Σύγκριση

Ποιο είναι μεγαλύτερο?

$\int_0^{+ \infty} \dfrac{dx}{(1+x^2)(1+x^{2015})}$

ή

$\int_0^{+ \infty} \dfrac{dx}{(1+x^2)(1+x^{2016})}$

Πέντε σπίτια

Υπάρχουν 5 σπίτια σε έναν δρόμο: σπίτι Α, Β, C, D και Ε. Η απόσταση μεταξύ οποιαδήποτε δύο γειτονικά σπίτια είναι 100 μέτρα. Στο σπίτι Α μένουν 2 παιδιά, στο σπίτι Β μένουν 3, στο σπίτι C μένουν 4, στο σπίτι D μένουν 5 και 6 παιδιά μένουν στο σπίτι Ε. 

Εάν το σχολικό λεωφορείο μπορεί να κάνει μόνο μία στάση σε αυτόν τον δρόμο, μπροστά από ποιο σπίτι πρέπει να σταματήσει ώστε το άθροισμα της απόστασης που θα περπατήσουν όλα τα παιδιά να είναι το ελάχιστο? 

Άρρητη εξίσωση - 5

Nα λυθεί η εξίσωση

$x^2 + \dfrac{1}{x} + 7(x + 1) = 8 \sqrt{2(x^2 + 1)}$

Μάθημα στο πάρκο

Μια ωραία μέρα, ο καθηγητής των Μαθηματικών αποφάσισε να πάει την τάξη του σε ένα πάρκο για ένα μάθημα Γεωμετρίας. Κάθισε την τάξη του στο σημείο $d$ από το οποίο όλοι μπορούσαν να δουν τέσσερα ωραία δέντρα που βρίσκονταν στα $a, b, c$ και $e$, τα οποία όριζαν τις κορυφές ενός τετραγώνου από γρασίδι με μήκος πλευράς $5$ μέτρα. 

α) Αν ο καθηγητής τους ζητήσει από την τάξη του να βρουν τις συντεταγμένες των σημείων $a$ και $b$, ποια είναι η απάντηση? 

β) Ποιο είναι το μέτρο της γωνίας $θ$; Στρογγυλοποιήστε την απάντησή σε τρία δεκαδικά ψηφία. 

γ) Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου που ορίζεται από τα $a, b$ και $d$.

Από δεξιά στο 0

Έστω η συνάρτηση $f : (0, +∞) → R$ με 

$$f(x)=\big(\dfrac{1^x + 2^x + · · · + 2016^x}{2016}\big)^ \dfrac{1}{x}$$  

Να υπολογιστεί το όριο 

$lim f(x)$

όταν $x→0+$.

Red area = Blue area

pic.twitter.com/EUGKNNhxUd

— Idan Tal (@MagicPi2) April 24, 2022

Putnam Training Problem [4]

Έστω η συνάρτηση 

$f(χ) = χ^3 − 3χ + 1$ 

όπου χ πραγματικός αριθμός.

Να βρεθεί το πλήθος των ριζών της εξίσωσης 

$f(f(χ)) = 0$.

Άλγεβρα Β΄ Λυκείου: Η Τράπεζα Θεμάτων ανά παράγραφο

 Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 

Εδώ το αρχείο σε word.

Πηγή: lisari

Balls in box

Στην αρχή της πρώτης ημέρας, ένα κουτί περιέχει 1 μαύρη μπάλα, 1 χρυσή μπάλα και καμία άλλη μπάλα. 

Στο τέλος κάθε ημέρας, για κάθε χρυσή μπάλα που υπάρχει στο κουτί προστίθενται 2 μαύρες μπάλες και 1 χρυσή μπάλα. 

Αυτό σημαίνει ότι στο τέλος της πρώτης ημέρας, υπάρχουν 5 μπάλες στο κουτί. 

Εάν δεν αφαιρεθεί καμία μπάλα από το κουτί, πόσες μπάλες θα υπάρχουν στο κουτί στο τέλος της έβδομης ημέρας;

Cayley Contest (Grade 10)

Μαθηματικά κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου: Η Τράπεζα Θεμάτων ανά παράγραφο

 Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 

Εδώ το αρχείο σε word.

Πηγή: lisari

Μέγιστο εμβαδόν

Ένα ορθογώνιο με μήκος $x$ cm και πλάτος $y$ cm εγγράφεται σε κύκλο με ακτίνα $8$ cm, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. 

