Άντε να βγει από εκεί

Στο γκαράζ που φαίνεται στην εικόνα, τα οχήματα μπορούν να κινηθούν μόνο προς τα εμπρός ή προς τα πίσω, δεν μπορούν να στρίψουν.

Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός οχημάτων που θα πρέπει να μετακινηθούν για να βγει το μαύρο αυτοκίνητο;

Kengurukonkurransen 2022, Benjamin (6–8)

$100$ μπίλιες

Έχεις $50$ κόκκινες μπίλιες και $50$ μπλε μπίλιες, κατά τα άλλα πανομοιότυπες. Έχετε $2$ ίδια βάζα. Μία μπίλια θα επιλεγεί τυχαία, από ένα βάζο που επιλέγεται τυχαία. 

Πώς θα κατανείματε τις μπίλιες στα βάζα, έτσι ώστε να μεγιστοποιήσετε τις πιθανότητες να επιλεγεί μία κόκκινη μπίλια;

ΙΣΤΟΣΕΛΙΔΑ: International Tournament of Young Mathematicians (ITYM)

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Άρρητη εξίσωση - 6

Να λυθεί η εξίσωση

$$\sqrt[3]{(2+χ)^2}+ 3\sqrt[3]{(2 -χ)^2} = 4\sqrt[3]{(4-χ)^2}$$

The Scottish Mathematical Council 

MATHEMATICAL CHALLENGE 2022−2023

11 κύκλοι και 2 τόξα

Σχεδιάζουμε δύο τόξα ακτίνας $R$ με κέντρο τα σημεία $Α$ και $Β$, σε κύκλο διαμέτρου $AB=2R$. 

Στο εσωτερικό αυτού του κύκλου έχουμε $10$ κύκλους που αποτελούνται από $2$ μεγάλους κύκλους με ακτίνα $R/2$ (μπλε), $4$ μικρούς κύκλους με ακτίνα $t$ (πορτοκαλί) και $4$ μικρούς κύκλους με ακτίνα $t'$ (πράσινο), όπως φαίνονται στο σχήμα.  

Ποια η σχέση μεταξύ των ακτίνων των κύκλων αυτών;

ON YER BIKE!

A bicycle is being ridden in a straight line, when the rider does a U-turn and goes back in the direction he came from. He does this by suddenly turning her front wheel, holding the handlebars at a constant angle and then suddenly straightening the wheel again. 

Draw a sketch showing the tracks of the front and rear wheels during this manoeuvre, assuming that the bicycle stays vertical at all times and that the handlebars turn about a vertical axis. 

Calculate the distance between the initial and final wheel tracks, given that the distance between the cen-

tres of the wheels is one metre and the angle through which the front wheel is turned is 30◦.

Χαμός από ριζικά

Αποδείξτε ότι ο αριθμός

είναι άρρητος.

Μνημείο για τον Blaise Pascal (1623 - 1662), στο Clermont-Ferrand (Γαλλία)

Γωνία $ABC$

Στο παρακάτω σχήμα, να βρεθεί η γωνία $ABC$.

Κάντε 24

Δημιουργήστε τον αριθμό $24$ χρησιμοποιώντας μόνο αυτούς τους αριθμούς μία φορά τον καθένα: 

$2, 3, 10, 10$. 

Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε μόνο τις ακόλουθες πράξεις $+, -, *, /$ 

Πολυτέλειος !

Ποιος είναι ο μικρότερος αριθμός (εκτός του $1$), που είναι 

• τέλειο τετράγωνο
• τέλειος κύβος και 
• τέλεια πέμπτη δύναμη;

Αυστηρά αυξανόμενοι αριθμοί

Ένας αριθμός λέμε ότι είναι αυστηρά μονοτονικά αυξανόμενος, εάν κάθε ψηφίο (κατά την ανάγνωση από αριστερά προς τα δεξιά) είναι μεγαλύτερο από το προηγούμενο π.χ. 

$123, 1789, 23689, 4589$

όλοι αυξάνονται αυστηρά, αλλά οι αριθμοί 

$555, 4807, 71244, 981$

δεν είναι όλοι  αυστηρά μονοτονικά αυξανόμενοι.

