Carl Friedrich Gauss: «Οι μαθηματικοί στηρίζονται ο ένας στους ώμους του άλλου»

Carl Friedrich Gauss

Star

Δίνεται ένα ισόπλευρο τρίγωνο $ABC$. Τα σημεία σημεία $A'$ και $A''$ τριχοτομούν την πλευρά $BC$, τα σημεία $Β'$ και $Β''$ που τριχοτομούν την πλευρά $AC$ και τα σημεία $C'$ και $C''$ τριχοτομούν την πλευρά $ΑΒ$, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

Τι ποσοστό του εμβαδού του $ABC$ είναι το εμβαδόν του σκιασμένου αστεριού;

(α) $6$%      (β) $7$%       (γ) $8$%       (δ) $9$%       (ε) $10$%

PISA 2012 RELEASED MATHEMATICS ITEMS (pdf)

Πυθαγόρειο θεώρημα 3D

Μετά το play κάντε κλικ στο εικονίδιο [ ] για να το δείτε σε πλήρη οθόνη.

3000 Solved Problems in Calculus (pdf)

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Δύο συναρτήσεις

Έστω $f$ και $g$ συναρτήσεις τέτοιες ώστε  

$f(x) = g(2x)$ και $g(x)=2f(x)$ 

για κάθε πραγματικό αριθμό $x$. 

Αν $g(2) = 3$, τότε η τιμή $f(1/2)$ ισούται με  

α) $1/3$       β) $1/2$        γ) $2$        δ) $3$        ε) $6$

Συνάντηση μαθηματικών

Στην ετήσια συνάντηση μαθηματικών, καθένας από τους 101 μαθηματικούς που συμμετείχαν είχαν διαφορετικό δείκτη νοημοσύνης

$100, 101, 102, . . . , 199, 200$.

Μια ομάδα μαθηματικών συναντήθηκαν στην μπλε αίθουσα, ενώ η υπόλοιπη ομάδα συναντήθηκε στην κόκκινη αίθουσα. 

Μια ομάδα μαθηματικών με δείκτη νοημοσύνης $124$, άλλαξε αίθουσα, πήγε από την μπλε στην κόκκινη αίθουσα. 

Ως αποτέλεσμα, ο μέσος όρος νοημοσύνης και στις δύο αίθουσες αυξήθηκε κατά $1/3$.

Πόσοι μαθηματικοί συναντήθηκαν στο μπλε δωμάτιο πριν από την αλλαγή της αίθουσας;

Μέγιστο εμβαδόν

Σε ένα τρίγωνο $ΑΒΓ$ είναι 

$ΑΒ ≤ 1 ≤ΒΓ ≤ 2 ≤ ΓΑ ≤ 3$. 

Το μέγιστο εμβαδόν του τριγώνου $ΑΒΓ$ είναι

α) $1$      β) $3/2$       γ) $2$      δ) $5/2$       ε) κανένα από αυτά

Department of Mathematics, University of Houston: Video Calculus

Contents

Limits and Graphs (11 minutes)

The concept of limit from an intuitive, graphical point of view. Left and right-sided limits. Infinite one-sided limits and vertical asymptotes.

Calculation of Limits (17 minutes)

Using "limit laws" to compute limits.

Trigonometric Limits (17 minutes)

Limits involving sine and cosine. Vertical asymptotes of $tan$, $cot$, $sec$, $csc$. The limit of $sin(x)∕x$ as $x → 0$ and related limits.

Ύψος - διχοτόμος

Έστω τρίγωνο $ABC$, με 

$∠A < ∠B < ∠C <90◦$. 

Η γωνία μεταξύ του ύψους και της διχοτόμου της γωνίας $Α$ είναι $6◦$ και η γωνία μεταξύ του ύψους και της διχοτόμου της γωνίας $Β$ είναι $12◦$. 

Να βρεθεί το μέτρο της γωνίας μεταξύ του ύψους και της διχοτόμου της γωνίας $C$.

UNIVERSITY OF MARYLAND HIGH SCHOOL MATH COMPETITION

Τιμή $p(10)$

Έστω $p(x)$ πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές και έστω 

$q(x) = \dfrac{p(x)}{x(1-x)}$.

Αν 

$q(x) = q(\dfrac{1}{x-1})$, 

για κάθε $x\neq0$  και 

$p(2) = −7$, $p(3) = −11$,

τότε να βρεθεί η τιμή 

$p(10)$.

Κοτοπουλάκια σε φάρμα

Ένας αγρότης αγόρασε μερικά κοτοπουλάκια και πλήρωσε συνολικά $420$ ευρώ. Πλήρωσε το ίδιο ποσό για κάθε κοτοπουλάκι. 

