Βικιπαίδεια, η ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια: Γκέοργκ Κάντορ

Γκέοργκ Κάντορ
Γενικές πληροφορίες
Όνομα στη μητρική γλώσσα	George Cantor (Γερμανικά)
Γέννηση	3  Μαρτίου 1845 Αγία Πετρούπολη
Θάνατος	6  Ιανουαρίου 1918 Χάλλε (Ζάαλε)
Αιτία θανάτου	έμφραγμα του μυοκαρδίου
Συνθήκες θανάτου	φυσικά αίτια
Κατοικία	Ρωσική Αυτοκρατορία (1845–1856) Γερμανικό Ράιχ (1871–1918)
Χώρα πολιτογράφησης	Γερμανικό Ράιχ
Θρησκεία	Λουθηρανισμός
Εκπαίδευση και γλώσσες
Ομιλούμενες γλώσσες	Γερμανικά
Εκπαίδευση	διδάκτωρ φιλοσοφίας Υφηγεσία
Σπουδές	Πανεπιστήμιο Χούμπολτ Πανεπιστήμιο Μαρτίνου Λούθηρου του Χάλλε-Βιτεμβέργης
Πληροφορίες ασχολίας
Ιδιότητα	μαθηματικός φιλόσοφος διδάσκων πανεπιστημίου
Εργοδότης	Πανεπιστήμιο Μαρτίνου Λούθηρου του Χάλλε-Βιτεμβέργης
Οικογένεια
Σύζυγος	Vally Cantor
Αδέλφια	Constantin Cantor Sophie Nobiling
Αξιώματα και βραβεύσεις
Βραβεύσεις	βραβείο Συλβέστερ (1904)
Σχετικά πολυμέσα

Διαβάστε περισσότερα εδώ.

Εις την έκτη

Αν 

$$n^6=734.851.474.594.578.436.096$$

να βρεθεί ο ακέραιος αριθμός $n$.

Το φαινόμενο της «αργής εξέλιξης» στα Μαθηματικά

Οι σπουδαστές των Μαθηματικών γνωρίζουν το φαινόμενο της αργής εξέλιξης» ή της υποσυνείδητης αφομοίωσης: όταν για πρώτη φορά μελετάται κάτι, οι λεπτομέρειες είναι τόσες πολλές και μπερδεμένες και δεν μένει στο μυαλό μια ευκρινής αντίληψη του όλου. 

Επιστρέφοντας μετά από μια σύντομη ανάπαυση, το κάθε πράγμα φαίνεται να είναι στη σωστή Θέση με την πρέπουσα έμφαση, σαν να πρόκειται για την εμφάνιση φωτογραφικού φιλμ. 

100 κύκλοι !

Ένα τρίγωνο καλύπτεται από $25$ κύκλους ακτίνας $1$. 

Αποδείξτε ότι αυτό το τρίγωνο μπορεί να καλυφθεί από $100$ κύκλους διαμέτρου $1$.

Νικόλαος Α. Κισκύρας: ΕΡΕΥΝΑ ΕΚ ΒΑΘΕΩΝ - Απομνημονεύματα

Kάντε κλικ στην εικόνα.

Πηγή: parmenides52

Θετικές τιμές

Έστω $f(x)$ πολυώνυμο με πραγματικούς συντελεστές τέτοιο ώστε

$f(x)-2f'(x)+f''(x)>0$

για κάθε $x$.

Να αποδείξετε ότι 

$f(x)>0$ 

για κάθε $x$.

Γρήγορη πρόσθεση

Γράψτε δύο αριθμούς τον έναν κάτω από τον άλλο και στη συνέχεια γράψτε το άθροισμα αυτών των δύο αριθμών από κάτω και ούτω καθεξής, έως ότου συμπληρωθούν δέκα γραμμές. 

Στο παράδειγμα ξεκινήσαμε με το $2$ και το $3$. 

Μπορείτε να δώσετε αμέσως το άθροισμα αυτών των δέκα αριθμών; 

Η απάντηση είναι ναι μπορούμε να το βρούμε πολλαπλασιάζοντας τον έβδομο αριθμό με το $11$.

Στην περίπτωση μας το άθροισμα είναι $374$.

