Σχολικός χορός

Σε έναν  σχολικό χορό χόρευαν κορίτσια με αγόρια. Στο τέλος της βραδιάς ρωτήθηκαν όλα τα κορίτσια και τα αγόρια πόσα τραγούδια χόρεψαν (με το ταίρι φυσικά). 

Έξι είπαν ότι χόρεψαν σε τρία τραγούδια, ένα ανέφερε ότι χόρεψε σε πέντε τραγούδια, τέσσερις χόρεψαν σε έξι τραγούδια και ένα χόρεψε σε εννιά. 

Αποδείξτε ότι δεν ήταν όλες οι απαντήσεις σωστές.

Δακτύλιοι κρεμαστοί

Ένας αριθμός συνδεδεμένων δακτυλίων, πάχους $1$ cm ο καθένας, κρέμονται σε ένα μανταλάκι. Ο επάνω δακτύλιος έχει εξωτερική διάμετρο $20$ cm. Η εξωτερική διάμετρος καθενός από τους εξωτερικούς δακτυλίους είναι $1$ cm μικρότερη από αυτή του δακτυλίου που βρίσκεται από πάνω του. 

Ο κάτω δακτύλιος έχει εξωτερική διάμετρο 3 cm. Ποια είναι η απόσταση, σε cm, από την κορυφή του επάνω δακτυλίου μέχρι το κάτω μέρος του κάτω δακτυλίου;

AMC 12/AHSME 2006

Πρόβλημα ζιγκ-ζαγκ

Όλες οι κορυφές μιας πολυγωνικής ευθείας $ABCDE$ βρίσκονται σε μια περιφέρεια (δείτε το σχήμα) και οι γωνίες στις κορυφές $B, C$ και $D$ είναι $45°$ η καθεμία.

Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του μπλε τμήματος του κύκλου είναι ίσο με το εμβαδόν του κίτρινου μέρους. 

Περιοδικό Quantum

Μονάδες παραγωγής ηλεκτρικής ενέργειας

Το παρακάτω διάγραμμα δείχνει έναν χάρτη με $16$ πόλεις που συνδέονται μέσω δρόμων. Η κυβέρνηση σχεδιάζει να κατασκευάσει σταθμούς ηλεκτροπαραγωγής σε ορισμένες πόλεις. 

Κάθε μονάδα παραγωγής ηλεκτρικής ενέργειας μπορεί να παράγει αρκετή ηλεκτρική ενέργεια για την πόλη στην οποία βρίσκεται καθώς και για τις γειτονικές του πόλεις (δηλαδή πόλεις στις οποίες μπορείτε να φτάσετε μέσω απευθείας συνδετικού δρόμου). 

Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός σταθμών ηλεκτροπαραγωγής που πρέπει να κατασκευαστούν;

(A) $3$      (B) $4$      (Γ) $5$      (Δ) $6$      (E) $7$

Ανισότητα 255η

Να αποδειχθεί η ανισότητα

$\dfrac{2a^3-b^3-c^3}{b^2+c^2}+\dfrac{2b^3-a^3-b^3}{c^2+a^2}+\dfrac{2c^3-a^3-b^3}{a^2+b^2} \geq 0$

όπου $a,b,c$ θετικοί πραγματικοί αριθμοί.

Παγκόσμιο τηλεσκόπιο

Το AAS WorldWide Telescope είναι ένα εργαλείο για την επίδειξη αστρονομικών δεδομένων και γνώσεων.

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Εκατέρωθεν χορδής

Το μήκος της χορδής που εφάπτεται στους εγγεγραμμένους κύκλους που φαίνονται στο σχήμα είναι $2t$. Βρείτε το εμβαδόν του σκιασμένου τμήματος του κύκλου. 

