Trigomometry Derivatives Through Geometry

Trigomometry Derivatives Through Geometry

«Μη μου τους κύκλους τάραττε»

… είπε ο Αρχιμήδης στον Ρωμαίο στρατιώτη, ο οποίος τον βρήκε στην παραλία την ώρα που μελετούσε κάποιο Γεωμετρικό πρόβλημα γράφοντας στην άμμο. Όμως ο στρατιώτης έβγαλε το σπαθί του και τον σκότωσε.

Ο Αρχιμήδης τη στιγμή που ο στρατιώτης ετοιμάζεται να τον σκοτώσει και εκείνος του απαντάει με τη φράση : «Μη μου τους κύκλους τάραττε …»

Η Ιστορία

Τη μέρα που οι Ρωμαίοι κατέλαβαν τις Συρακούσες, το 212 π.Χ μετά από πολιορκία δύο χρόνων, ο Αρχιμήδης ο οποίος ήταν απορροφημένος στην επίλυση ενός γεωμετρικού προβλήματος κάνοντας σχήματα στην άμμο (η γραφική ύλη ήταν δυσεύρετη τότε).

Ωραίο ορθογώνιο τρίγωνο

Σε ορθογώνιο τρίγωνο το ύψος τέμνει τη διάμεσο στο .

Αν να υπολογιστούν οι πλευρές του από το μήκος , .

Πηγή: mathematica

Πόσο να κάνει ?

Nα υπολογιστεί

$$\sqrt{2223^2 - 8888}$$

Θεώρημα McLaurin

Δίνεται γωνία $\angle xOy$. Στις πλευρές της $Ox, Oy$ κινούνται αντίστοιχα τα σημεία $A, B$, έτσι ώστε $k\,OA + m\,OB = a$, όπου $a$ δοθέν ευθύγραμμο τμήμα και $k, m$ μέτρα δοθέντων ευθύγραμμων τμημάτων.

Τότε ο περιγεγραμμένος κύκλος στο τρίγωνο $OAB$ διέρχεται από σταθερό σημείο $Q$.

Πηγή: mathematica

Ζυγαριές

Να βρεθεί ο Ζ.

14 Επαναληπτικά διαγωνίσματα Ιουνίου 2022 για την Α΄ και Β΄ Λυκείου

Τα πρώτα και μοναδικά διαγωνίσματα προσομοίωσης που κυκλοφορούν στο διαδίκτυο για την Α΄ και Β΄ Λυκείου με θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων με το 2ο και 4ο θέμα.

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Παράγωγος αντίστροφης

Δίνεται η συνάρτηση

$$f(χ) = χ^5 + 2χ^3 + 2χ$$

Να βρεθεί η τιμή

            $(f^{ −1})' (−5)$.

Feeding Penguins

Sabrina is playing a video game that uses a 6 by 6 grid. Her character starts in the top-left square and needs to get to the house in the bottom-right corner. All the other squares contain either fish or penguins, as shown in the following grid. Sabrina can move only right or down through the grid. 

When she gets to a square with fish, she picks up all the fish. When she gets to a square with penguins, she must feed one fish to each penguin. If Sabrina starts with 5 fish, what is the maximum possible number of fish she could have with her when she arrives at the house?

Πηγή: 

Bernhard Riemann: «If only I had the theorems! Then I should find the proofs easily enough»

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Επαναληπτικές Ασκήσεις [Ενότητες 1.1 έως 3.5]

 Του Νικολάου Κατσίπη 

Πηγή: nikolaoskatsipis

ΑΓΙΟ ΠΑΣΧΑ, Ψαλμωδίες Ιεράς Μονής Βατοπαιδίου

Χριστός Ανέστη !

Από το Κίεβο

Έστω $a,b,c>0$ και $abc\ge1.$ Να αποδειχθεί ότι 

$$a^4+b^3+c^2\ge a^3+b^2+c.$$

Kyiv Mathematical Festival 2019

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Προετοιμάζομαι για τις Πανελλαδικές - ΘΕΜΑ 15ο

Putnam Training Problem [2]

Ο αριθμός

διαιρείται με το 11 ?

Brahmagupta’s Theorem

Αν οι κορυφές ενός τετραπλεύρου βρίσκονται σε έναν κύκλο και οι διαγώνιες του είναι κάθετες, τότε η κάθετη στη μία πλευρά που διέρχεται από την τομή των διαγωνίων του τετραπλεύρου, θα διχοτομήσει και την απέναντι πλευρά.

$100a + b$

Δίνεται τρίγωνο $ABC$, με 

$AB = AC = 22$ και $BC = 11$. 

Έστω σημείο $D$ στο εσωτερικό του τριγώνου τέτοιο ώστε 

$AD = 19$ και $∠ABD + ∠ACD = 90◦$. 

Αν η τιμή του αθροίσματος $BD^2 + CD^2$ μπορεί να γραφεί στην μορφή $\dfrac{a}{b}$, όπου $a$ και $b$ είναι αριθμοί πρώτοι μεταξύ τους, τότε να υπολογιστεί το άθροισμα $100a + b$.