1 Να δείξετε ότι το εμβαδόν του ορθογωνίου $Ε$, δίνεται από τον τύπο 

$Ε=χ\sqrt{256 -χ^2}$.

2 Να βρεθεί ο $x$ που θα μεγιστοποιήσει το εμβαδόν του ορθογωνίου.

Αόριστο και δύσκολο

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα

$$\int_0^1 (x+\sqrt[3]{x^3-1})^{2018}dx$$

Θέματα Διαγωνισμού Ελληνικής PISA 2022

Δημοτικά

Θέματα Γλώσσας

Απαντήσεις

Θέματα Μαθηματικών

Απαντήσεις

Γυμνάσια

Θέματα Γλώσσας

Απαντήσεις

Θέματα Μαθηματικών

Απαντήσεις

logloglog

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα

$\int_{e^{e^e}}^ \infty \dfrac{dχ}{χ(logχ)(loglogχ)(logloglogχ)^{\frac{4}{3}}}$

ΕΠΑΛ Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ: Η Τράπεζα θεμάτων της Γεωμετρίας

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Από Στάνφορντ

1. Να λυθεί η εξίσωση

$\sqrt[3]{20χ+ \sqrt[3]{20χ+13}}=13$

Stanford Math Tournament 

2. Να βρεθεί το άθροισμα των ριζών της εξίσωσης

$\dfrac{4χ^2+15χ+17}{χ^2+4χ+12}= \dfrac{5χ^2+16χ+18}{2χ^2+4χ+13}$

Stanford Math Tournament 

Λογαριθμικό σύστημα

Να λυθεί το σύστημα:

$log(sin x) + log(cos x) = −1$

$log(sin x + cos x) = −1 + \dfrac{1}{2}log y$

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Οι σημειώσεις του μαθηματικού Σπύρου Γιαννάκαρου

Πηγή: mathamagicpath

All of them !

Cube projected on cube

Top 10 Most Prestigious Prizes in Mathematics

ΕΠΑΛ Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ: Η Τράπεζα θεμάτων της Άλγεβρας

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Ρητός ή άρρητος

Είναι ο αριθμός $εφ19^0$ ρητός ?

Σύνθεση στο 4

Αν

$f'(2) = 5, g(4) = 2, g(2) = 1, f(2) = −1$ και $g'(4) = 3$

τότε να βρεθεί

$(f ◦ g)'(4)$.

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Επαναληπτικό διαγώνισμα προτεινόμενο από μαθητή - υποψήφιο για τις Πανελλαδικές εξετάσεις

 Του μαθητή Τάσου Χριστόπουλου 

 

Πηγή: askisopolis

Τα θέματα των εξετάσεων για τα Πρότυπα Γυμνάσια και Λύκεια (2022)

ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ ΔΕΞΙΟΤΗΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ 

ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ ΔΕΞΙΟΤΗΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΛΥΚΕΙΑ

Καγκουρό 2022: Τα θέματα όλων των τάξεων με τις λύσεις τους

Έξι διαδοχικοί

Το $M$ είναι ένα σύνολο έξι διαδοχικών άρτιων ακεραίων. 

Όταν αθροιστούν οι τρεις ελάχιστοι ακέραιοι του συνόλου $M$, το αποτέλεσμα είναι $x$. 

Όταν αθροιστούν οι τρεις μεγαλύτεροι ακέραιοι του συνόλου M, το αποτέλεσμα είναι $y$. 

Ποιο από τα παρακάτω ισχύει;

i) $y = x − 18$ 

ii) $y = x + 18$ 

iii) $y = 2x$ 

iv) $y = 2x + 4$ 

v) $y = 2x + 6$

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Διαγώνισμα προσομοίωσης των σχολείων 2ου Περιστερίου, 14ου Περιστερίου και 2ου Πετρούπολης

Η Ελλάδα κατέκτησε την δεύτερη θέση στην 39η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα (Κύπρος 2022)

Γραφική παράσταση συνάρτησης

Να γίνει η γραφική παράσταση της συνεχούς συνάρτησης $y = f(x)$ για την οποία ισχύουν:

$f(0) = 3, f'(0) = −1, f'(2) = 0$ 

και $f '(−2) = 2$.

Εμβαδόν ορθογωνίου

Να βρεθεί το εμβαδόν του ορθογωνίου.

