Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Διαγώνισμα μέχρι και τον Ρυθμό Μεταβολής [2021 - 2022]

 Του Ιωάννη Σαλαμάνη 

Ανάπτυγμα δωδεκαέδρου. Το πρόβλημα του Ντύρερ

Μπορεί κάθε κυρτό πολύεδρο να «ξεδιπλωθεί» σε σχήμα που να μην επικαλύπτεται, όπως αυτό το δωδεκάεδρο; Παραδόξως, κανείς δεν ξέρει.

Ο καλλιτέχνης της Αναγέννησης Άλμπρεχτ Ντύρερ αναρωτήθηκε για πρώτη φορά για αυτό στις αρχές του 1500 και στους πέντε επόμενους αιώνες κανείς δεν βρήκε ένα πολύεδρο που να μην το επιτρέπει. Μπορεί όμως να υπάρχει ακόμα ένα.

The 7 Hardest Math Problems In The World (Unsolved): PROBLEM 6 - Unknotting Problem

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Ασκήσεις σχολικού βιβλίου ως πηγή επαναληπτικών θεμάτων

Φαίνεται δύσκολο. Είναι ?

Nα υπολογιστεί το ολοκλήρωμα

$$\int_{4π\sqrt2}^{-4π\sqrt2} \big(\dfrac{ημχ}{1+χ^4}+1\big)dx$$

Τριγωνικό παζλ

Problem of the Week: Ducks in a Row (CEMC University of Waterloo)

Μαθηματικά αστέρια

$(4 + 9 + 1 + 3)^3 = 4913$

$(1 + 9 + 6 + 8 + 3)^3 = 19683$

Μισή ορθή

Σε τετράγωνο και στις πλευρές του θεωρούμε σημεία , έτσι ώστε

 .

Να δείξετε ότι 

.

Πηγή: mathematica

Το λάθος

Ο καθηγητής των μαθηματικών μπαίνει σε ένα τμήμα της Α'  Λυκείου και γράφει στον πίνακα:
Αν και

  

θα αποδείξουμε ότι

Στη συνέχεια από τη δοσμένη σχέση αναπτύσσοντας την ταυτότητα βρίσκει

      

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: 2ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ από το study4exams [2021 - 2022]

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Η εκπόνηση του διαγωνίσματος έγινε με τη βοήθεια Εθελοντών Εκπαιδευτικών: 

Το θέμα Δ επιμελήθηκε ο Συγκελάκης Αλέξανδρος, Μαθηματικός του Πρότυπου Γενικού Λυκείου Ηρακλείου. 

Ο επιστημονικός έλεγχος πραγματοποιήθηκε από τους Κωνσταντόπουλο Κωνσταντίνο, Μοτσάκο Βασίλειο και Σούγελα Ελένη.

Δείτε τις λύσεις εδώ.

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Προετοιμάζομαι για τις Πανελλαδικές - ΑΣΚΗΣΗ 8η

 Του Αβραάμ Τσακμακίδη  (3ο Λύκειο Γιαννιτσών) 

Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση

$f(χ) =\begin{cases}χ^2 +\dfrac{β}{2}χ+α & χ\geq0\\\dfrac{e^χ - 1}{χ} & χ < 0\end{cases}$

1) Να αποδείξετε ότι $α = β =1$.

2) Να βρείτε την $f' (χ)$ και να εξετάσετε αν είναι συνεχής.

3) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης $(ε)$ της $C_f$ στο σημείο $(0,f(0))$ και να δείξετε ότι η $(ε)$ δεν ξανατέμνει την $C_f$.

4) Ένα σημείο $Μ(χ, ψ)$ κινείται κατά μήκος της καμπύλης $ψ = f(χ)$, $χ\geq0$. Την χρονική στιγμή $t_0$ κατά την οποία το σημείο $Μ$ διέρχεται από το σημείο $Α(2,6)$ ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης του σημείου $Μ$ είναι $1cm/sec$. Να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής της γωνίας $θ$ που σχηματίζει η $ΟΜ$ με τον $χ' χ$ την χρονική στιγμή $t_0$, όπου $Ο(0,0)$. 

5) Υπολογίστε τα όρια 

α) $\displaystyle\lim_{x \rightarrow -\infty}[f(x)ln(-χ)]$

β) $\displaystyle\lim_{x \rightarrow +\infty}[f(x)e^{-χ}]$.

Για να εκτυπώσετε την άσκηση κάντε κλικ εδώ.

Αριθμός 100

Χρησιμοποιώντας όλα τα ψηφία $1,2,3,...,9$ από μία φορά μόνο και κατά σειρά καθώς και όποια πράξη $+, -, :, ×$ θέλετε, να σχηματίσετε τον αριθμό $100$.

