ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ: Εισαγωγικά Προβλήματα

 Μωυσιάδης Πολυχρόνης, Ομότιμος Καθηγητής ΑΠΘ 

Famous Curves Index

• 
  Astroid
  
• Bicorn
• Cardioid
• Cartesian Oval
• Cassinian Ovals
• Catenary
• Cayley's Sextic
• Circle
• Cissoid of Diocles
• Cochleoid
• Conchoid
• Conchoid of de Sluze
• Cycloid

Για χ = - 2

Αν 

$3f\left(\dfrac{1}{x}\right)+\dfrac{2f(x)}{x}=x^2$

να βρεθεί η τιμή $f(-2)$.

The Pizza Theorem

If you’re sharing a pizza with another person, there’s no need to cut it into precisely equal slices. Make four cuts at equal angles through an arbitrary point and take alternate slices, and you’ll both get the same amount of pizza.

Larry Carter and Stan Wagon came up with this “proof without words”: Each piece in an odd-numbered sector corresponds to a congruent piece in an even-numbered sector, and vice versa.

(Larry Carter and Stan Wagon, “Proof Without Words: Fair Allocation of a Pizza,” Mathematics Magazine 67:4 [October 1994], 267-267.)

Κι όμως !

$$\sqrt{2\dfrac{2}{3}}=2\sqrt{\dfrac{2}{3}}$$

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Προετοιμάζομαι για τις Πανελλαδικές - ΑΣΚΗΣΗ 10η

Απόλυτη δεξιά - αριστερά

Έστω τα πολυώνυμα

$f(x) = ax^2 + bx + c$ και $g(x) = px^2 +qx+r$,

όπου $a, b, c, p, q$ και $r$ είναι πραγματικοί αριθμοί. Αν η εξίσωση 

$f(x) = g(|x|)$ 

έχει τέσσερις διαφορετικές πραγματικές λύσεις, πόσες λύσεις έχει η εξίσωση 

$f(|x|) = g(x)$;

WISCONSIN MATHEMATICS, SCIENCE & ENGINEERING TALENT SEARCH

Μικροί και μεγάλοι σωλήνες

Ο Θεόδωρος σχεδιάζει να χρησιμοποιήσει μικρούς και μεγάλους σωλήνες για να γεμίσει μια πισίνα. Γνωρίζει ότι χρειάζονται τέσσερις ώρες για εννέα μεγάλους σωλήνες για να γεμίσει η πισίνα. 

Γνωρίζει επίσης ότι χρειάζονται οκτώ ώρες για έξι μικρούς σωλήνες να γεμίσει η πισίνα. 

Πόσος χρόνος θα χρειαστεί για να γεμίσει η πισίνα εάν ο Θεόδωρος χρησιμοποιήσει τέσσερις μεγάλους και οκτώ μικρούς σωλήνες;

The Kobon Triangle Problem

Τρεις ευθείες μπορούν να σχηματίσουν ένα τρίγωνο. Τέσσερις ευθείες μπορούν να σχηματίσουν δύο, και πέντε ευθείες μπορούν να σχηματίσουν πέντε τρίγωνα. 

Αλλά, γενικά, κανείς δεν μπορεί να πει πόσα μη επικαλυπτόμενα τρίγωνα μπορούν να σχηματιστούν από μια διάταξη $k$ ευθειών — το πρόβλημα παραμένει άλυτο.

Vittas' Theorem, proof by Grigoris Altimisis

The 7 Hardest Math Problems In The World (Unsolved): PROBLEM 7 - The Large Cardinal Project

Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία: ΘΕΜΑΤΑ και ΛΥΣΕΙΣ των ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ ΕΠΙΛΟΓΗΣ για ΙΜΟ, ΒΜΟ, EGMO, MYMC (2005 - 2021)

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ	ΘΕΜΑΤΑ	ΛΥΣΕΙΣ
Β' ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ 2021	DOWNLOAD	DOWNLOAD
Α' ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ 2021	DOWNLOAD	DOWNLOAD
Β' ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ 2020	DOWNLOAD	DOWNLOAD
Α' ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ 2020	DOWNLOAD	DOWNLOAD
Α' ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ 2019	DOWNLOAD	DOWNLOAD
Β' ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ 2019	DOWNLOAD	DOWNLOAD
Γ' ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ 2019	DOWNLOAD	DOWNLOAD

1o Διαδικτυακό Μαθηματικό Μαθηματικό Φεστιβάλ (1η και 2η ημέρα)

GAKOPOULOS’ LEMMAS

Τιμή του α

Στο παρακάτω σχήμα οι συντεταγμένες του τριγώνου $ABC$ είναι 

$A = (−1, 1), B = (1, 1)$ και $C = (1, 0)$. 

