Υπάρχει c

Έστω συνεχής συνάρτηση $f:[a,b]\to\mathbb R$, παραγωγίσιμη στο $(a,b)$. 

Να αποδείξετε ότι υπάρχει $c\in (a,b)$, τέτοιο ώστε 

$f(1)-f(0)=\dfrac{f^{\prime}(c)+f^{\prime}(1-c)}2$.

Όριο

Να βρεθεί το όριο 

$\lim_{x\to 0}\dfrac{1-(\cos x)^{\sin x}}{x^3}$.

Φάρμα στα Γιαννιτσά

Ο κύριος Αλέξανδρος έχει μια φάρμα στα Γιαννιτσά. Στη φάρμα αυτή υπάρχουν $106$ ζώα. Τα ζώα αποτελούνται από κότες, κύκνους, πρόβατα, άλογα, μια γκρίζα γάτα, έναν λευκό σκύλο και έναν πράσινο παπαγάλο. 

Στη φάρμα όλα τα κοτόπουλα είναι λευκά, όλοι οι κύκνοι είναι μαύροι, όλα τα άλογα είναι λευκά και, μεταξύ των προβάτων, υπάρχουν λευκά και μαύρα. 

Επιπλέον 

• Ο συνολικός αριθμός των λευκών ζώων είναι $67$. 

• Ο συνολικός αριθμός των ραμφών είναι $65$ (το στόμα ενός πουλιού ονομάζεται ράμφος). 

• Ο συνολικός αριθμός των ποδιών είναι $294$ (τα δύο πόδια του κυρίου Αλέξανδρου δεν περιλαμβάνονται σε αυτό το σύνολο). 

Πόσα πρόβατα υπάρχουν στη φάρμα;

The Greatest Mathematical Paper of All Time (A. J. Coleman)

Κόκκινο αστέρι

Ένα τετράκτινο αστέρι κρέμεται από τρία κορδόνια στο κέντρο ενός κύκλου, όπως φαίνεται. Το κεντρικό κορδόνι έχει μήκος $4$ cm και τα άλλα δύο έχουν μήκος $6$ cm.

Ποιο είναι το πλάτος του αστεριού;

Τουλάχιστον δύο

Υπολογίστε τον αριθμό των θετικών ακεραίων που διαιρούν τουλάχιστον δύο από τους ακέραιους αριθμούς του συνόλου

$Α =  \big\{1^1 , 2^2 , 3^3 , 4^4 , 5^5 , 6^6 , 7^7 , 8^8 , 9^9 , 10^{10}\big\}$.

MIT - HARVARD CONTEST 2022 

Κυρτή συνάρτηση

Αν $f:[0,1] \to \mathbb{R}$ είναι μία κυρτή συνάρτηση τέτοια. ώστε $f(0)=0$, να αποδειχθεί ότι$$\int_{0}^1 f(x) \ dx \geq 4\int_{0}^{\frac{1}{2}} f(x) \ dx.$$

Mathematical Reflections 2016  

Μπάλες ποδοσφαίρου και μπέιζμπολ

Υπάρχουν τρία κουτιά, το ένα περιέχει μόνο μπάλες ποδοσφαίρου, το άλλο περιέχει μόνο μπάλες μπέιζμπολ και το άλλο περιέχει και μπάλες ποδοσφαίρου και μπάλες μπέιζμπολ. Το ένα φέρει την ένδειξη $F$ για τις μπάλες ποδοσφαίρου, το άλλο φέρει την ένδειξη $S$ για τις μπάλες μπέιζμπολ.

Το τελευταίο φέρει την ετικέτα F&S. Γνωρίζετε ότι κάθε πλαίσιο έχει εσφαλμένη ετικέτα και θέλετε να εφαρμόσετε σωστές ετικέτες. 

Δεν μπορείτε να κοιτάξετε μέσα στα κουτιά, αλλά μπορείτε να μου ζητήσετε να διαλέξω μία μπάλα από όποιο κουτί επιλέξετε. 

Πώς θα επανατοποθετήσετε σωστά τις ετικέτες στα κουτιά.

