Τα Μαθηματικά και οι άλλες επιστήμες

...Τα μαθηματικά διαφέρουν Θεμελιωδώς από τις άλλες επιστήμες κατά πάρα πολλούς τρόπους. Η φανερή διαφορά που παρατηρείται συνήθως είναι ότι στα μαθηματικά προσπαθούμε να αποδείξουμε κάτι, ενώ στις άλλες επιστήμες προσπαθούν να αναιρέσουν κάτι. 

Στα μαθηματικά προσπαθούμε να αποδείξουμε θεωρήματα· στις άλλες επιστήμες προσπαθούν να αναιρέσουν υποθέσεις. Αλλά η διαφορά είναι βαθύτερη. Εκείνο που υπαγορεύει την έρευνα στις φυσικές επιστήμες είναι ο Κόσμος· προσπαθείτε να κατανοήσετε π υπάρχει. 

Τέσσερις τιμές

Έστω οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις $f$ και $g$ στο $R$. Τα σημεία  $(−4, 1)$ και $(3, 4)$ ανήκουν στην γραφική παράσταση της $ψ = f(χ)$  και τα σημεία $(−4, 3)$ και $(3, −2)$ στην γραφική παράσταση $ψ = g(χ)$. 

Γνωρίζουμε επίσης ότι $f '(−4) = 3$, $f'(3) = −4$, $g'(−4) = −2$, και $g'(3) = 6$. 

α) Αν $h = f · g$, τότε $h'(−4) =?$ 

β) Αν $j = (2f + 3g)^4$, τότε $j'(3) =?$ 

γ) Αν $k = f ◦ g$, τότε $k'(−4) =?$ 

δ) Αν $l = \dfrac{f}{g}$, τότε $l'(3) =?$.

University of Illinois: Math Contest Problems Archive

This page has links to problems, solutions, and write-ups of math contests held at Illinois during the past twenty years. Over thirty contests, with a combined total of nearly two hundred problems, are available.

Click on the image.

584 Μαθηματικές Ομάδες και Σελίδες στο FACEBOOK

ADMINISTRATOR : KRITIKOS NIKOLAOS - MATHEMATICIAN - INFORMATION SCIENTIST . MOBILE PHONE 6944 430788. LAST UPDATE 21 JULY 2022 (2111 DAYS ) . COPYRIGHT KRITIKOS NIKOLAOS - FREESERVERS UNITED ONLINE COMPANY 2016 -2022   SERVER MATH FACEBOOK   :   http://teacher-nik.mysite.com/MathFacebook.htm .
584 ΟΜΑΔΕΣ  - ΣΕΛΙΔΕΣ  FACEBOOK ΕΛΛΗΝΙΚΕΣ ΚΑΙ ΔΙΕΘΝΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ
MATHFACEBOOK WAS FOUNDED IN LOS ANGELES U.S.A. IN OCTOBER 2016 BY MATHEMATICIAN KRITIKOS NIKOLAOS FROM ARGYROUPOLI ATHENS
ΟΜΑΔΕΣ - ΣΕΛΙΔΕΣ  FACEBOOK	WEB PAGES   FACEBOOK - CODES - URL
1. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΙΣΤΗΜΗ	https://www.facebook.com/297195427128266/
2. Math USA	https://www.facebook.com/2408593946128678/
3. Μαθηματικές Αναζητήσεις	https://www.facebook.com/1871829979787481/
4. NCTM - National Council of Teachers of Mathematics	https://www.facebook.com/TeachersofMathematics/
5. ΔΙΕΘΝΕΣ ΣΥΝΕΔΡΙΟ FCGM - 2018	https://www.facebook.com/631509357218085/
6. Fotis' Maths Class	https://www.facebook.com/Fotis.Maths/
7. Sxoleio Mathimatikwn - Σχολείο Μαθηματικών	https://www.facebook.com/sxoleiomathimatikwn21/
8. Κωνσταντίνος Καραθεοδωρή / Constantin Caratheodory	https://www.facebook.com/CaratheodoryC/
9. MATH & MATH	https://www.facebook.com/1941400139499670/
10. Τα παράδοξα της Γεωμετρίας	https://www.facebook.com/GeometryParadox/
11. Boolean Algebra	https://www.facebook.com/pg/BooleansAlgebra/
12. Mathematical logic	https://www.facebook.com/313028785536943/

Να τρέξω ή όχι ?