Αν κάθε κοτοπουλάκι κόστιζε ένα ευρώ παραπάνω, θα είχε αποκτήσει $2$ λιγότερα κοτοπουλάκια με το ίδιο ποσό. 

Πόσα κοτοπουλάκια αγόρασε;

α) $20$      β) $24$      γ) $28$     δ) $30$      ε) $32$

How To Solve It - G. Polya (pdf)

 

Κάντε κλικ στην εικόνα.

$50 - 50$

«Αν υπάρχει πιθανότητα $50-50$ ότι κάτι μπορεί να πάει στραβά, τότε $9$ φορές στις δέκα θα πάει».

Paul Harvey

Περιστροφή

Ας υποθέσουμε ότι περιστρέφουμε το τετράγωνο των κορυφών $(0, 0), (1, 0)$, $(0, 1), (1, 1)$ στο επίπεδο γύρω από τα σημεία $(1, 0), (2, 0), (3, 0)$ αντίστοιχα.

Ποιο είναι το εμβαδόν μεταξύ της καμπύλης που δημιουργείται από την κορυφή $(0, 1)$ του τετραγώνου κατά τη διάρκεια αυτής της περιστροφής και του οριζόντιου άξονα;

Καλλιτεχνικό άπειρο

Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων

$y = x^2$ και $y = x^3 − 6x$

για $x ∈ [−2, 3]$, φαίνονται στο παρακάτω σχήμα. 

Αν $A$ είναι το εμβαδόν της κόκκινης περιοχής ($A = \dfrac{m}{n}$, όπου $m,n$ πρώτοι μεταξύ τους), τότε να υπολογιστεί η διαφορά $m − 21n$. 

(A) $1$       (B) $2$        (Γ) $3$        (Δ) $4$        (E) $5$

31 Ιανουαρίου: Σαν σήμερα γεννήθηκε ο Samuel Loyd

Born

 31 January 1841 
Philadelphia, Pennsylvania , USA

Died

10 April 1911
New York, USA

Summary

Sam Loyd was an American amateur mathematician best known for his invention of puzzles as well as chess problems.

View two larger pictures

Biography

Always known as Sam, Samuel Loyd was the creator of famous mathematical puzzles and recreations. He was born in Philadelphia where his father was an estate agent, but he did not live there for very long since when he was only three years old his family moved to New York. Sam's father had a good income from being an estate agent and the family were well off. It was a large family with Sam being the youngest of nine children.

Κύκλος φίλων

Τα μέλη της μαθηματικής ομάδας τοποθετούνται σε έναν κύκλο. Ο καθένας παίρνει έναν αριθμό και τον δείχνει στους δύο γείτονές του. Στη συνέχεια, ο καθένας παίρνει το μέσο όρο των δύο αριθμών που του έδειξε και ανακοινώνει το αποτέλεσμα. 

Οι αριθμοί που ανακοινώθηκαν είναι $1, 2, 3, …$ και ούτω καθεξής σε όλο τον κύκλο με τη σειρά. 

Η Ευγνωσία λέει: 

«Ο αριθμός που μου δόθηκε αρχικά είναι δεκαπλάσιος από τον αριθμό που ανακοίνωσα!»

Πόσα μέλη είναι στον κύκλο, αν υπάρχουν λιγότερα από $30$ στην ομάδα;

6 σημεία κύκλου

Παίρνουμε  έξι σημεία επί ενός κύκλου έτσι ώστε κάθε δεύτερη άκρη (πράσινες χορδές) να έχουν  μήκος ίσο με την ακτίνα του κύκλου. 

Τότε τα μέσα των άλλων τριών πλευρών του εξαγώνου σχηματίζουν ισόπλευρο τρίγωνο.

2 σε 1

Δίνεται τετράγωνο πλευράς Να εντοπίσετε δύο σημεία των πλευρών  αντίστοιχα, ώστε η να είναι διχοτόμος της και

 

Στη συνέχεια να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου συναρτήσει του

Πηγή: mathematica

Challenging Problems In Geometry - Alfred S. Posamentier & Charles T. Salkind (pdf)

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Παγωμένη λίμνη

Πέντε σημεία $Α,Β,Γ,Δ,Ε$ βρίσκονται δεξιόστροφα, με αυτή τη σειρά, στην άκρη μιας κυκλικής λίμνης, με το $Β$ και το $Ε$ να είναι διαμετρικά αντίθετα μεταξύ τους. Από την περασμένη εβδομάδα, η λίμνη έχει παγώσει εντελώς. 