Επιβάτης τρένου

Ένα βαγόνι μήκους 600 μέτρων ταξιδεύει με σταθερή ταχύτητα, ενώ ένας επιβάτης πηγαίνει από πίσω προς τα εμπρός και παραδίδει ένα μήνυμα στον οδηγό και μετά αμέσως επιστρέφει προς τα πίσω.

Σε αυτό το διάστημα (που άφησε τη θέση του στο πίσω μέρος μέχρι την επιστροφή στη θέση του) το βαγόνι του τρένου έχει μετακινηθεί 800 μέτρα. 

Πόσο μακριά ταξίδεψε ο επιβάτης;

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: 3- ωρο διαγώνισμα στις Συναρτήσεις (2022)

 Του Ιωάννη Σαλαμάνη 

Αλγεβρική σαλάτα

Αφού 

$(\sqrt{3})^3=\sqrt{3} ×\sqrt{3} ×\sqrt{3} =3×\sqrt{3}$  

τότε γιατί όχι 

$3^3=3×3×3=3×3$ 

40α γενέθλια

 

Μια γυναίκα πέρασε το πρώτο τρίτο της ζωής της στην Ινδία, το επόμενο έκτο στις ΗΠΑ και μετά 12 χρόνια στην Αίγυπτο. 

Στη συνέχεια πέρασε το ήμισυ της υπόλοιπης ζωής της στη Γερμανία και τελικά έζησε στον Καναδά για όσο διάστημα είχε περάσει στις ΗΠΑ. Απεβίωσε στον Καναδά.

Πού πέρασε τα 40α γενέθλιά της;

Δύο ισοσκελή τρίγωνα

Έστω ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο, $DAB (DA=DB)$. Με κέντρο σημείο $C$ της προς το $D$ προέκτασης του $BD$, γράφουμε κύκλο που διέρχεται από το $A$ και τέμνει το ευθύγραμμο τμήμα $AB$ στο $E$.

Έστω το σημείο τομής των . Υποθέτουμε ότι .

Βρείτε το εμβαδόν του .

Πηγή: mathematica

Το 23ο τεύχος του περιοδικού "Εικοσιδωδεκάεδρον"

 

Κάντε κλικ στην εικόνα.

2022 - γωνο

Ένα κανονικό $2022$-γωνο έχει περίμετρο $6,28$. 

Προς τον πλησιέστερο θετικό ακέραιο, υπολογίστε το εμβαδόν του $2022$-γωνου.

MIT - HARVARD CONTEST 2022

Σελίδες βιβλίου

Από ένα βιβλίο λείπουν πολλές συνεχόμενες σελίδες. Το άθροισμα των αριθμών των σελίδων που λείπουν είναι $2896$.

Ποιες σελίδες λείπουν;

Ενδιαφέροντες αριθμοί

Οι τρεις αριθμοί $1, 407$ και $370$ είναι ιδιαίτερα ενδιαφέροντες γιατί όταν βάλετε σε κύβους τα ψηφία τους και βρείτε το άθροισμα, παίρνετε τον ίδιο τον αριθμό: 

Μπορείτε να βρείτε έναν άλλο αριθμό με αυτήν την ιδιότητα; 

Τελευταία ψηφία

Να βρεθούν τα τρία τελευταία ψηφία του αθροίσματος

$$625^{19}+376^{99}$$

25 ντόνατς

Είκοσι πέντε ντόνατς κοστίζουν τόσα ευρώ όσα ντόνατς μπορούν να αγοραστούν με ένα ευρώ.

Ποια είναι η τιμή ενός ντόνατ;

Υπολογισμός γωνιών

Στο παρακάτω σχήμα τα σημεία $P, Q, R$ και $S$ είναι σημεία σε κύκλο με κέντρο $Ο$. Η ευθεία $UV$ είναι εφαπτομένη στον κύκλο στο σημείο $P$. 

Τα τμήματα $PR$ και $OS$ τέμνονται στο $T$ και  $\widehat{PQW} =106^o$ και $SP =SR$.