Ένας αθλητής διανύει τρία συνεχόμενα μίλια περπατώντας το πρώτο μίλι, τρέχοντας το δεύτερο μίλι και κάνοντας ποδήλατο το τρίτο. Τρέχει δύο φορές πιο γρήγορα από όσο περπατάει 

και  κάνει μιάμιση φορά ταχύτερα με ποδήλατο από όσο τρέχει. Χρειάζεται δέκα λεπτά περισσότερο από ό,τι θα έκανε αν έκανε τα τρία μίλια με ποδήλατο. 

Πόση ώρα χρειάζεται περπατώντας, τρέχοντας και κάνοντας ποδήλατο να διανύσει τα τρία μίλια;

Οικογένεια Μπερνούλι

Οι Μπερνούλι (Bernoulli) ήταν οικογένεια εμπόρων και επιστημόνων που καταγόταν από την Αμβέρσα και εγκαταστάθηκαν στη Βασιλεία της Ελβετίας. Το όνομα της οικογένειας γράφεται (και προφέρεται) κάποιες φορές λανθασμένα ως Bernou-ill-i. 

Μέσα σε τρεις γενεές οι Μπερνούλι γέννησαν οκτώ ταλαντούχους μαθηματικούς, που συνεισέφεραν στις βάσεις των εφαρμοσμένων μαθηματικών και της φυσικής.[1]

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: 3ωρο διαγώνισμα Συναρτήσεις - Όρια (2022)

 Της Ντίνας Ψαθά 

Πηγή: 

Ελένη Χατζηδημητρίου: Η φοιτήτρια που πέτυχε το πρώτο απόλυτο «10» και έγραψε ιστορία

Η Θεσσαλονικιά Ελένη Χατζηδημητρίου κατάφερε να πετύχει το απόλυτο 10 στη «Σχολή Θετικών Επιστημών» του Αριστοτελείου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης, το πρώτο από την ίδρυση της Σχολής το 1927. Στις 22 Ιουλίου πραγματοποιήθηκε η τελετή ορκωμοσίας του Τμήματος Μαθηματικών.

Η «Κ» την αναζήτησε για να μάθει πώς τα κατάφερε αλλά και ποια είναι τα όνειρα της. «Μου άρεσε πολύ η σχολή μου, διάβαζα, τα πήγα καλά…» λέει η 22χρονη. «Αυτή η σχολή ήταν το όνειρο μου, η πρώτη μου επιλογή. Στις Πανελλήνιες συγκέντρωσα 19.300 μόρια. Με ιντρίγκαρε πολύ το αντικείμενο».

Ορθογώνιο τρίγωνο $3-4-5$

Στο παρακάτω ισοσκελές τρίγωνο $ABC$ είναι $CD = AB$ και το $BE$ είναι ύψος του. 

Δείξτε ότι το $CEB$ είναι ένα ορθογώνιο τρίγωνο $3-4-5$.

Στη μαθηματικό Ελένη Χατζηδημητρίου, το πρώτο πτυχίο με 10 στην ιστορία της Σχολής Θετικών Επιστημών του ΑΠΘ

Στις 22-07-2022, στην τελετή ορκωμοσίας του Τμήματος Μαθηματικών, η απόφοιτος κ. Ε. Χατζηδημητρίου έλαβε βαθμό πτυχίου δέκα (10), το πρώτο 10 της Σχολής σε όλα τα χρόνια λειτουργία της.

Θερμά συγχαρητήρια και καλή σταδιοδρομία!

Στην φωτογραφία η απόφοιτος, με τον Πρύτανη του ΑΠΘ, Καθηγητή Νικόλαο Παπαϊωάννου, την Κοσμητόρισσα της ΣΘΕ, Καθηγήτρια Χαρά-Μυρτώ-Αγάπη Χαραλάμπους, και τον Πρόεδρο του Τμήματος Μαθηματικών, Καθηγητή Δημήτριο Πουλάκη.

Πάει πίσω ο προγραμματισμός

Ένας μηχανικός που εργαζόταν σε έναν αυτοκινητόδρομο λέει σε έναν συνάδελφο του:

«Την στιγμή που είπα ότι θα μπορούσα να τελειώσω αυτό το τμήμα σε μια εβδομάδα, περίμενα να πάρω άλλες δύο μπουλντόζες για τη δουλειά. Αν μου είχαν αφήσει ό,τι μηχανές είχα θα ήμουν μόνο μια μέρα πίσω από το πρόγραμμα. Όπως είναι τώρα η κατάσταση, μου έχουν αφαιρέσει όλα τα μηχανήματα εκτός από ένα, θα καθυστερήσω εβδομάδες!»

Πόσες εβδομάδες θα καθυστερήσει;

Μπλε εμβαδόν

$77777…$

Ένας ορισμένος αριθμός που αποτελείται εξ ολοκλήρου από 

$7$ άρια διαιρείται με το $199$. 