Μπορείτε να εξηγήστε γιατί αυτό το κόλπο λειτουργεί πάντα;

Η εξεταστέα ύλη μαθημάτων της Α΄, Β΄ και Γ΄ Γενικού Λυκείου για τις προαγωγικές και απολυτήριες εξετάσεις του σχολικού έτους 2022-2023

Γκριγκόρι Πέρελμαν: Ένας ασυμβίβαστος

 Του Ηλία Θάνου 

Ο Γκριγκόρι Γιακόβλεβιτς Πέρελμαν γεννήθηκε στις 13 Ιουνίου 1966 στο Λένινγκράντ (σημ. Αγία Πετρούπολη). Η μητέρα του σπούδασε μαθηματικά, αλλά παράτησε τις μεταπτυχιακές της σπουδές για να μεγαλώσει τον γιό της. 

Ο Πέρελμαν έλαμψε στα μαθηματικά από νωρίς και μάλιστα εγγράφηκε σε Γυμνάσιο του Λένινγκραντ το οποίο ειδικευόταν στα μαθηματικά και τη φυσική. Το 1982, κέρδισε το χρυσό μετάλλιο στη Διεθνή Μαθηματική Ολυμπιάδα.

Books on Elementary Mathematics

Olympiad etc problem sets		Training books, other problem sets
Greitzer, IMO 1959-1977, MAA 1978		Martin Aigner, Günter M Ziegler, Proofs from the Book, 2nd ed, Springer 2001, ISBN 3540678654 (magical collection of elegant proofs)
M S Klamkin, IMO 1978-1985, MAA 1986, ISBN 088386631X		Andreescu, Feng, 102 Combinatorial Problems, From the training of the USA IMO team, Birkhäuser 2003, ISBN 0817643176 Comments
Andreescu, Kedlaya, Zeitz, Mathematical Contests 1995-1996: Olympiad problems from around the world, with solutions, AMC 1997. Available only from Mathematical Association of America.		Andreescu & Gelca, Mathematical Olympiad Challenges, Birkhäuser 2000, ISBN 0817641556 (general training book) Comments
Andreescu, Kedlaya, Mathematical Contests 1996-1997: Olympiad problems from around the world, with solutions, AMC 1998. pdf 0.9Mb		Alan Baker, A concise introduction to the theory of numbers, Cambridge 1984, ISBN 0521286549 (more advanced than is needed)

Όριο παραγώγου

Έστω συνάρτηση $f:(0,\infty)\longrightarrow \mathbb R$ συνεχής και παραγωγίσιμη τέτοια ώστε 

$\displaystyle \lim_{x\to\infty} (f(x)+2f'(x))=1$. 

Να αποδειχθεί ότι 

$\displaystyle \lim_{x\to\infty}f'(x)=0$.

Αριθμός Ν

Έστω  

$N=\frac{1}{2}ab(a^4+b^4)$ 

όπου $a,b$ θετικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε

\[ a^4+b^4=1+ab(1+2+3+\ldots +(a+b)).\]

Nα βρεθεί ο αριθμός $N$.

Ο σωλήνας ξέρει

Ένας άντρας γεμίζει δύο δεξαμενές με νερό χρησιμοποιώντας δύο σωλήνες. Ο πρώτος σωλήνας παρέχει νερό με ταχύτητα $2,9$ λίτρα ανά λεπτό, ο δεύτερος με ρυθμό $8,7$ λίτρα ανά λεπτό. 

Όταν η μικρότερη δεξαμενή είναι μισογεμάτη, αλλάζει σωλήνες. Συνεχίζει να γεμίζει τις δεξαμενές και γεμίζουν και οι δύο εντελώς την ίδια στιγμή. Ποιος είναι ο όγκος της μεγαλύτερης δεξαμενής αν ο όγκος της μικρότερης δεξαμενής είναι $12,6$ λίτρα;

Περιοδικό Quantum

Λόγος $χ:ψ$

Αν το εμβαδόν της επιφανείας $Α$ είναι ίσο με το εμβαδό της επιφανείας $Β$, τότε να βρεθεί ο λόγος $χ:ψ$.

Τέλεια τετράγωνα

Βρείτε ένα πολυώνυμο δεύτερου βαθμού με ακέραιους συντελεστές

 $p(x) = ax^2 + bx + c $

έτσι ώστε τα $p(1), p(2), p(3)$ και $p(4)$ να είναι τέλεια τετράγωνα, αλλά το $p(5)$ να μην είναι.

Δίκαιη μοιρασιά

Ένας έμπορος κρασιού έχει τρεις γιους. Στην διαθήκη του, όταν πεθάνει, τους αφήνει επτά βαρέλια γεμάτα κρασί, επτά μισογεμάτα και επτά άδεια. 