Η ευθεία $LM$ που διέρχεται από την αρχή των αξόνων έχει κλίση $m$ και διαιρεί το εμβαδόν του τριγώνου $ABC$ σε δύο ισοδύναμα μέρη. 

Αν το $m$ είναι λύση της εξίσωσης 

$x^2 − x − α = 0$ 

να βρεθεί η τιμή $α$.

Forty-seventh Annual Columbus State Invitational Mathematics Tournament 2021

Δεν υπάρχει άλλη

$15312283^2+9262^3=113^7$

Αυτή είναι η μοναδική λύση της εξίσωσης 

$α^2 + β^3 = γ^7$ 

στο σύνολο των θετικών ακεραίων. 

$13, 40, 45$

Το τετράγωνο δύο οποιονδήποτε από αυτούς τους αριθμούς, μείον το τετράγωνο του τρίτου αριθμούς είναι τέλειο τετράγωνο:

$(13 + 40)^2 – 45^2 = 28^2$

$(13 + 45)^2 – 40^2 = 42^2$

$(40 + 45)^2 – 13^2 = 84^2$

Edward Barbeau’s Power Play, 1997

International Olympiad of Metropolises all 2016 - 21 with solutions (pdf)

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Προετοιμάζομαι για τις Πανελλαδικές - ΑΣΚΗΣΗ 9η

12th International Week Dedicated to Maths 2022

Κάντε κλικ στην εικόνα.

$Α + Β$

Έστω η συνάρτηση

$f(x) = \dfrac{x^ 2}{1 + x^2}$.

Αν

$Α = f(1) + f(2) + f(3) + · · · + f(2022) $

$Β = f(1) + f(\dfrac{1}{2}) + f(\dfrac{1}{3}) + · · · + f(\dfrac{1}{2022})$

να υπολογιστεί το άθροισμα $Α + Β$.

Η Γεωμετρία στη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση

ΦΙΛΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ 

ΑΡΣΑΚΕΙΑ – ΤΟΣΙΤΣΕΙΑ ΣΧΟΛΕΙΑ 

29/11/2022 Ημερίδα για την Ευκλείδεια Γεωμετρία

Διαφορετικά στριφογυρίσματα

Δύο κύκλοι έχουν ακτίνα 1 cm ο καθένας. Οι κύκλοι εφάπτονται μεταξύ τους και το κοινό τους σημείο επαφής κάθε κύκλος σημειώνεται με μια κουκκίδα. 

Οι κύκλοι αρχίζουν να γυρίζουν ταυτόχρονα, ο αριστερός κύκλος γυρίζει αριστερόστροφα με σταθερό ρυθμό 2 στροφών ανά λεπτό και ο δεξιός κύκλος γυρίζει δεξιόστροφα με σταθερό ρυθμό 6 στροφών ανά λεπτό. Οι κύκλοι γυρίζουν για μία ώρα. 

Προσδιορίστε πόσες φορές κατά τη διάρκεια αυτής της ώρας η απόσταση μεταξύ των δύο κουκκίδων είναι ακριβώς 4 cm.

2012 Canadian Mathematics Contest

Πέντε ποτήρια

Υπάρχουν 5 άδεια ποτήρια σε ένα τραπέζι. Το ένα είναι στραμμένο προς τα κάτω και τα άλλα είναι στραμμένα προς τα πάνω. Αν γυρίσετε ένα ποτήρι, το αλλάζετε από στραμμένο προς τα επάνω προς τα κάτω ή από στραμμένο προς τα κάτω σε επάνω. 

Σε μια στροφή, πρέπει να γυρίσετε ακριβώς τρία διαφορετικά ποτήρια. Τα ποτήρια που αναποδογυρίζονται δεν χρειάζεται να είναι δίπλα. Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός στροφών για να κάνετε όλα τα ποτήρια να είναι στραμμένα προς τα επάνω.

Συνάρτηση «επί»

Η συνάρτηση 

$𝑓: 𝐴 ⟶ {−1, 0, 1, 2, 3, … , 10}$ με $𝑓(𝑥) = 𝑥^2 − 2𝑥$ 

είναι «επί» και δεν είναι αντιστρέψιμη.

Να βρείτε το πλήθος των πιθανών πεδίων ορισμού $𝐴$ της $f$.

ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ 2021 

Τα Μαθηματικά την Εποχή της Τουρκοκρατίας

Το Σπουδαστήριο Θεωρητικών Μαθηματικών του Τμήματος Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Κρήτης πραγματοποιεί, υπό την αιγίδα της Επιτροπής «Ελλάδα 2021» και με την ευγενική χορηγία δράσης της εταιρείας «Παγκρήτια Τράπεζα» παρουσίαση στο διαδίκτυο, που αφορά την καταγραφή και συγκέντρωση της Ιστορίας των Μαθηματικών την εποχή της Τουρκοκρατίας.