Βρείτε τα τέσσερα τελευταία ψηφία του πηλίκου, χωρίς να βρείτε ολόκληρο το πηλίκο.

Δύο φάκελοι

Ένας βασιλιάς θέλοντας να ευχαριστήσει δύο αυλικούς του, τους στέλνει με δύο κούριερ από ένα δέμα.

Ο κούριερ $Α$ δίνει στον πρώτο ένα δέμα με άπειρους φακέλους. Ο πρώτος φάκελος περιέχει $1$ δολάριο, ο δεύτερος περιέχει $2$ δολάρια, ο τρίτος περιέχει $3$ και ούτω καθεξής: Ο $n$ ο φάκελος περιέχει $n$ δολάρια.

Ο κούριερ $Β$ δίνει στον δεύτερο επίσης ένα δέμα με άπειρο αριθμό φακέλων. Ο πρώτος φάκελος περιέχει $2$ δολάρια, ο δεύτερος περιέχει $4$ δολάρια, ο τρίτος περιέχει $6$ και ούτω καθεξής: Ο $n$ ο φάκελος περιέχει $2n$ δολάρια.

Σε ποιον έδωσε περισσότερα;

999

Πόσα ζεύγη πρώτων αριθμών υπάρχουν των οποίων το άθροισμα είναι $999$;

8 + 1 συνθέσεις συναρτήσεων

1. Έστω $f(χ) = \sqrt{χ}$, $g(χ) = \dfrac{4}{5-χ}$, και $h(χ) = x^2$ .

Να βρεθεί η τιμή 

$(h ◦ ((h ◦ g ◦ f) − f))(4)=?$.

2. Έστω $f(χ) = χ + 7$, $g(χ) = \sqrt{χ+2}$, και $h(x) = χ^2$ .

Να βρεθεί η τιμή 

$(h ◦ ((f ◦ g) − (g ◦ f)))(7)=?$.

3. Έστω $f(x) = \sqrt{5 -χ}$, $g(x) = \sqrt{χ+11}$, $h(χ) = 2(χ − 1)^{−1}$ , και $j(x) = 4x − 1$.

Να βρεθεί η τιμή 

$(f ◦ (g + (h ◦ g)(h ◦ j)))(5) = ?$.

Τετράγωνο μέσα σε τετράγωνο

Έστω παραλληλόγραμμο $ABCD$.Αν $IG//AB//CD$, $FH//BC//AD$, τότε να δείξετε ότι το $KJLM$ είναι παραλληλόγραμμο.

Ειδικές περιπτώσεις:

- αν $ABCD$ είναι ορθογώνιο, τότε να δείξετε ότι το $KJLM$ είναι ρόμβος

- αν $ABCD$ είναι τετράγωνο, τότε να δείξετε ότι $KJLM$ είναι τετράγωνο,

Άπειρο γινόμενο

Να υπολογίστε το άπειρο γινόμενο

$[ημχ συν{\dfrac{χ}{2}}]^{\dfrac{1}{2}}· [ημ{\dfrac{χ}{2}}συν{\dfrac{χ}{4}}]^{\dfrac{1}{4}} · [ημ{\dfrac{χ}{4}}συν{\dfrac{χ}{8}}]^{\dfrac{1}{8}} ...$

όπου $0\leq x\leq 2π$.

Ο συντομότερος δρόμος

Θέλουμε να φτιάξουμε έναν δρόμο ανάμεσα σε δύο πόλεις, την $Α$ και τη $Β$, που τις χωρίζει ένα ποτάμι. Μπορούμε να φτιάξουμε μια γέφυρα, αλλά πρέπει να είναι κάθετη στις όχθες του ποταμού, όπως φαίνεται. 

Πού πρέπει να τοποθετήσουμε τη γέφυρα κατά μήκος του ποταμού αν θέλουμε να ελαχιστοποιήσουμε το συνολικό μήκος του δρόμου;

David Hilbert: «Mathematics is a game played according to certain simple rules with meaningless marks on paper»

Συμμετρίες για παραλληλία

Έστω σταθερό τρίγωνο $ABC$ , η διάμεσός του $AM$ και μεταβλητό σημείο, έστω $S$,της πλευράς $AC$.

Ας είναι $D$ το συμμετρικό του $S$ ως προς το $M$ και $T$ το σημείο τομής των $AM$ και $BS$.