Η Πηνελόπη έκανε πατινάζ στην παγωμένη λίμνη. Ξεκίνησε από το σημείο $Α$, έκανε πατινάζ ευθεία $1922$ μέτρα στο σημείο $Β$, μετά $1798$ μέτρα στο σημείο $Γ$, μετά $1798$ μέτρα στο σημείο $Δ$, μετά $2162$ μέτρα στο σημείο $Ε$, και τέλος πίσω στο σημείο εκκίνησης $Α$ (όλες ευθείες γραμμές). 

Ερώτηση: 

Ποιο είναι το δεύτερο ψηφίο πίσω από την υποδιαστολή στην δεκαδική αναπαράσταση της απόστασης (σε μέτρα) από το $A$ έως το $E$;

Γάτες και σκύλοι

Μια ενήλικη γυναίκα κάτω των $100$ ετών έχει πολλά κατοικίδια, συμπεριλαμβανομένων και των γατών και των σκύλων. Η ηλικία και η διεύθυνση της οδού της κατοικίας της είναι και οι δύο ακέραιοι αριθμοί.

Το γινόμενο της ηλικίας της, της διεύθυνσης και του αριθμού των κατοικίδιων της είναι 57.165.

Πόσο χρονών είναι η γυναίκα και ποιος είναι ο λιγότερος αριθμός κατοικίδιων που μπορεί να έχει;

Γωνία θέασης

Ο Άγγελος βλέπει μια ταινία στον κινηματογράφο. Η οθόνη βρίσκεται σε τοίχο κάθετο στο πάτωμα και έχει ύψος $5$ m, με το κάτω άκρο της οθόνης $1,5$ m πάνω από το δάπεδο. 

Ο Άγγελος θέλει να βρει ένα κάθισμα που να μεγιστοποιεί την κατακόρυφη γωνία θέασής του (που απεικονίζεται παρακάτω ως $θ$ σε μια δισδιάστατη διατομή). Πόσο πίσω από την οθόνη σε $m$ (μετρημένα κατά μήκος του δαπέδου) πρέπει να κάθεται για να μεγιστοποιήσει την κατακόρυφη γωνία θέασής του;

30 Ιανουαρίου: Σαν σήμερα γεννήθηκε ο Theodoros A. Varopoulos

Born

 30 January 1894 
Astakos, Aetolia-Acarnania, Greece

Died

14 June 1957
Thessaloniki, Greece

---

Summary

Theodoros Varopoulos was a Greek mathematician known for his research in multivariable complex equations.

View one larger picture

Biography

Theodoros Varopoulos was born on 30 January 1894 into an impoverished family in the town of Astakos in Aetolia-Acarnania. His date of birth coincided with the day of celebration known as Greek Letters Day, the day on which Greeks celebrate the Three Hierarchs of the Orthodox Church who developed Greek literature and education. Spyridon Sarantopoulos, another great mathematician and university lecturer, was coincidentally born in Sparta in the same year.

Αριθμοί σε κύκλους

Οι αριθμοί $1$ έως $8$ τοποθετούνται, μία φορά ο καθένας, στους κύκλους που εμφανίζονται. Οι αριθμοί από τα βέλη δείχνουν τα γινόμενα των τριών αριθμών στους κύκλους σε αυτήν την ευθεία γραμμή. 

Ποιο είναι το άθροισμα των αριθμών στους τρεις κύκλους στο κάτω μέρος του σχήματος; 

Α) $11$      Β) $12$      Γ) $15$       Δ) $17$      Ε) $19$

Olympiad Number Theory Through Challenging Problems (pdf)

Πράσινο τρίγωνο

Στο παρακάτω σχήμα, το τετράπλευρο $ABCD$ είναι ένα τετράγωνο του οποίου η πλευρά έχει μήκος $1$ και το $ABE$ είναι ένα ισόπλευρο τρίγωνο. 

Βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου $AEF$.

Μαθηματικά ΕΠΑΛ: Βιβλιομάθημα ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Εκκεντρική ρήτρα

Ένας εκκεντρικός και πλούσιος δωρητής έκανε μια διαθήκη με την οποία άφηνε $55.000$ κάθε χρόνο ευρώ σε σχολεία δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης και δημοτικά σχολεία της περιοχής όπου ζούσε. 

Τα σχολεία της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης επρόκειτο να λάβουν $3.500$ ευρώ έκαστο και τα δημοτικά σχολεία $2.000$ ευρώ έκαστο. 

Οι όροι της κληρονομιάς ήταν ότι όλα τα χρήματα έπρεπε να ξοδεύονται κάθε χρόνο.

'Αθροισμα $365$

Στην παρακάτω λίστα, κάθε θετικός ακέραιος εμφανίζεται επτά φορές ακριβώς. 

$1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2,$

 $3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, . . .$

Υπάρχουν επτά διαδοχικοί αριθμοί στη λίστα που έχουν άθροισμα $365$. 