Ο αριθμός 33 ως άθροισμα τριών κύβων

$33= (8.866.128.975.287.528)^3 + $

              $+(–8.778.405.442.862.239)^3 +$ 

         $+(–2.736.111.468.807.040)^3$

Υπάρχει άλλη λύση ?

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Επαναληπτικό διαγώνισμα προτεινόμενο από μαθήτρια- υποψήφια για τις Πανελλαδικές εξετάσεις

 Της μαθήτριας Σοφίας Φιλιππάτου 

 

Πηγή: askisopolis

Ένα εκατομμύριο

Πόσοι από τους πρώτους ένα εκατομμύριο θετικούς ακέραιους αριθμούς είναι ακέραιες δυνάμεις του $4$ ή του $6$;

12η Διεθνής Μαθηματική Εβδομάδα 2022

ΚΕΝΤΡΙΚΟ ΘΕΜΑ:

«Τα Μαθηματικά στη Διασυνδεδεμένη

Κοινωνία της Γνώσης»

ΤΟΠΟΣ ΔΙΕΞΑΓΩΓΗΣ

Θεσσαλονίκη -- Καστοριά — Καβάλα — Αλεξανδρούπολη

Καρδούλα ... μαθηματική

pic.twitter.com/LM9YUwbgYQ

— Idan Tal (@MagicPi2) May 4, 2022

Κουμπιά

Η Νίκη και η Ειρήνη μαζεύουν κουμπιά. Η Νίκη συλλέγει μόνο αυτά με δύο οπές και η Ειρήνη μόνο αυτά με τέσσερις οπές. 

Η Νίκη έχει $10$ περισσότερα κουμπιά από την Ειρήνη. Ο συνολικός αριθμός των οπών που βρέθηκαν σε όλα τα κουμπιά τους είναι $200$. 

Πόσα κουμπιά έχουν συνολικά;

Λάθη και παραλείψεις εν όψει Πανελλαδικών εξετάσεων

 Του Θανάση Ξένου 

 

Math lesson

Έντεκα κύκλοι

Στο παρακάτω σχήμα υπάρχουν έντεκα κύκλοι τεσσάρων διαφορετικών μεγεθών. Κάθε κύκλος με την ένδειξη $W$ έχει ακτίνα $1$, κάθε κύκλος με την ένδειξη $X$ έχει ακτίνα $2$, ο κύκλος με την ένδειξη $Y$ έχει ακτίνα $4$ και ο κύκλος με την ένδειξη $Z$ έχει ακτίνα $r$.

Καθένας από τους κύκλους με την ένδειξη $W$ ή $X$ εφάπτεται σε τρεις άλλους κύκλους. Ο κύκλος με την ένδειξη $Υ$ εφάπτεται και στους δέκα άλλους κύκλους. Ο κύκλος με την ένδειξη $Z$ εφάπτεται σε τρεις άλλους κύκλους. Να προσδιορίσετε τους θετικούς ακέραιους αριθμούς $s$ και $t$ για τους οποίους είναι $r=s/t$.

CENTRE for EDUCATION in MATHEMATICS

Euclid Contest 2021

Γενικές οδηγίες και συμβουλές για τις Πανελλαδικές εξετάσεις

 Του Μπάμπη Στεργίου 

 

3,000 Solved Problems in Calculus

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Putnam Training Problem [3]

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα

$\int_0^1 \dfrac{ln(χ+1)}{χ^2+1}dχ$

YorkU Putnam Training

Are you tired of adding C ?

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Οδηγός επανάληψης της θεωρίας για τις Πανελλαδικές εξετάσεις

 Του Θοδωρή Ανδριόπουλου 

• Ποιες αποδείξεις θεωρημάτων εξετάστηκαν στις Πανελλαδικές από το 2000 έως το 2021, πόσες φορές και ποια έτη.
• Ποιοι ορισμοί εξετάστηκαν στις Πανελλαδικές από το 2000 έως το 2021, πόσες φορές και ποια έτη.
• Ποιες ερωτήσεις του τύπου Σωστό – Λάθος ή Πολλαπλής επιλογής εξετάστηκαν στις πανελλαδικές από το 2000 έως το 2021· Όλες οι εκφωνήσεις των θεωρημάτων του σχολικού βιβλίου, κατηγοριοποιημένες με βάση την κεντρική ιδέα που εφαρμόζουμε στην απόδειξή τους.

Πηγή: thodoris-andriopoulos

The Universe of Mathematics

Κάντε κλικ στην εικόνα για να την δείτε σε μεγέθυνση.