Math Kangaroo Competition Levels 7 - 8, Problems with Solutions (playlist)

Διάλογοι στα Μαθηματικά: Μιχάλης Κολουντζάκης (Πανεπιστήμιο Κρήτης) - Γιάννης Κοντογιάννης (Cambridge)

The Droz - Farny line theorem

Mathematical Problems - Problem Solving - Mathematical Competitions

Math Problems Directory MAA American Mathematics Competitions

Problems, Puzzles, and Games < Mathematics in the Yahoo! Directory

Math contest problem links Wild About Math!

The 3x+1 problem and its generalizations by Jeff Lagarias

21st Century Problem Solving Solutions to solving word problems across the curriculum. (SureMath - hawaii.edu)

Abiator's Active Classroom: Maths Problem Solving Index

Geometry problems proposed by George Apostolopoulos - Problem 8

A Tilted Conical Water Glass

An inverted right circular cone of radius $1$ and height $h$ is filled with water. As the cone tilts (and water pours out), the surface 

of the water is in the shape of an ellipse (until the cone is empty). Find the maximum surface area of the water as a function of $h$.

Πηγή: missouristate.edu

Τι σημαίνει το $2^x$, όταν το $x$ δεν είναι ακέραιος;

Γνωρίζουμε ότι το $2^4$ σημαίνει

$2×2×2×2=16$.

Τι σημαίνει όμως το $2^π$;
Πώς μπορούμε να το υπολογίσουμε;

Problem A1, Putnam 1993

The horizontal line $y = c$ intersects the curve $y = 2x−3x^3$ in the first quadrant as in the figure. Find, with proof, c so that the areas of the two shaded regions are equal.

Πυθαγόρειο θεώρημα - Απόδειξη 190η

 Επιμέλεια:  Κώστας Δόρτσιος - Σωκράτης Ρωμανίδης 

Kάντε κλικ στο σχήμα.

Pythagorean theorem - Proof 190

$f(10)=?$

Let $f$ be a monic cubic polynomial satisfying $f(x) + f(−x) = 0$, for all real numbers $x$. 

For all real numbers $y$, define $g(y)$ to be the number of distinct real solutions $x$ to the equation $f(f(x)) = y$. 

Suppose that the set of possible values of $g(y)$ over all real numbers $y$ is exactly $\big\{1,5,9\big\}$. 

Compute the sum of all possible values of $f(10)$.

HMMT Spring 2021

Διαγωνίσματα τετραμήνου Άλγεβρας Β΄ Λυκείου από την Ιωνίδειο Σχολή Πειραιά

Του Αντώνη Περιβολάκη, από το Πρότυπο ΓΕΛ της Ιωνιδείου Σχολής Πειραιά.

ΟΜΑΔΑ Α

   

ΟΜΑΔΑ Β 

$AE \perp CG$

Οι πλευρές δύο τετραγώνων (όχι απαραίτητα ίσων) τέμνονται σε οκτώ σημεία: A, B, C, D, E, F, G και H. 

Αυτά τα οκτώ σημεία σχηματίζουν ένα οκτάγωνο, όπως φαίνεται στο πιο πάνω σχήμα. Να αποδειχθεί ότι  οι διαγώνιοι AE και CG είναι κάθετες.

25 horses and 5 lanes

There are 25 horses and 5 lanes. You have no idea about which horse is better than other.

Find in minimum possible races, the first three fastest running horses.

Microsoft Interview Puzzle

The Hamiltonian path

Place the numbers from 1 to 49 on the grid below such that all consecutive numbers are either horizontal or vertical neighbours. In other words, 1 is horizontally or vertically adjacent to 2, which is horizontally or vertically adjacent to 3, and so on up to 49.

The shaded squares are the prime numbers: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 and 47.

Πηγή: theguardian

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Προετοιμάζομαι για τις Πανελλαδικές - ΑΣΚΗΣΗ 4η

  Του Αβραάμ Τσακμακίδη (3ο Λύκειο Γιαννιτσών) 

Δίνονται οι συναρτήσεις

$f(x) = \dfrac{(α-2)χ^2 + (β-2)χ +2}{χ - 2}$

και

$g(x) = \sqrt{25x^2 +x + 5} - (x - 2)f (x)$ 

με 

$\displaystyle\lim_{x \rightarrow + \infty } f(x)=5$.

I) Να δείξετε ότι $α= 2$, $β = 7$ και $f(χ) =\dfrac{5χ+2}{χ - 2}$.

II) Να υπολογίσετε τα όρια:

$\displaystyle\lim_{x \rightarrow + \infty } g(x)$ και $\displaystyle\lim_{x \rightarrow - \infty } g(x)$.

III) Να βρείτε το όριο 

$\displaystyle\lim_{x \rightarrow + \infty}(\dfrac{α^{χ+1}+7β^{χ - 1}}{α^χ - β^χ})^{2022}$.

IV) Να βρείτε το όριο 

$\displaystyle\lim_{x \rightarrow + \infty }(g(x) + 5x + 2)ημ\frac{5}{χ}$.

V) Να γράψετε τον τύπο της συνάρτησης $f(χ)$ στην μορφή $f(χ)=γ + \dfrac{δ}{χ - 2}$ και στη συνέχεια να σχεδιάσετε την γραφική παράσταση της $f$ καθώς και της $h(χ) = | f(χ)|$ στο ίδιο σύστημα αξόνων.