Η διαθήκη απαιτεί κάθε γιος να λάβει τον ίδιο αριθμό γεμάτων, μισογεμάτων και άδειων βαρελιών. Μπορεί να γίνει αυτό;

Τέλειο τετράγωνο

Ποιος από τους παρακάτω αριθμούς είναι τέλειο τετράγωνο ?

Α) $4^45^56^6$

Β) $4^45^66^5$

Γ) $4^55^46^6$

Δ) $4^65^46^5$

Ε) $4^65^56^4$

AMC 12/AHSME 2002

Εμβαδόν εξαγώνου

Δύο εξωτερικά εφαπτόμενοι κύκλοι $ω_1$ και $ω_2$ έχουν κέντρα $Ο_1$ και $Ο_2$, αντίστοιχα. Ένας τρίτος κύκλος $Ω$ που διέρχεται από τα κέντρα $Ο_1$  και $Ο_2$ τέμνει τον κύκλο  $ω_1$ στα σημεία $B$ και $C$ και  τον $ω_2$ στα σημεία $A$ και $D$, όπως φαίνεται στο σχήμα. 

Αν $AB = 2$, $Ο_1Ο_2 = 15$, και $CD = 16$, να βρεθεί το εμβαδόν του εξαγώνου $ΑΒΟ_1CDΟ_2$ .

AIME 2022

Περιπολία στο παλάτι

Ένας βασιλιάς ζει σε ένα παλάτι στο οποίο κάθε δωμάτιο είναι ένα τρίγωνο. Πριν αποσυρθεί για τη νύχτα για ύπνο, συνηθίζει να κάνει μία επιθεώρηση, αν όλα είναι καλά. 

Υπάρχει κάποια διαδρομή που να του επιτρέπει να επισκεφτεί κάθε δωμάτιο μία και μόνο μία φορά; Μπορεί να ξεκινήσει από οπουδήποτε.

James Tanton, Math Horizons

37 παραγοντικό

Δεδομένου ότι 

$37! = 13763753091226345046315979581αβγδεζηθ0000000$

προσδιορίστε τα ψηφία $α, β, γ, δ, ε, ζ, η$ και $θ$. 

(Χωρίς τη χρήση αριθμομηχανής)

Youtube Math Channel: Osman Nal

I share math and finance video lectures in my channel. I am particularly interested in publishing material for middle and high school students advanced in math. 

Κάντε κλικ στην εικόνα.

The AMC 10/12, AIME, ARML, Mandelbrot Comp., HMMT, Rice MT, USAMO, USAJMO are wonderful math competitions for advanced students seeking challenge and excitement.

Τρία τούβλα

Έχουμε τρία πανομοιότυπα τούβλα και έναν χάρακα. Πώς μπορούμε να προσδιορίσουμε το μήκος της εσωτερικής διαγωνίου ενός τούβλου χωρίς να κάνουμε κανέναν υπολογισμό;

Ακέραιο μήκος

Υπάρχει τρίγωνο που έχει και τις τρεις πλευρές ακέραιου μήκους και τις τρεις διάμεσους ακέραιου μήκους;

Τριψήφιος Χ Διψήφιο

Παρακάτω έχουμε έναν πολλαπλασιασμό ενός 3ψήφιου και ενός διψήφιου αριθμού. Κάθε $*$ αντιπροσωπεύει έναν πρώτο ψηφίο (σημείωση: το $1$ δεν είναι πρώτος αριθμός). 

Να βρεθούν οι δύο αριθμοί.

Προφανές συμπέρασμα, δύσκολη απόδειξη !

Όταν ένας μαθητής αρχίζει στα σοβαρά να μελετά τα μαθηματικά, πιστεύει ότι ξέρει τι είναι κλάσμα, τι είναι συνέχεια και τι είναι το εμβαδόν μιας καμπυλόγραμμης επιφάνειας. Θεωρεί προφανές λογουχάρη ότι μια συνεχής συνάρτηση δε μπορεί ν' αλλάξει πρόσημο χωρίς να μηδενιστεί. 

Αν, χωρίς να τον προετοιμάσεις καθόλου, του πεις: 

«Όχι, αυτά δεν είναι καθόλου προφανές. Θα πρέπει να σου το αποδείξω». 