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Η παρουσίαση περιλαμβάνει τη συλλογή, και τον συστηματικό σχολιασμό υλικού που αφορά τα Μαθηματικά που παρήχθησαν από Έλληνες Λόγιους κατά τα χρόνια της Τουρκοκρατίας και απευθύνεται τόσο σε διανοούμενους ή ερευνητές που επιθυμούν βαθύτερη γνώση της Ιστορίας των Μαθηματικών την εποχή της Τουρκοκρατίας, όσο και στο ευρύ κοινό που επιθυμεί να καταρτιστεί σε θέματα τα οποία δεν έχουν τύχει της δέουσας προσοχής, με ιδιαίτερη στόχευση σε δασκάλους, καθηγητές και μαθητές.

Τρίγωνο Pascal

Calculate integrals online — with steps and graphing!

 

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Θεώρημα Thomsen

Σχεδιάστε ένα τρίγωνο, επιλέξτε ένα σημείο σε μία πλευρά και σχεδιάστε μια διαδρομή όπως φαίνεται στο σχήμα, με κάθε τμήμα να είναι παράλληλο σε μια πλευρά του τριγώνου. 

Το μονοπάτι θα κλείσει επιστρέφοντας στη αφετηρία σας.

Ανακαλύφθηκε από τον Γερμανό μαθηματικό Γκέρχαρντ Τόμσεν

Βρύση στον αέρα !

Μπορείτε να εξηγήσετε πως συμβαίνει αυτό;

Μπορείτε να εξηγήσετε πώς το σχήμα αυτό αποδεικνύει το ΘΜΤ ;

Πηγή: FB Βασίλης Μάρκος

A' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για EGMO+BMO+IMO 2022

Πρόβλημα 1: 

Να βρείτε όλα τα ζευγάρια πραγματικών αριθμών για τα οποία


Πρόβλημα 2: 

Δίνονται θετικοί ακέραιοι αριθμοί για τους οποίους ισχύει ότι

(α) Να αποδείξετε ότι η διαφορά είναι τέλειο τετράγωνο κάποιου θετικού ακεραίου.
(β) Να βρείτε ένα ζευγάρι θετικών ακεραίων για τους οποίους ισχύει η παραπάνω σχέση.

Μία περίεργη κατασκευή ισοσκελούς τριγώνου

Να κατασκευαστεί ισοσκελές τρίγωνο με αν δίνονται η κορυφή του η ευθεία  τυχόν

σημείο στην προέκταση της πλευράς προς το μέρος του και τυχόν κύκλος χορδής με το κέντρο του προς το μέρος της που δεν κείνται το

Πηγή: mathematica (Κώστας Βήττας)

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Ωραίο Επαναληπτικό Θέμα στο 2ο Κεφάλαιο

 Του Ιωάννη Σαλαμάνη 

2022

Να λυθεί η εξίσωση

$x-2021-\dfrac{x-2020}{2}+\dfrac{x-2019}{3}-\dfrac{x-2018}{4}+$
$+\dfrac{x-2017}{5}-\dots + \dfrac{x-3}{2019}-\dfrac{x-2}{2020}+\dfrac{x-1}{2021}-\dfrac{x}{2022}=0$

KöMaL Magazine - Proposed by L. Sáfár, Ráckeve

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: 34η Προτεινόμενη Άσκηση από το perikentro.blogspot

Στο τέλος 4

Ο αριθμός 

$$612^2=374544$$

τελειώνει σε δύο ψηφία $4$. Ποιος είναι ο μέγιστος αριθμός ψηφίων $4$ που μπορεί να τελειώνει ένα τέλειο τετράγωνο?

Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία: ΘΕΜΑΤΑ και ΛΥΣΕΙΣ των ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ ΕΠΙΛΟΓΗΣ για JBMO (2010 - 2021)

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ	ΘΕΜΑΤΑ	ΛΥΣΕΙΣ
Β' ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ 2021	DOWNLOAD	DOWNLOAD
Α' ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ 2021	DOWNLOAD	DOWNLOAD
Β' ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ 2020	DOWNLOAD	DOWNLOAD
Α' ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ 2020	DOWNLOAD	DOWNLOAD
Α' ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ 2019	DOWNLOAD	DOWNLOAD
Β' ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ 2019	DOWNLOAD	DOWNLOAD
Γ' ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ 2019	DOWNLOAD	DOWNLOAD
Δ' ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ 2019	DOWNLOAD	DOWNLOAD