Να υπολογισθούν οι γωνίες:

i) $\widehat{PSR}$

ii) $\widehat{R_3}$

iii) $\widehat{P_5}$

iv) $\widehat{O_1}$

v) $\widehat{P_3}$

The International IQ Test (2022)

Το τεστ αποτελείται από 40 ερωτήσεις, με σταδιακά αυξανόμενο επίπεδο δυσκολίας: από απλές ερωτήσεις σε πιο δύσκολες. Ανάλογα με τις απαντήσεις που θα επιλέξετε, θα αξιολογήσουμε την ικανότητά σας να μαθαίνετε, να κατανοείτε, να σχηματίζετε έννοιες, να επεξεργάζεστε πληροφορίες και να εφαρμόζετε την λογική.

Κάντε κλικ στην εικόνα για να ξεκινήσετε το τεστ.

Ρολόι πύργου

Τι γωνία σχηματίζουν οι δείκτες του ρολογιού του πύργου $2022$ λεπτά πριν χτυπήσει μεσάνυχτα;

Όμορφη απόδειξη γιατί $\sqrt{2}\neq Q$

Υπολογισμός γνωριμιών

Ένας δάσκαλος παρατήρησε ότι πριν από το μάθημα κάθε μαθητής έσφιξε τα χέρια με $6$ κορίτσια και $8$ αγόρια. 

Ο αριθμός των χειραψιών μεταξύ αγοριών και κοριτσιών ήταν $5$ μικρότερος από τον αριθμό όλων των άλλων χειραψιών. 

Πόσοι μαθητές ήταν στην τάξη; 

Περιοδικό Quantum

Πρωινό ξύπνημα

Όταν ξύπνησα για πρώτη φορά νωρίς σήμερα το πρωί, η οθόνη του ψηφιακού ρολογιού δίπλα στο κρεβάτι μου έδειχνε:

Υπέθεσα ότι ήταν ελαττωματικό, αλλά, αφού ξανακοιμήθηκα, όταν μετά ξύπνησα και είδα το ρολόι, συνειδητοποίησα ότι κάποιος πρέπει να είχε γυρίσει το ρολόι ανάποδα και ότι είχε περάσει ακριβώς μιάμιση ώρα από τότε που κοίταξα την πρώτη φορά. 

Τι είδα όταν ξύπνησα τη δεύτερη φορά;

Πηγή:

Εφαπτομενικές διασταυρώσεις

Δύο κύκλοι τέμνονται στα σημεία $Α$ και $Β$. Οι εφαπτομένες σε αυτούς που άγονται από το σημείο $Α$ τέμνουν τους κύκλους ξανά στα σημεία $Μ$ και $N$. 

Οι ευθείες $BM$ και $BN$ τέμνουν τους κύκλους για δεύτερη φορά στα σημεία $P$ και $Q$, αντίστοιχα.

Να αποδειχθεί ότι $MP= NQ$. 

Αριθμητική τριγώνου

Τα μήκη πλευρών $χ, y, ω$ ενός τριγώνου είναι ακέραιοι αριθμοί και ένα από τα ύψη του είναι ίσο το άθροισμα των άλλων δύο. 

Να αποδείξετε ότι το άθροισμα 

$χ^2 + y^2 + ω^2$

είναι το τετράγωνο ενός ακέραιου αριθμού. 

Θέματα και Απαντήσεις των Πανελλαδικών Εξετάσεων ΓΕΛ των τελευταίων ετών

Πηγή: mathamagicpath

$4041$ - ψήφιος αριθμός

Αν υπολογίσουμε τον παρακάτω αριθμό  

$(10^{2020} + 2020)^2$ 

θα έχει $4041$ ψηφία. 

Ποιο είναι το άθροισμα των ψηφίων του αριθμού αυτού? 

Α. $9$      Β. $17$      Γ. $25$      Δ. $2048$      Ε. $4041$

Senior Mathematical Challenge 2020

Πολυπολύγωνα

Ένα κανονικό $m$-γωνο, ένα κανονικό $n$-γωνο και ένα κανονικό $p$-γωνο μοιράζονται μια κορυφή και μοιράζονται ακμές κατά ζεύγη, όπως φαίνεται στο παρακάτω διάγραμμα. 

