
   
2. Given a triangle $ABC$ and let $M$ be the midpoint of $BC$. Suppose that $\widehat{ABC}+\widehat{MAC}=90^{0}$. Prove that $ABC$ is either an isosceles triangle or a right triangle.
3. Solve the equation $$
   \frac{x}{2\sqrt{x}+1}+\frac{x^{2}}{2\sqrt{x}+3}=\frac{\sqrt{x^{3}}+x}{4}.$$
4. Give a isoceles trapezoid $ABCD$ inscribed in a circle $(O)$ with $AB$ is parallel to $CD$ and $AB<CD$.

Ώρα για μπάνιο

Ο Nίκος και η Eιρήνη είναι αδέλφια. Έφυγαν από το σπίτι τους την ίδια ώρα και πήγαν στην ίδια παραλία. 

 Ο Νίκος οδήγησε με ταχύτητα $30$ μίλια την ώρα. 

Η Ειρήνη οδήγησε με ταχύτητα $20$ μιλίων την ώρα. 

Ο Nίκος έφτασε στην παραλία $0,5$ ώρα νωρίτερα από την Ειρήνη. Ποια είναι η απόσταση μεταξύ του σπιτιού τους και την παραλία;

Δύο σκάφη

Το σκάφος $Α$ φεύγει από τη νότια όχθη ενός ποταμού και πλέει κατευθείαν προς τη βόρεια όχθη. Πέντε λεπτά αργότερα, το σκάφος $Β$ φεύγει από τη βόρεια όχθη του ποταμού και πλέει κατευθείαν προς τη νότια όχθη. Περνούν ο ένας τον άλλον στη μέση του ποταμού. 

Φτάνοντας στην απέναντι όχθη, κάθε σκάφος γυρίζει αμέσως και πλέει πίσω στην αφετηρία του. Όταν τα δύο σκάφη περάσουν το καθένα για δεύτερη φορά, το σκάφος $Α$ έχει ολοκληρώσει το $1/3$ του ταξιδιού της επιστροφής. Λαμβάνοντας υπόψη όλες αυτές τις πληροφορίες: πόσα λεπτά χρειάζονται για το σκάφος $Β$ να διασχίσει το ποτάμι (πηγαίνοντας από τη μια όχθη στην άλλη);

2020ος όρος

Η Μαρία δημιουργεί μια ακολουθία ακεραίων όπου ο πρώτος και ο δεύτερος όρος είναι και οι δύο $1$. Σε κάθε βήμα προσθέτει τους δύο τελευταίους όρους που έλαβε. Εάν το άθροισμα είναι μικρότερο από $9$, τότε εισάγει αυτό το άθροισμα ως νέο όρο. 

Διαφορετικά αφαιρεί $8$ από το άθροισμα και το καταγράφει.

Επομένως, η ακολουθία της ξεκινά

$1, 1, 2, 3, 5, 8, 5, 5, . . . $

Βρείτε τον $2020$ο όρο της ακολουθίας.

Συνάρτηση μήκους και εμβαδόν

Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο με Τυχόν σημείο κινείται στην πλευρά και θέτω Φέρνω από το ευθεία παράλληλη στην και θεωρώ σημείο της ώστε

α) Θεωρώντας το ως παράμετρο, να ορίσετε συνάρτηση που να δίνει το μήκος του ως προς

β) Να εξετάσετε την ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα και να δείξετε ότι είναι κυρτή στο πεδίο ορισμού της.

γ) Να υπολογίσετε συναρτήσει του το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την τον άξονα και τις ευθείες που είναι κάθετες στον στα άκρα της γραφικής της παράστασης.

Πηγή: mathematica