Ερώτηση: 

Πόσοι πενταψήφιοι αυστηρά μονοτονικά αυξανόμενοι αριθμοί υπάρχουν;

Προς τα που ?

Το διάγραμμα δείχνει τις διαδρομές των τροχών ενός δίτροχου ποδηλάτου. 

Το ποδήλατο πήγαινε από αριστερά προς τα δεξιά ή από δεξιά προς τα αριστερά;

Κάντε 24

Δημιουργήστε τον αριθμό $24$ χρησιμοποιώντας μόνο αυτούς τους αριθμούς μία φορά τον καθένα: 

$1, 3, 4, 6$. 

Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε μόνο τις ακόλουθες πράξεις $+, -, *, /$.

Θέματα προετοιμασίας για τις εισαγωγικές εξετάσεις των Πρότυπων Πειραματικών Λυκείων

 

Περιοδικό Ευκλείδης Α΄ τ. 92

$P(-1)=?$

Έστω πολυώνυμο $P(x)$ τέτοιο ώστε $P(1) = 1$ και

$\dfrac{P(2x)}{P(x+1)} = 8 - \dfrac{56}{x+7}$, $ \forall x\neq -7$. 

Να βρεθεί το $P(-1)$. 

Harvard-MIT Mathematics Tournament

The William Lowell Putnam Mathematics Competition (Archive 1985 - 2021)

The William Lowell Putnam Mathematics Competition is a North American math contest for college students, organized by the Mathematical Association of America (MAA). Each year on the first Saturday in December, several thousand US and Canadian students spend 6 hours (in two sittings) trying to solve 12 problems. Individual and team winners (and their schools, in the latter case) get some money and a few minutes of fame.

Year	Problems		Solutions		Winners		Scores
2021	TeX	PDF	TeX	PDF	HTML	PDF	HTML
2020	TeX	PDF	TeX	PDF	unofficial (see footnote)
2019	TeX	PDF	TeX	PDF	HTML	PDF	HTML
2018	TeX	PDF	TeX	PDF	HTML	PDF	HTML
2017	TeX	PDF	TeX	PDF	HTML	PDF	HTML
2016	TeX	PDF	TeX	PDF	HTML	PDF	HTML
2015	TeX	PDF	TeX	PDF	HTML	PDF	HTML
2014	TeX	PDF	TeX	PDF	HTML	PDF	HTML

Aπό σταθερό σημείο

Δίνεται τρίγωνο και ένα μεταβλητό σημείο της πλευράς Επί των θεωρώ τα σημεία αντίστοιχα, ώστε και

Να δείξετε ότι ο περίκυκλος του διέρχεται από σταθερό σημείο.

Πηγή: mathematica

Πολυσύνθετη κατάσταση

Έστω συνάρτηση $f$ για την οποία ισχύουν 

• $f(x) = 0$, για $x < 1$ και
• $f(x) = 2x − 2$, για $x ≥ 1$. 

Πόσες λύσεις έχει η εξίσωση

$f(f(f(f(x)))) = x$?

Harvard-MIT Mathematics Tournament

The Erdös Number Project

The Erdös Number Project

$100$ friends

A group of 100 friends plans a trip to a remote island to play a new exciting game. Upon arrival each of them will be given one of 199 possible nick-names to use during the game. 

Each player will know the nick-name of all the other players, but not her own. 

No communication will be possible between the players while they are on the island. However, at the end of the game each player will be asked about her nick-name. Only if at least one player answers correctly, they all will be allowed to return home. 

Can they prepare a strategy which will guarantee they can return?

$r_1^² + r_2^² = r_3^2$

Από ένα ορθογώνιο στο εσωτερικό ενός ορθογωνίου τριγώνου, όπως βλέπετε στο σχήμα παρακάτω,  σχηματίζονται τρία τρίγωνα με ακτίνες των εγγεγραμμένων τους κύκλων $r_1, r_2, r_3$, κατά αύξουσα σειρά. 

Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του ορθογωνίου είναι μέγιστο, όταν  

$r_1^² + r_2^² = r_3^2$.

Δύο φορές παραγωγίσιμη

Έστω συνάρτηση $f:(−1,1)→R$ δύο φορές παραγωγίσιμη τέτοια, ώστε

$2f′(x)+xf′′(x)⩾1$ 

για $x∈(−1,1)$.