Κι αν η απόδειξη βασίζεται σε αρχές που δε φαίνονται σ' αυτόν πιο προφανείς από το συμπέρασμα, τότε τι θα σκεφτεί ο δύστυχος ο μαθητής; 

Θα σκεφτεί ότι η επιστήμη των μαθηματικών είναι απλούστατα μια αυθαίρετη συσσώρευση άχρηστων ακριβολογιών. Είτε θα τον αηδιάσει αυτό είτε θα το γλεντήσει σαν παιχνιδάκι και θ' αποκτήσει νοοτροπία αντίστοιχη με των αρχαίων Ελλήνων σοφιστών. 

Ανρί Πουανκαρέ

Άθροισμα πέντε

Έστω $a, b$ πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε  

       $a^3 = 3ab^2 + 11$ και 

$b^3 = 3a^2b+ 2$. 

Να αποδειχθεί ότι 

$a^2 + b^2 = 5$.

The Prime Number Theorem

This is a short film about the proof of the Prime Number Theorem.

Inequalities proposed in “Crux Mathematicorum”

Κίτρινο εμβαδόν

Πρόβλημα κυκλοφορίας ποταμού

Μια σχεδία και ένα μηχανοκίνητο σκάφος ξεκίνησαν στο ρεύμα από ένα σημείο $Α$ στην όχθη του ποταμού. 

Την ίδια στιγμή ένα δεύτερο μηχανοκίνητο σκάφος του ίδιου τύπου ξεκινά από το σημείο $Β$ για να τους συναντήσει.

Όταν το πρώτο μηχανοκίνητο σκάφος φτάσει στο Β, η σχεδία (που επιπλέει με το ρεύμα) θα είναι πιο κοντά στο σημείο $Α$ ή στο δεύτερο μηχανοκίνητο σκάφος;

Περιοδικό Quantum

Ιστορική εξίσωση

Την εξίσωση μου έστειλε ο αγαπητός συνάδελφος Κώστας Τσομπανίδης.

Υπόλοιπο διαίρεσης

Να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου

$$x^{20} + x^{15} + x^{10} + x^5 + x + 1$$

με το πολυώνυμο

$$x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$$

The greatest mathematician that never lived

Τζον Νάπιερ: Μια σκοτεινή ιδιοφυΐα

Η ζωή του

Ο Νάπιερ ήρθε στον κόσμο, στο Εδιμβούργο το 1550 και ήταν γιος του σερ Άρτσιμπαλντ Νάπιερ. Έλαβε ιδιωτική εκπαίδευση έως την ηλικία των 13 ετών, και έπειτα στάλθηκε στο κολέγιο του Σαιντ Σάλβατορ του πανεπιστημίου του Σαιντ Άντριους για να συνεχίσει την εκπαίδευση του. 

Ο Νάπιερ φοίτησε στο πανεπιστήμιο του Σεντ Άντριους αλλά και στην Ευρώπη. Δεν έμεινε για πολύ καιρό στο κολέγιο, και φαίνεται πως το εγκατέλειψε και αντ’ αυτού ταξίδεψε στην ηπειρωτική Ευρώπη ώστε να βρει κάποιο άλλο μέρος για να συνεχίσει τις σπουδές του.

Ταχύτητα τρένου

Ένας δρόμος $Β$ βρίσκεται παράλληλα με έναν σιδηρόδρομο $Α$ μέχρι να τον διασχίσει κάθετα, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Ένας άνδρας συνήθως κάνει ποδήλατο για να πάει στη δουλειά του με σταθερή ταχύτητα $12$ μίλια/ώρα και όταν 

φτάσει στη διάβαση συνήθως τον προσπερνά ένα τρένο που ταξιδεύει προς την ίδια κατεύθυνση. 

Μια μέρα καθυστέρησε $25$ λεπτά για να πάει στη δουλειά και διαπίστωσε ότι το τρένο τον πέρασε $6$ μίλια πριν από τη διάβαση. Ποια ήταν η ταχύτητα του τρένου;

Εννιά τροχοί

Έχουμε εννέα τροχούς που εφάπτονται μεταξύ τους με διαμέτρους που αυξάνονται διαδοχικά κατά $1$ cm. 

Ξεκινώντας με $1$ cm ως τον μικρότερο κύκλο και $9$ cm για τον μεγαλύτερο κύκλο, πόσες μοίρες γυρίζει ο μεγαλύτερος κύκλος όταν ο μικρότερος κύκλος περιστραφεί κατά $90°$;

Δυο άλυτα προβλήματα της αρχαιότητας

Από το άλυτο πρόβλημα της αρχαιότητας μέχρι τα σύγχρονα μαθηματικά προβλήματα η απόσταση καλύπτεται από ιδιοφυΐες οι οποίες αφιερώνουν ζωές και καριέρες για να τα λύσουν.