Μερικά παραδείγματα:

$1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + (8 × 9) = 100$

$(1 × 2) - 3 - 4 - 5 + (6 × 7) + (8 × 9) = 100$

$123 - 4 - 5 - 6 - 7 + 8 - 9 = 100$

$123 - 45 - 67 + 89 = 100$

Έντεκα τρόποι

Μπορείτε να γράψετε τον αριθμό $100$ με τη μορφή μικτού αριθμού, χρησιμοποιώντας και τα εννέα ψηφία μία και μόνο μία φορά; Ο αείμνηστος διακεκριμένος Γάλλος μαθηματικός, Εντουάρ Λυκά, βρήκε επτά διαφορετικούς τρόπους για να το κάνει και εξέφρασε τις αμφιβολίες του για τυχόν άλλους τρόπους. Στην πραγματικότητα, υπάρχουν μόνο έντεκα τρόποι και όχι περισσότεροι. Εδώ είναι ένας από αυτούς, 

$91\dfrac{5742}{638}$

Εννέα από τους άλλους τρόπους έχουν στο ακέραιο μέρος πάλι δύο διαφορετικούς ακέραιους αριθμούς αριθμού, αλλά η ενδέκατη μορφή έχει μόνο ένα μόνο ακέραιο εκεί. Μπορείτε να βρείτε τις άλλες $10$ αυτές  μορφές;

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: 1ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ από το study4exams [2021 - 2022]

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Η εκπόνηση του διαγωνίσματος έγινε με τη βοήθεια Εθελοντών Εκπαιδευτικών: 

Τα θέματα επιμελήθηκε ο Βαβουρανάκης Μιχάλης, Μαθηματικός –MSc του 2ου ΓΕΛ Ηρακλείου Κρήτης. 

Ο επιστημονικός έλεγχος πραγματοποιήθηκε από τους Κωνσταντόπουλο Κωνσταντίνο και Μοτσάκο Βασίλειο.

Δείτε τις λύσεις εδώ.

Περίμετρος τριγώνου

Στο παρακάτω σχήμα, ένα μεγάλο τρίγωνο χωρίζεται σε μικρότερα τρίγωνα.Ο αριθμός μέσα σε κάθε μικρό τρίγωνο δείχνει την περίμετρό του. 

Ποια είναι η περίμετρος του μεγάλου τριγώνου; 

Α) 30       Β) 31       Γ) 34      Δ) 39      Ε) 41

Κangourou sans Frontières (KSF) 2021

How to Draw a Cube 3D Trick art on Graph paper

Μη γραμμικό 4x4

Nα λυθεί το σύστημα:

$\begin{align*} a+b&=-3\\ ab+bc+ca&= -4\\ abc+bcd+cda+dab&=14\\ abcd&=30 \end{align*}$

AIME 2021

Εφ του πέντε

Έστω $f$ μια συνεχής συνάρτηση τέτοια ώστε 

$f(x+y) = f(x)f(y)$ 

για όλους τους πραγματικούς $x, y$. 

Αν $f(2) = 5$, να βρείτε την τιμή $f(5)$.

Proof of L' Hopital's Rule (pdf)

Μια περίεργη έκφραση για το ημίτονο μιας μοίρας

$$ημ1^0=\dfrac{\sqrt[90]{\sqrt{-1}}-\sqrt[90]{-\sqrt{-1}}}{2\sqrt{-1}}$$

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: 100+1 Επαναληπτικές ασκήσεις

 Στέλιος Μιχαήλογλου - Δημήτρης Πατσιμάς 
 Βαγγέλης Ραμαντάνης - Ευάγγελος Τόλης 

Το Πυθαγόρειο θεώρημα και ο χρυσός αριθμός φ

Περιοδικό Ευκλείδης: 50 επαναληπτικές ασκήσεις για την A΄ Γυμνασίου

Ένα δύο τρία

Ο Αρχιμήδης ανακάλυψε ότι: 

Ο όγκος ενός κώνου, μιας σφαίρας και ενός κυλίνδρου ίδιου ύψους και ακτίνας είναι σε αναλογία $1:2:3$.

Ο όγκος ενός κώνου συν ο όγκος μιας σφαίρας ισούται με τον όγκο ενός κυλίνδρου.

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Ασκήσεις επανάληψης από την αρχή έως την σταθερή συνάρτηση

 Του Δημήτριου Ουντζούδη 

 

Δευτέρου βαθμού πολυώνυμο

Το δευτέρου βαθμού πολυώνυμο $𝑓(𝑥)$ έχει ρίζα το $2$. 

Αν τo πολυώνυμο 

$g(𝑥) = 𝑓(𝑓(𝑥))$ 

έχει μοναδική πραγματική ρίζα τo $5$, να βρείτε το $𝑓(𝑥)$.

ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ 2021

The 7 Hardest Math Problems In The World (Unsolved): PROBLEM 5 - Kissing Number Problem

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Η χρησιμότητα των υπαρξιακών θεωρημάτων στη μελέτη των συναρτήσεων

Διαφορετικές λύσεις

Το σχήμα δείχνει το γράφημα μιας συνάρτησης 𝑓 : [−5,5] ⟶ 𝑅.

Πόσες διαφορετικές λύσεις έχει η εξίσωση 𝑓(𝑓(𝑥)) = 0;

Διαγωνισμός Καγκουρό 2021, επίπεδο 11 - 12

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Προετοιμάζομαι για τις Πανελλαδικές - ΑΣΚΗΣΗ 7η

 Του Αβραάμ Τσακμακίδη  (3ο Λύκειο Γιαννιτσών) 

Έστω συνεχής συνάρτηση $f: R\rightarrow R$, τέτοια ώστε

• $f^2(x) = x^2 + x + 1$, $x \in R$
• $\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0}\dfrac{1+f(x)}{x}=-\dfrac{1}{2}$

και

$g(x) = κ(x-1)^3 +λ(x-3)^5$, με $κ, λ\in R$.

i) Να δείξετε ότι γραφική παράσταση της $f$ δεν έχει κοινά σημεία με τον άξονα $χ'χ$.

ii) Να δείξετε ότι

$f(x) = -\sqrt{x^2 +x+1}$, $x \in R$.

iii) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της $C_f$ που διέρχεται από την αρχή των αξόνων.

iv) Αν επιπλέον

$\displaystyle\lim_{x \rightarrow +\infty}[λx + κ + f(x)]=\dfrac{3}{2}$

α) Nα δείξετε ότι

$κ = 2$ και $λ = 1$.

β) Να δείξετε ότι η $C_g$ τέμνει τον $χ'χ$ σε ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη $χ_0\in(1,3)$.

γ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της $C_g$ στο σημείο $Α(3,g(3))$.

δ) Nα δείξετε ότι

$(g\circ f)'(0)=-652$.

Τρεις ρίζες

Αν $ρ_1 , ρ_2$ και $ρ_3$ είναι οι ρίζες της εξίσωσης

$χ^3 - 2χ^2 + 4χ + 10 = 0$

να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης

$(ρ_1+2)(ρ_2+2)(ρ_3+2)$.

Τετράγωνο μέσα σε τετράγωνο

Να βρεθεί η γωνία $χ$.

Υπάρχει ένα

Έστω παραγωγίσιμη συνάρτηση $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$. Να αποδείξετε ότι υπάρχει $x \in [0, 1]$, τέτοιο ώστε

$\dfrac{4}{\pi} ( f(1) - f(0) ) = (1+x^2) f'(x)$.

VJIMC 2015

Mathematics Magazine: New articles and links

Sacred Geometry and the DNA

Solving the Basic Trig Inequalities

Scalar Waves

Interesting 91 by Indranil Majumder

Number 12 and the Duodecimal System By Liliana Usvat

SOLVIN TRIG INEQUALITIES-Showcase Exercises-1

Biograpphy of Nghi H Nguyen 2021

Solving Trig Inequalities - Exercises Part 1

Εννιά εις την ενάτη εις την ενάτη

Αυτός είναι ο μεγαλύτερος αριθμός που μπορεί να κάνει κανείς χρησιμοποιώντας 3 ψηφία - έχει περίπου 369693100 ψηφία. 

Αν υποθέσουμε ότι μπορεί να υπάρχουν 50 ψηφία ανά γραμμή και 40 γραμμές ανά σελίδα, για να γράψουμε τον αριθμό θα χρειαζόμασταν 185 βιβλία, το καθένα από τα οποία περιέχει 1000 σελίδες!

Μια μέθοδος για να σχεδιάσετε άπειρους εφαπτόμενους κύκλους

Η εξέλιξη του συμβόλου του κενού συνόλου

0 - George Boole (1847) 𝑂 - Georg Cantor (1880) { } - Gottlob Frege (1882) Λ - Giuseppe Peano (1889) ∅ - Andre Weil (1939)

Συνεχής και παραγωγίσιμη

Έστω συνάρτηση $f: \mathbb{R} \to (0, \infty)$ συνεχής και παραγωγίσιμη. Να αποδείξετε ότι υπάρχει  $\xi \in (0,1)$, τέτοιο ώστε 

$e^{f'(\xi)} \cdot f(0)^{f(\xi)} = f(1)^{f(\xi)}$.

VJIMC 2016

2022

Το έτος $2022$ που υποδεχτήκαμε έχει την ιδιότητα ότι μπορεί να γραφτεί χρησιμοποιώντας το πολύ δύο διαφορετικά ψηφία, δηλαδή το $2$ και το $0$. 

Πόσα τέτοια έτη υπάρχουν μεταξύ $1$ και $9999$;