Να αποδειχθεί ότι 

 $\int_{-1}^1xf(x)dx \geq  \frac{1}{3}$.

2019 IMC

Proof Whithout Words: Integral of Sine Squared

από 

Πηγή

Κατασκευή κύκλου

Να κατασκευαστεί ο εγγεγραμμένος κύκλος στο κοινό τμήμα δυο δοθέντων κύκλων και , ο οποίος να διέρχεται από το δοθέν σημείο του κοινού αυτού τμήματος, όπως φαίνεται και στο πιο πάνω σχήμα. 

Πηγή: mathematica

Math Mixer Mix-up

At the end of a recent fancy dress mixer for mathematicians, the 100 mathematicians left the party one-by-one, each stopping to pick up his or her fancy dress hat on the way out. 

Unfortunately, the first mathematician to leave was a little off his rocker and just grabbed a hat at random. Each subsequent mathematician to leave the party took their own hat, if it was available, or else took a hat at random. 

Ρολόι από 5

$6$ ίσα ορθογώνια τρίγωνα

Στο παρακάτω σχήμα, έχουμε $6$ ίσα ορθογώνια τρίγωνα και ένα κανονικό πεντάγωνο πλευράς $α$ στο εσωτερικό τους.  

Να βρείτε το μήκος της υποτείνουσας των ορθογωνίων τριγώνων, συναρτήσει του $α$.

Ααξιοσημείωτες άπειρες ένθετες τετραγωνικές ρίζες του 2

Διδάσκοντας Μαθηματική Ανάλυση στην Γ΄ Λυκείου, του Θανάση Ξένου

Μάθημα 1ο: Βασικές έννοιες συναρτήσεων - 'Οριο συνάρτησης - Συνέχεια συνάρτησης
Μάθημα 2ο: Εύρεση συνόλου τιμών συνάρτησης 
Μάθημα 3ο: Γραφική παράσταση συνάρτησης

Μάθημα 4ο: Ισότητα συνάρτησης - Πράξεις με συναρτήσεις

Μάθημα 5ο: Σύνθεση συναρτήσεων 

Μάθημα 6ο: Μονότονες συναρτήσεις 

Μάθημα 7ο: Ολικά ακρότατα συνάρτησης

Μάθημα 8ο: Συνάρτηση 1 - 1

Μάθημα 9ο: Η αντίστροφη συνάρτηση

Μάθημα 10ο: 1ο Κριτήριο αξιολόγησης

Στρατιώτες αστέρια

Ένα τετράγωνο μεσαιωνικό κάστρο βρίσκεται σε ένα τετράγωνο νησί που περιβάλλεται από μια τετράγωνη τάφρο και ήταν υπό πολιορκία. Γύρω από το νησί υπάρχει μια υδάτινη τάφρος πλάτους $5$ μέτρων. Υπάρχει έδαφος στην άλλη πλευρά για να στηριχθεί η γέφυρα. 

Ο επιτιθέμενος βασιλιάς διέταξε τους στρατιώτες του να κατασκευάσουν δύο ξύλινες πεζογέφυρες. Αυτοί επέστρεψαν με δύο γέφυρες μήκους ακριβώς $5$ μέτρων (αυτό σήμαινε ότι δεν μπορούσαν να στηριχθούν στο έδαφος και στις δύο πλευρές της τάφρου). 

Δεν έχουν καρφιά ή σκοινί υπάρχει τρόπος να περάσουν;

Σχολικά βιβλία Μαθηματικών της Κύπρου όλων των τάξεων

A' Γυμνασίου

Μαθηματικά, Α' Τεύχος  

Μαθηματικά, B' Τεύχος  

B' Γυμνασίου

Μαθηματικά, Α' Τεύχος  

Μαθηματικά, B' Τεύχος  

Καθετότητα τμήματος από τομές

Επί της διαμέτρου κύκλου κέντρου θεωρούμε τα σημεία εκατέρωθεν του με και ας είναι πλησιέστερο στο .

Αν είναι τα σημεία τομής των με τον κύκλο αντίστοιχα, με διάφορο των  και τα σημεία τομής της με τις αντίστοιχα.

Να δειχτεί ότι , όπου και .

Πηγή: mathematica