(Από το βιβλίο Μαθηματική Ανακάλυψη του George Pοlya)

83ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός στα Μαθηματικά « Ο ΘΑΛΗΣ», για το σχολικό έτος 2022-2023

Σας ενημερώνουμε ότι, σύμφωνα με το Απόσπασμα Πρακτικού 49/16-09-2022 του Δ.Σ. του Ι.Ε.Π., εγκρίνουμε τον 83ο Πανελλήνιο Μαθητικό Διαγωνισμό (Π.Μ.Δ.) στα Μαθηματικά, «Ο ΘΑΛΗΣ», που διοργανώνει η Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία, 

την Παρασκευή 11 Νοεμβρίου 2022 και ώρα 12:00-14:00, και απευθύνεται στους/στις μαθητές/τριες των Β΄ και Γ΄ τάξεων των Γυμνασίων της χώρας, καθώς και όλων των τάξεων των Λυκείων της χώρας, οι οποίοι και θα πρέπει να δηλώσουν συμμετοχή στον/στην Διευθυντή/ντρια της Σχολικής μονάδας που φοιτούν μέχρι και την Τετάρτη 9 Νοεμβρίου 2022. 

6η Ημερίδα για τα Μαθηματικά στις Πανελλαδικές Εξετάσεις

Kάντε κλικ στην εικόνα.

Ένας σωκρατικός διάλογος για τα Μαθηματικά (pdf)

Ανισότητα από KöMaL

Να αποδειχθεί η ανισότητα

$\displaystyle \frac1{\sqrt{2x}} + \frac1{\sqrt{2y}} + \frac2{\sqrt{x+y}} + 2 \ge \frac4{\sqrt{x+2}} + \frac4{\sqrt{y+2}}$

KöMaL Problems in Mathematics

Μήκος τμήματος

Δύο κύκλοι τέμνουν ένα ορθογώνιο $AFMG$, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. 

Πόσο είναι το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος $LM$;

KÄNGURU DER MATHEMATIK 2022

Ποδηλάτης

Ένα ευθύ τμήμα αυτοκινητόδρομου μήκους ενός μιλίου έχει πλάτος 40 πόδια. Οδηγείτε το ποδήλατό σας κατά έναν τρόπο, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. 

Εάν οδηγείτε με 5 μίλια την ώρα, πόσες ώρες θα σας πάρει για να καλύψετε την έκταση του ενός μιλίου; 

Σημείωση: 1 μίλι = 5280 πόδια

Katherine Johnson (1918 - 2020)

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Τρεις ίσοι κύκλοι

Τρεις κύκλοι με την ίδια ακτίνα $r$ διέρχονται όλοι από ένα σημείο $H$. 

Αποδείξτε ότι ο κύκλος που διέρχεται από τα σημεία όπου τέμνονται τα ζεύγη κύκλων (δηλαδή τα σημεία $A , B$ και $C$) έχει επίσης την ίδια ακτίνα $r$.

Περιοδικό Quantum

Πέντε και πέντε

Επιλέγετε τυχαία δέκα σημεία μέσα σε έναν κύκλο, έτσι ώστε να μην υπάρχουν δύο από αυτά σε οποιαδήποτε διάμετρο. 

Ποια είναι η πιθανότητα ο κύκλος να έχει κάποια διάμετρο, ώστε ακριβώς πέντε σημεία να βρίσκονται εκατέρωθεν της διαμέτρου αυτής; 

(α) $\dfrac{63}{256}$     (β) $\dfrac{1}{2}$     (γ) $\dfrac{2}{3}$     (δ) $\dfrac{5}{6}$     (ε) $1$

Άθροισμα πολυωνύμων

Το πολυώνυμο 

$P(x) = x^4 −27x^2 + 121$ 

γράφεται κατά μοναδικό τρόπο ως γινόμενο δύο τριωνύμων με ακέραιους συντελεστές, και οι συντελεστές του $x^2$ είναι $1$.  

Ποιο είναι το άθροισμα των δύο τριωνύμων;

(α) $2x^2 − 5x + 122$ 

(β) $2x^2 − 5x − 22$ 

(γ) $2x^2 − 5x + 22$

(δ) $2x^2 − 22$ 

(ε) $2x^2 + 22$

Με πόσους τρόπους ανακατεύεται μία τράπουλα ?