Ποιος είναι ο μεσαίος αριθμός σε αυτό το σύνολο των επτά διαδοχικών αριθμών;

Ο Mondrian συναντά τον Πυθαγόρα και τον Fibonacci

$\dfrac{πλευρά - μεσαίου- λευκού -τετραγώνου}{πλευρά - μικρού -μαύρου- τετραγώνου}= φ$ 

Συνεχής συνάρτηση

Έστω συνεχής συνάρτηση $f : (0, ∞) → R$, με $f(1) = 5$ και

$f(\dfrac{x}{x+1}) = f(x) + 2$

για κάθε θετικό πραγματικό αριθμός $x$.

α) Να βρεθεί το όριο 

$\lim_{x \rightarrow {+\infty}}f(x)$.

β) Να αποδείξετε ότι 

$lim_{x \rightarrow {0+}}f(x)= +\infty$.

γ) Βρείτε ένα παράδειγμα μιας τέτοιας συνάρτησης.

Τρόπος ζωής

Κάθε μέρα, ο Γιώργος περνάει $4$ ώρες στο Διαδίκτυο. Κάθε εβδομάδα, ο Άλεξ για $50$ ώρες κοιμάται. Κάθε χρόνο, ο Γιώργος πηγαίνει στο σχολείο για $180$ ημέρες και περνάει $8$ ώρες στο μάθημα κάθε μέρα.

Έστω $I$ ο αριθμός των ωρών στο Διαδίκτυο τον χρόνο, $S$ ο αριθμός των ωρών ύπνου κάθε χρόνο. και $C$ ο αριθμός των ωρών στην τάξη κάθε χρόνο.

Τότε

 a. $C > S > I$ b. $I > S > C$ c. $S > I > C$ 

d. $I > C > S$ e. $S > C > I$

(Υπάρχουν $52$ εβδομάδες τον χρόνο και $365$ ημέρες κάθε χρόνος). 

Οι Εισηγήσεις της Ημερίδας στο «Καλαμαρί» με θέμα: “Η μαθηματική απόδειξη ως πρόβλημα διδασκαλίας και μάθησης”

$AD = EF$

Έστω τρίγωνο $ABC$ και έστω $BB_1$, $CC_1$ οι διχοτόμοι των γωνιών $∠B, ∠C$. Έστω $E, F$ τα ίχνη των καθέτων των καθέτων από το $A$ στα τμήματα $BB_1$, $CC_1$ αντίστοιχα.

Ας υποθέσουμε ότι $D$ είναι το σημείο επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου του $ABC$ επί της πλευράς $AB$.

Να αποδείξετε ότι $AD = EF$.

Αγόρια και κορίτσια

$40$ παιδιά στέκονται σε κύκλο. Οι $22$ από αυτούς έχουν ένα αγόρι γείτονα και οι $30$ έχουν ένα κορίτσι (όλοι έχουν δύο γείτονες). 

Πόσα κορίτσια υπάρχουν;

Εις την τρίτη

Να λυθεί η εξίσωση:

$(x^2 + x − 2)^3 + (2x^2 − x − 1)^3 = 27(x^2 − 1)^3$

Pascal's Mystic Hexagram

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Ακτίνα κύκλου

Στο παρακάτω σχήμα, η $ΑΒ$ είναι μια χορδή του κύκλου και το $CD$ είναι κάθετο στη $ΑΒ$.  Δεδομένου ότι $AC = 4$, $CB = 17$ και $CD = 6$, βρείτε την ακτίνα του κύκλου.

Μεγαλύτερος θετικός

Βρείτε τον μικρότερο θετικό ακέραιο του οποίου το πρώτο ψηφίο είναι το $1$ και έχει την ιδιότητα ότι αν αυτό το ψηφίο μεταφερθεί στο τέλος του αριθμού, ο αριθμός που προκύπτει είναι $3$ φορές μεγαλύτερος από τον αρχικό. 

Για παράδειγμα, το $139$ θα μετατραπεί σε $391$, το οποίο δεν είναι $3$ φορές μεγαλύτερο.

Godfrey H. Hardy: «Τα Μαθηµατικά, περισσότερο από οποιαδήποτε άλλη τέχνη ή επιστήµη, είναι ένα παιχνίδι για νεαρή ηλικία»

Godfrey H. Hardy

Άθροισμα γινομένων και συνημίτονο

Δίνεται τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο και ένα σημείο της πλευράς ώστε

Επί της θεωρώ τυχόν σημείο και έστω το συμμετρικό του ως προς

Οι τέμνουν τον στα αντίστοιχα.

α) Να βρείτε την τιμή της παράστασης 

β) Αν επιπλέον να βρείτε το όπου

Πηγή: mathematica