Για ποια θέση του πάνω στην είναι ;

Πηγή: mathematica

Η Κύπρος με πέντε Εύφημες Μνείες στην 63η Διεθνή Μαθηματική Ολυμπιάδα – IMO 2022

Η Κύπρος συμμετείχε στην 63η Διεθνή Μαθηματική Ολυμπιάδα – IMO 2022 (63rd International Mathematical Olympiad), που πραγματοποιήθηκε από τις 06 μέχρι τις 16 Ιουλίου 2022 στο Όσλο στη Νορβηγία. Ο διαγωνισμός διεξήχθει στις 11 και 12 Ιουλίου 2022.

Στην 63η Διεθνή Μαθηματική Ολυμπιάδα συμμετείχαν 104 χώρες, ανάμεσα στις οποίες η Κύπρος κατέλαβε την 67η θέση σε ομαδικό επίπεδο, πολύ κοντά σε άλλες ευρωπαϊκές χώρες, όπως η Αυστρία, η Σουηδία, η Νορβηγία, η Φινλανδία και το Βέλγιο.

Κανόνας De L' Hospital ή κανόνας Bernoulli ?

A Collection of Math Olympiad Problems

The International Mathematical Olympiad (IMO)

               

Logos from the International Math Olympiad 1988, 1991-1996, 1998-2004 (I omitted 1997's logo which I find rather dull).

TeX-files with problems from 1959, 1960, 1961, 1962, 1963, 1964, 1965, 1966, 1967, 1968, 1969, 1970, 1971, 1972, 1973, 1974, 1975, 1976, 1977, 1978, 1979, 1980, 1981, 1982, 1983, 1984, 1985, 1986, 1987, 1988, 1989, 1990, 1991, 1992, 1993, 1994, 1995, 1996, 1997, 1998, 1999, 2000, 2001, 2002, 2003, 2004, 2005, 2006.

Other file formats are available at http://imo.math.ca/.

Μαθηματική Ολυμπιάδα: Με τα 5 μετάλλια στις αποσκευές τους επιστρέφουν οι μαθητές που «σάρωσαν» στο Όσλο (φωτό)

Θρίαμβος της Ελληνικής Εθνικής Αποστολής στην 63η Διεθνή Μαθηματική Ολυμπιάδα

Επιστρέφει σήμερα το βράδυ στην Αθήνα, με πτήση της SAS από το Όσλο της Νορβηγίας, η ελληνική εθνική αποστολή στην 63η Διεθνή Μαθηματική Ολυμπιάδα, φέρνοντας στις αποσκευές της πολύτιμα μετάλλια και διακρίσεις.

Ανταπόκριση από το Όσλο: Παναγιώτης Παύλος (με στοιχεία από Αχιλλέα Συνεφακόπουλο)

Τα λαμπρά μυαλά των παιδιών μας που συμμετείχαν στην αποστολή «σάρωσαν» στον παγκοσμίως κορυφαίο αυτόν διαγωνισμό της Ολυμπιάδας που έλαβε χώρα στη νορβηγική πρωτεύουσα μεταξύ 6-16 Ιουλίου, κατακτώντας 5 μετάλλια, 2 ασημένια, 3 χάλκινα, και μία εύφημο μνεία.

Δεν υπάρχει άλλος !

Ο $73939133$ είναι ο μεγαλύτερος γνωστός πρώτος αριθμός με αυτήν την περίεργη ιδιότητα: αν αφαιρέσετε ένα ή περισσότερα ψηφία από το τέλος, οι αριθμοί που προκύπτουν είναι όλοι πρώτοι.

Τι δύναμη είναι αυτή ?

Η δύναμη

$(-1)^{\sqrt{2}}$

ισούται με 

α. $1$       β. $- 1$       γ. κανένα από τα δύο

Από Σερβία ο λόγος

Δίνεται τετράγωνο $ABCD$ και ο κύκλος $(K)$ διαμέτρου $AB$. Ένα σημείο $P$ κινείται στην πλευρά $$CD$ και οι $PA,PB$ επανατέμνουν τον κύκλο στα $M,N$ αντίστοιχα.

Να δείξετε ότι οι τέμνονται 

σε σημείο του και ότι 

Πηγή: mathematica

Δύο φορές παραγωγίσιμες

Έστω $f$ και $g$ δύο φορές παραγωγίσιμες συναρτήσεις στο $[0,1]$ με 

$f(0) = g(0) = 0 = f(1) = g(1)$.

Αν 

$0 <f(χ) < g(χ)$ και $f''(χ) < 0$, για $0<χ<1$

να αποδειχθεί ότι

$\int_0^{1} [f'(χ)]^2\; dχ \leq\int_0^{1}[g'(χ)]^2\; dχ $.