Γνωρίζατε ότι υπάρχουν

52! = =80.658.175.170.943.878.571.660.636.856.403.766.975.289.505.440.883.277.824.000.000.000.000

τρόποι να ανακατέψετε μία τράπουλα;

Γινόμενο xy

Αν 

$x^2 + xy + y^2 = 84$ 

και 

$x − \sqrt{xy} + y = 6$ 

τότε $xy = ?$

α) $16$     β) $25$     γ) $36$     δ) $49$     ε) $64$

Μπλε τετράγωνο

Έστω κυρτό τετράπλευρο $ABCD$, και $E$ το μέσο της πλευράς $AB$, $F$ το μέσο της πλευράς $BC$, και ούτω καθεξής. Στη συνέχεια συνδέουμε το $E$ με το $C$, το $F$ με το $D$, το $G$ με το $A$ και το $H$ με το $B$.

Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του μπλε τετράπλευρου ισούται με το άθροισμα των τεσσάρων σκιασμένων τριγωνικών περιοχών.

Τρία γρανάζια

Πόσες περιστροφές του 1ου γραναζιού απαιτούνται έως ότου όλα τα γρανάζια επιστρέψουν στη θέση που φαίνεται, με τα βέλη να είναι ευθυγραμμισμένα ξανά και να δείχνουν προς τις κατευθύνσεις που βλέπετε;

α) $28$     β) $70$     γ) $175$     δ) $1680$     ε) $168000$

Μέγιστα ορθογώνια

$1$. Ποιο είναι το εμβαδόν του μεγαλύτερου ορθογωνίου που έχει μία κορυφή του στην αρχή των αξόνων, μία κορυφή στον αρνητικό άξονα $y,$ μία κορυφή στον θετικό άξονα $x$ και μία κορυφή στην καμπύλη $y = ln x$;

$2$. Ποιο είναι το εμβαδόν του μεγαλύτερου ορθογωνίου που έχει μια κορυφή του στην αρχή των αξόνων, μια κορυφή στον αρνητικό άξονα $x$, μια κορυφή στον θετικό άξονα $y$ και μια κορυφή στην καμπύλη $y = e^x$.

Προβολή κύκλου

Το ευθύγραμμο τμήμα $MN$ είναι η προβολή ενός κύκλου εγγεγραμμένου σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο $ABC$ στην υποτείνουσα $AB$ του. 

Αποδείξτε ότι η γωνία $MCN$ είναι $45°$.

Περιοδικό Quantum

$0 = 1$

Απόδειξη
$0 = 0 + 0 + 0 + · · · =$
$(1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + · · · =$
$1 + (−1) + 1 + (−1) + 1 + (−1) + · · · =$

$1 + ((−1) + 1) + ((−1) + 1) + ((−1) + 1) + · · · =$
$1 + 0 + 0 + 0 + · · · = 1$

Που βρίσκεται το λάθος?

Πόσα τρίγωνα βλέπετε ;

Γραμμική συνάρτηση

Αν $f(x) = α + βx$, τότε να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί $α$ και $β$ τέτοιοι ώστε 

$f(f(f(1))) = 29$, $f(f(f(0))) = 2$?

Λόγος βάσεων

Αν η μεγαλύτερη βάση ενός ισοσκελούς τραπεζίου ισούται με την διαγώνιο και η μικρότερη βάση ισούται με το ύψος, ποιος είναι ο λόγος της μικρότερης βάσης προς τη μεγαλύτερη βάση;

Μήκος χ

Να βρεθεί το μήκος χ.

Το σχήμα δεν είναι σχεδιασμένο με κλίμακα.

Φανταστικό ορθογώνιο !

$i^2 + 1^2 = 0^2$

ABC

Έστω $a, b$ και $c$ ακέραιοι αριθμοί τέτοιοι ώστε 

$a + b + c = 14$ 

και 

$156a + 13 b + c = 873$

να βρεθεί η τιμή του αθροίσματος 

$100a + 10b + c$.