Ποια είναι η μεγαλύτερη δυνατή τιμή του p; 

Α. $6$      Β. $20$     Γ. $42$      Δ. $50$      Ε. $100$

Senior Mathematical Challenge 2020

Calculus: theory, examples, exercises (pdf)

CONTENTS: 

PRE-CALCULUS 

SEQUENCES 

FUNCTION LIMITS 

Κάντε κλικ στην εικόνα.

CONTINUOUS FUNCTIONS 

DERIVATIVES 

APPLICATIONS OF THE DERIVATIVE 

Υπάρχει ?

1) Υπάρχει "1 - 1" και επί συνάρτηση $f : (0, 1) → (0, 1)$, τέτοια ώστε 

$f ′ = f^{−1}$ ? 

2) Υπάρχει "1 - 1" και επί συνάρτηση $f : (0, +∞) → (0, +∞)$, τέτοια ώστε 

$f ′ = f^{−1}$ ?

Παίζοντας με Τρίγωνα

Δύο ισοσκελή ορθογώνια τρίγωνα τοποθετούνται το ένα πάνω στο άλλο έτσι ώστε οι κορυφές κάθε ορθής γωνίας τους να βρίσκονται στην υποτείνουσα του άλλου τριγώνου, όπως φαίνεται στο σχήμα.

Οι άλλες τέσσερις κορυφές τους σχηματίζουν ένα τετράπλευρο. Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του διαιρείται στο μισό από το τμήμα που ενώνει τις ορθές γωνίες.

Περιοδικό Quantum

Γιορτή Μαθηματικών στην Βέροια, Σάββατο 15 Οκτωβρίου 2022

Ελάχιστη τιμή

Έστω ότι όλες οι ρίζες του πολυωνύμου

$P(x) = x^5−10x^4+ax^3+bx^2+cx+d$

όπου $a, b, c, d$ πραγματικοί αριθμοί, είναι μεγαλύτερες του $1$.

Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή του αθροίσματος

$a + b + c + d$.

Titu Andreescu, University of Texas, USA

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Ασκήσεις στη συνέχεια συνάρτησης (§ 1.8)

 Του Σπύρου Γιαννάκαρου 

Πηγή: mathamagicpath

ΒΙΒΛΙΟ: Challenging Problems in Geometry

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Γαλάζιο εμβαδόν

Στο παρακάτω σχήμα το τρίγωνο είναι ισοσκελές και τα σημεία $Μ,Ν$ είναι μέσα των πλευρών του.

Στο εσωτερικό του τριγώνου έχουμε τέσσερις επιφάνειες, οι τρεις από αυτές έχουν εμβαδόν $3,3$ και $6$. Ποιο είναι το εμβαδόν της γαλάζιας επιφάνειας?

Math Kangaroo 2012, USA

Ποιος να είναι ?

Η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης  

$P(x) = x^5 + ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e$ 

τέμνει τον άξονα $χ΄χ$ σε πέντε διαφορετικά σημεία, ένα από τα οποία είναι η αρχή των αξόνων $(0, 0)$. 

Ποιος από τους συντελεστές $a, b, c, d, e$ δεν μπορεί να είναι $0$ ?

2005 AMC12

Ψηφιακό Υλικό για μαθητές και καθηγητές από τα περιοδικά της ΕME

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Είναι παράλληλες

Έστω τα εφαπτόμενα τμήματα $SA$ και $SB$ κύκλου $(Ω)$. Τυχαία τέμνουσα δια του $S$ συναντά, στα $C$ και $D$ τον κύκλο και τη χορδή $AB$ στο $T$.

Έστω τώρα τυχαίο σημείο του κύκλου και ευθεία διερχομένη δια του τέμνει την ευθεία στο και τις ευθείες στα αντίστοιχα .

Αν δείξετε ότι η ευθεία είναι παράλληλη στην .

Πηγή: mathematica