HMMT February 2022

Putnam Training Problem [1]

Έστω συνάρτηση $f$ τέτοια ώστε  

(i) $f$ είναι αύξουσα στο $[0, 1]$,

(ii) $f(0)$ = 0, και 

(iii) η $f $ είναι παραγωγίσιμη στο $(0, 1)$. 

Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση

$g(χ) = \dfrac{f(χ)}{χ}$ 

είναι αύξουσα στο διάστημα $(0, 1)$.

Tο δέντρο

Στο μέσο ενός ποταμού με πλάτος $12$ μέτρα υπάρχει ένα δέντρο που η κορυφή του είναι δύο μέτρα έξω από το νερό.

Αν το λυγίσουμε η κορυφή του αγγίζει την όχθη. 

Τι ύψος έχει το δέντρο;

Περίπου 10

$$\dfrac{π^{3^2}}{e^{2^3}}= 9,9998...\approx 10$$

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Διαγώνισμα σε όλη την ύλη (2022)

 Του Ιωάννη Σαλαμάνη 

2o Πανελλήνιο Διαδικτυακό Μαθητικό Μαθηματικό Φεστιβάλ (6 - 7 Απριλίου 2022)

$(1+2+....+n)^2 = 1^3 + 2^3 + ....n^3$

April 12, 2022

Ο Μαραθώνιος

Στο Μαραθώνιο όλοι εγκατέλειψαν εκτός από τρεις αθλητές. Κάποια στιγμή ο τρίτος προσπέρασε τον δεύτερο.

α) Τι σειρά έχει τώρα;

β) έχει καλύτερη θέση από τον προτελευταίο;

γ) αν στην κορδέλα φτάσουν τελικά δυο αθλητές ποιος έχει καλύτερη θέση ο δεύτερος ή ο προτελευταίος;

Οι λόγοι δίνουν λόγο

Το $D$ είναι σημείο της πλευράς $BC$ τριγώνου $$ABC$ ώστε $2BD=3DC$ και το $E$ σημείο της $$AD$ ώστε $AE=3ED$. 

Αν οι τέμνονται στο να υπολογίσετε τον λόγο

 

Πηγή: mathematica

Εγγεγραμμένα εξάγωνα

Μια διαγώνιος $ΒΔ$ χωρίζει ένα παραλληλόγραμμο $ΑΒΓΔ$ με $A = 120◦$ σε δύο ίσα τρίγωνα. Ένα κανονικό εξάγωνο είναι εγγεγραμμένο στο τρίγωνο $ΑΒΔ$ και ένα άλλο κανονικό 

εξάγωνο είναι εγγεγραμμένο στο τρίγωνο $ΒΓΔ$, όπως φαίνεται στο πιο πάνω σχήμα. Ποιο από τα εξάγωνα είναι μεγαλύτερο;

International Mathematical Tournament of the Towns 2021

Άξονας συμμετρίας

Ποια από τις παρακάτω εξισώσεις αναπαριστά τον άξονα συμμετρίας της γραφικής παράστασης της παραβολής;

α. $y = 2χ + 1$       β. $y = 2χ – 1$

  γ. $y =\dfrac{1}{2}χ – 1$         δ. $y =\dfrac{1}{2}χ + 1$

Άθροισμα εμβαδών

Ένα ορθογώνιο με μήκη πλευρών $1$ και $3$ και ένα τετράγωνο με μήκος πλευράς $1$ και ένα ορθογώνιο $R$ είναι εγγεγραμμένα μέσα σε ένα μεγαλύτερο τετράγωνο όπως φαίνεται στο σχήμα. 

Το άθροισμα όλων των πιθανών τιμών για το εμβαδόν του $R$ μπορεί να γραφεί με τη μορφή $\dfrac{m}{n}$, όπου $m$ και $n$ είναι πρώτοι μεταξύ τους θετικοί ακέραιοι αριθμοί. Να βρεθεί το άθροισμα $m + n$. 

2021 Fall AMC

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Προετοιμάζομαι για τις Πανελλαδικές - ΘΕΜΑ 13ο και 14ο

Ημερίδα του Παραρτήματος της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας Κοζάνης, την Κυριακή 10 Απριλίου 2022

Μαμά και κόρη

Η μαμά κρατά την μικρή της κόρη από το χέρι και βαδίζουν στο πάρκο. Ξεκίνησαν τη βόλτα τους πατώντας ταυτόχρονα πρώτα το δεξί τους πόδι. 

Σε κάθε δύο βήματα της μαμάς η κόρη κάνει τρία. Πότε θα πατήσουν ταυτόχρονα το αριστερό τους πόδι;

$\dfrac{a^2}{2} + \dfrac{b^2}{2}= \dfrac{c^2}{2}$

Δείτε αυτή τη δημοσίευση στο Instagram.

Η δημοσίευση κοινοποιήθηκε από το χρήστη Magic PI - Math Animations (@magic_pi2)

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Επαναληπτικό θέμα με τη λύση του (3ο)

 Του Ιωάννη Σαλαμάνη