Equitable Slice

Πώς μπορεί να σχεδιαστεί μια πολυγωνική γραμμή $BDEFG$ σε ένα τρίγωνο $ABC$ έτσι ώστε τα πέντε τρίγωνα που λαμβάνονται να έχουν το ίδιο εμβαδόν;

Περιοδικό Quantum

$22/02/2022$

Η ημερομηνία $22$ Φεβρουαρίου $2022$, όταν γράφεται με τη μορφή $ΗΗ/ΜΜ/ΕΕΕΕ$, γίνεται $22/02/2022$, η οποία χρησιμοποιεί μόνο δύο διαφορετικά ψηφία, δηλαδή $2$ και $0$.

Όταν γράφεται με τη μορφή $ΗΗ/ΜΜ/ΕΕΕΕ$, ποια είναι η πρώτη ημερομηνία μετά τις $22$ Φεβρουαρίου, $2022$ που χρησιμοποιεί μόνο δύο διαφορετικά ψηφία;

CALGARY JUNIOR HIGH SCHOOL MATHEMATICS CONTEST

Εμβαδόν του κύκλου

Ένας κύκλος είναι εγγεγραμμένος μέσα σε ένα τετράγωνο έτσι ώστε ο κύβος της ακτίνας του κύκλου να είναι αριθμητικά ίσος με την περίμετρο του τετραγώνου. 

Ποιο είναι το εμβαδόν του κύκλου;

Τιμή μονωνύμου

Αν $x$ και $y$ είναι ακέραιοι τέτοιοι ώστε 

$$14x^2y^3 − 38x^2 + 21y^3 = 2018$$

να βρεθεί η τιμή του $x^2y$ ?

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Συνδυαστικό θέμα μέχρι και αντίστροφη συνάρτηση

 Του Κώστα Γκούλη 

Walking Banker

"Ο κ. RA Scall, πρόεδρος της Pyramid Bank, ζει σε ένα προάστιο μάλλον μακριά από το γραφείο του. Κάθε μέρα έρχεται στο σπίτι του ένα αυτοκίνητο από την τράπεζα, πάντα την ίδια ώρα, ώστε να φτάνει στη δουλειά ακριβώς όταν ανοίγει η τράπεζα. Ένα πρωί ο οδηγός του τηλεφώνησε πολύ νωρίς για να του πει ότι μάλλον θα αργούσε λόγω μηχανικών προβλημάτων.

Έτσι ο κύριος Scall έφυγε από το σπίτι μία ώρα νωρίτερα και άρχισε να περπατά προς το γραφείο του. Ωστόσο, ο οδηγός κατάφερε να φτιάξει το αυτοκίνητο γρήγορα και έφυγε έγκαιρα από το γκαράζ. Συνάντησε τον τραπεζίτη στο δρόμο και τον έφερε στην τράπεζα. Έφτασαν 20 λεπτά νωρίτερα από το συνηθισμένο. Πόση ώρα περπάτησε ο κύριος Σκαλ; 

(Η ταχύτητα του αυτοκινήτου είναι σταθερή και ο χρόνος που χρειάζεται για να στρίψετε είναι μηδέν.) 

Περιοδικό Quantum

Δύο πρώτοι

Μπορεί ο αριθμός $2.000.009$ να γραφεί ως άθροισμα δύο πρώτων αριθμών;

Ντεκαφεϊνέ καφές

Ένα καφενείο διαφημίζει ότι στον ντεκαφεϊνέ καφέ τους αφαιρέθηκε το $99,9$% της καφεΐνης, με αποτέλεσμα ένα φλιτζάνι από τον ντεκαφεϊνέ καφέ τους να περιέχει μόνο $0,1$ χιλιοστόγραμμα καφεΐνης. 