- Ο τετραγωνισμός του κύκλου -

Διατύπωση

Ζητείται από το πρόβλημα να κατασκευαστεί με τον κανόνα (χάρακα) και τον διαβήτη τετράγωνο που να έχει εμβαδόν ίσο με το εμβαδόν ενός δοθέντος κύκλου.

Ιστορία του προβλήματος

Ανισότητα Cauchy - Schwarz - Buniakowskί στα Ολοκληρώματα

Οι συναρτήσεις $f$ και $g$ είναι συνεχείς στο $[α, β]$. Δείξτε ότι ισχύει ανισότητα Cauchy - Schwarz - Buniakowskί

$\mid \int_α^β f(t)g(t)dt \mid \leq \sqrt{{\int_α^β f^{2}(t)d(t)}\int_α^β g^{2}(t)d(t)}$

Απόδειξη 

Για κάθε πραγματικό $χ$ ισχύει

 $\mid \int_α^β (f(t) - χg(t))^2dt \mid \geq 0$

$\Leftrightarrow χ^2\int_α^β (g^2(t)dt - 2χ \int_α^β (f(t)g(t))dt + \int_α^β (f(t)^2dt \geq 0$

Αυτό είναι δυνατό μόνο αν είναι η διακρίνουσα του τριωνύμου στο αριστερό μέλος αρνητική, δηλαδή αν και μόνο αν

$\big(\int_α^β f(t)g(t)dt\big)^2 \leq {\int_α^β f^{2}(t)d(t)}.{\int_α^β g^{2}(t)d(t)}$

το οποίο και έπρεπε να αποδειχθεί.

Από το Περιοδικό «Θεαίτητος»

Αγοραστές αυτοκινήτων

Τριάντα αγοραστές παρακολούθησαν μια δημοπρασία με δεκάδες αυτοκίνητα. Δέκα από τους αγοραστές αγόρασαν λιγότερα από $6$ αυτοκίνητα, οκτώ αγόρασαν περισσότερα από 

$7$ αυτοκίνητα, πέντε αγόρασαν περισσότερα από $8$ αυτοκίνητα και ένας αγόρασε περισσότερα από $9$ αυτοκίνητα.

Από τους $30$ αγοραστές, πόσοι αγόρασαν $6, 7, 8$ ή $9$ αυτοκίνητα;

Οκταψήφιος αριθμός

Ένας οκταψήφιος αριθμός περιέχει δύο $1$, δύο $2$, δύο $3$ και δύο $4$. 

Τα $1$ χωρίζονται με $1$ ψηφία, τα $2$ με $2$ ψηφία, τα $3$ με $3$ ψηφία και τα $4$ με $4$ ψηφία. 

Ποιος είναι ο αριθμός;

Οι πολλαπλές διαστάσεις του Παιδαγωγικού και Μαθηματικού έργου του Νικολάου Σωτηράκη

 Του Ανδρέα Πούλου 

Κόκκινο εμβαδόν

Συνάντηση στη Γέφυρα

Ο Nick έφυγε από το Nicktown στις $10:18$ π.μ. και έφτασε στο Georgetown στις $1:30$ μ.μ., περπατώντας με σταθερή ταχύτητα. Την ίδια μέρα, ο Τζορτζ έφυγε από την Τζόρτζταουν στις $9:00$ π.μ. και έφτασε στο Νίκταουν στις $11:40$ π.μ., περπατώντας με σταθερή ταχύτητα στον ίδιο δρόμο. 

Ο δρόμος διασχίζει ένα φαρδύ ποτάμι. Ο Νικ και ο Τζορτζ έφτασαν στη γέφυρα ταυτόχρονα, ο καθένας από την πλευρά του στο ποτάμι. Ο Νικ έφυγε από τη γέφυρα 1 λεπτό αργότερα από τον Τζορτζ. Πότε έφτασαν στη γέφυρα;

Περιοδικό Quantum

Γωνιακό ένα

Στο παρακάτω μαγικό τετράγωνο το άθροισμα των αριθμών οριζοντίως καθέτως και διαγωνίως είναι $15$.

Τοποθετήστε πάλι τους αριθμούς αυτούς έτσι ώστε να σχηματίσετε ένα νέο μαγικό τετράγωνο, αλλά ο αριθμός $1$ αυτή τη φορά να είναι σε κάποια γωνία.