Geometry problems proposed by George Apostolopoulos - Problem 7

Χρωματισμένα εμβαδά (I)

Σε κάθε μία από τις παρακάτω περιπτώσεις να βρεθούν τα εμβαδά των χρωματισμένων επιφανειών.

\

Bézout's identity

IMO 2021: The opening and closing ceremony

In a forest

In a forest there are n different trees (considered as points), no three of which lie on the same line. John takes photographs of the forest such that all trees are visible (and no two trees are behind each other). 

What is the largest number of orders of in which the trees that can appear on the photos?

Proposed by Gábor Mészáros

Δεν μπορεί

Να αποδειχθεί ότι το ύψος ενός περιγεγραμμένου τραπεζίου δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερο από τον γεωμετρικό μέσο των βάσεων. 

L. Németh, Fonyód

What is the value of $α$?

In the accompaning figure the coordinates of the triangle $ABC$ are $A = (−1, 1)$, $B = (1, 1)$ and $C = (1, 0)$. 

We denote the slope $m$ of the line $LM$ which passes through the origin of the axis, the point $O$, and divides the area of the triangle $ABC$ in half. The equation that m satisfies is the quadratic $x^2 − x − α = 0$. What is the value of $α$?

Forty-seventh Annual Columbus State Invitational Mathematics Tournament

Κάντε κλικ εδώ, για να δείτε τη λύση που μου έστειλε ο κ. Κώστας Δόρτσιος.

Ημιγνωστό κέντρο

Τα είναι αντιδιαμετρικά σημεία του κύκλου:

  . 

Ένας άλλος κύκλος διέρχεται από τα σημεία και το . 

Βρείτε την τετμημένη του κέντρου αυτού του κύκλου.

Πηγή: mathematica

ΓΡΙΦΟΣ: Αποφύγετε τα τρίγωνα

Ποιο είναι το μέγιστο πλήθος διαγώνιων που μπορούμε να φέρουμε σε ένα κυρτό επτάγωνο, έτσι ώστε να μην σχηματιστεί από τις διαγώνιους κανένα τρίγωνο με κορυφές που είναι και κορυφές του επταγώνου; 

Περιοδικό Quantum

9 blocks

There are $9$ blocks. Three are labelled with the number $7$ and the others are labelled from $1$ to $6$. A boy builds the formation below by placing the blocks one at a time while reading the number on each block as it is placed.

How many different sequences of $9$ integers could have been read?

General Test 2005 Rice Math Tournament

Geometry problems proposed by George Apostolopoulos - Problem 5

Παραγοντοποίηση

Να παραγοντοποιηθεί η παράσταση:

$$4x^2-2xy-4x+3y-3$$

Problem of the Week - Just Sum Numbers

Kaori writes a sequence with the property that after the first two terms in the sequence, each term is equal to one more than the term before it, minus the term before that. In other words, $t_n = 1 + t_{n−1} − t_{n−2}$, for $n ≥ 3$, where $tn$ denotes the n th term in the sequence. 

The first term in Kaori’s sequence is x and the second term is $y$, where $x$ and $y$ are real numbers. That is, $t_1 = x$ and $t_2 = y$. Determine the sum of the first $2021$ terms in her sequence, as an expression in terms of $x$ and $y$.

Πηγή: 

Άλγεβρα Α΄Γενικού Λυκείου: Ψηφιακό βιβλίο για τα θέματα της Τράπεζας θεμάτων (ΚΕΦΑΛΑΙΑ 2ο και 3ο) ΤΕΥΧΟΣ Α΄

2.1 Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους 

2.2 Διάταξη Πραγματικών Αριθμών 

2.3 Απόλυτη Τιμή Πραγματικών Αριθμών 

2.4 Ρίζες Πραγματικών Αριθμών

Πηγή: iokaragi

ΓΡΙΦΟΣ: Ορθή προσέγγιση

Το ευθύγραμμο τμήμα $ΜΝ$ είναι η προβολή επί την υποτείνουσα $ΑΒ$ του εγγεγραμμένου κύκλου στο ορθογώνιο τρίγωνο $ΑΒΟ$. 

Αποδείξτε ότι η γωνία $ΜΟΝ$ ισούται με $45^0$.

Περιοδικό Quantum

Κάντε κλικ εδώ, για να δείτε τη λύση που μου έστειλε ο κ. Κώστας Δόρτσιος.

Μαθηματικά Β΄ Γυμνασίου: Διαγώνισμα στις εξισώσεις

Πηγή: papageorgiouxristoforos

Easy as 1, 2, 3

Κάντε κλικ εδώ, για να δείτε τη λύση που μου έστειλε ο κ. Κώστας Δόρτσιος.

Το αλφαβητάρι των Σ - Λ για τη Γ Λυκείου σε ένα μοναδικό αρχείο

 Του Νίκου Μακρή 

Πηγή: lisari

Tough Value

What is the value of the following expression?

Πηγή: 

Κάντε κλικ εδώ, για να δείτε τη λύση που μου έστειλε ο κ. Κώστας Δόρτσιος.

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Διαγώνισμα στα όρια με τις λύσεις του

Ένα ισοσκελές τρίγωνο

Έστω με κέντρα τις κορυφές αντίστοιχα παραλληλογράμμου που διέρχονται από το και ας είναι τα σημεία τομής (εκτός του ) τυχούσας ευθείας που διέρχεται από το με τους εν λόγω κύκλους. 

Να δειχθεί ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές.

Πηγή: mathematica