Πόσα χιλιοστόγραμμα καφεΐνης υπήρχαν σε ένα φλιτζάνι καφέ πριν γίνει ντεκαφεϊνέ;

Δυναμικές ισότητες

Αν ισχύει

$$20^{21} = 2^a5^b = 4^c5^d = 8^e5^f$$

για τους θετικούς ακέραιους αριθμούς $a, b, c, d, e$ και $f$, τότε να βρεθεί η τιμή

$$\dfrac{100bdf}{ace}$$

Χριστούγεννα ημέρα Τετάρτη

Στο Γρηγοριανό ημερολόγιο: 

• Ένα κοινό έτος έχει 365 ημέρες. ένα δίσεκτο έτος έχει 366. 
• Τα έτη που δεν διαιρούνται με το 4 είναι κοινά έτη. 
• Τα έτη που διαιρούνται με το 100 αλλά όχι με το 400 είναι κοινά έτη. 
• Τα έτη που διαιρούνται με το 400 είναι δίσεκτα. 

Ποια είναι η πιθανότητα τα Χριστούγεννα (25 Δεκεμβρίου) να πέφτουν ημέρα Τετάρτη;

William Lowell Putnam Mathematical Competition

Ακτίνα ACE

Η πλευρά $AE$ του πενταγώνου $ABCDE$ ισούται με τη διαγώνιο $BD$ του. Όλες οι άλλες πλευρές αυτού του πενταγώνου είναι ίσες με $1$. Ποια είναι η ακτίνα του κύκλου που διέρχεται από τα σημεία $Α, C$ και $Ε$;

Περιοδικό Quantum

Τον μαθαίνεις σίγουρα !

Εάν δεν μπορείτε να θυμηθείτε ένα τύπο στα μαθηματικά, ορίστε τον ως κωδικό πρόσβασης wifi.

Act rhombus

Αν για τους θετικούς ακέραιους αριθμούς $x$ και $y$ ισχύουν 

$(x⋅y)◊y= x(y◊y)$ 

και 

$(x◊1)◊x = x◊1$

τότε 

$19◊98 = ?$

Δίνεται ότι $1◊1 = 1$.

Παγωτογρίφος

MIT OPEN COURSE WARE: DERIVATIVES, SLOPE, VELOCITY, AND RATE OF CHANGE - Lecture 1

LECTURE 1
DERIVATIVES, SLOPE, VELOCITY, AND RATE OF CHANGE

Κάντε κλικ εδώ: LECTURE 1

Πρώτο δεκαδικό

Μετά την πρόσθεση των παρακάτω δεκαδικών αριθμών

$1,002019 + 2,002019 + 3,002019 + 4,002019 +$ 

$+ 5,002019 + ⋯ + 100,002019$

ποιο είναι το πρώτο ψηφίο στα δεξιά της υποδιαστολής;

Exercises in Calculus by Norman Dobson

These exercises were given by the late Norman Dobson under the title "Final Exam Problems". They are excellent problems in preparation for examinations.

Calculus I NYA - Contents

Limits (ps, pdf)

Continuity (ps, pdf)

Definition of Derivative (ps, pdf)

Differentiation u(ps, pdf)

Tangents and Normals (ps, pdf)

Related Rates (ps, pdf)

Higher Derivatives (ps, pdf)

Curve Sketching (ps, pdf)

Optimization (ps, pdf)

Integration (ps, pdf)

Differential Equations (ps, pdf)

Area (ps, pdf)

Various (ps, pdf)

Calculus II NYB - Contents

Integration (ps, pdf)

Limits (ps, pdf)

Volumes of Revolution (ps, pdf)

Sequences, Geometric and Telescoping Series (ps, pdf)

Positive Term Series (ps, pdf)

Alternating Series (ps, pdf)

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Πανελλαδικές Εξετάσεις Ομογενών 2022

Δείτε τις λύσεις εδώ.

Ελάχιστη διαφορά

Δίνεται η εξίσωση δευτέρου βαθμού 

$x^2 + bx + c = 0$ 

με $b + c = 298$. 

Αν 

$(x – v) (x – u) = x^2 + bx + c$ 

όπου $u$ και $v$ είναι ακέραιες λύσεις της εξίσωσης με $u < v$. 

Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της διαφοράς $v – u$.

Ερυθρός Αστέρας

Αποδείξτε ότι το εμβαδόν του κόκκινου τμήματος του αστεριού είναι ακριβώς το μισό του εμβαδού ολόκληρου του άστρου. 

Περιοδικό Quantum