Άλγεβρα Α΄ Λυκείου: Φύλλο εργασίας στις απόλυτες τιμές

 Του Χριστόφορου Παπαγεωργίου 

Πυθαγόρειο θεώρημα - Απόδειξη 189η

  Επιμέλεια:  Κώστας Δόρτσιος - Σωκράτης Ρωμανίδης 

Kάντε κλικ στο σχήμα.

Pythagorean theorem - Proof 189

A Circle Bitangent to a Parabola

A circle of radius $1$ is tangent to the curve $y = x^2$ at two points as shown in the figure below. Find the coordinates of the center of the circle.

Solution

Μέγιστη τιμή

Το άθροισμα δύο πραγματικών αριθμών είναι $n$ και το άθροισμα των τετραγώνων τους είναι $n + 2021$, όπου $n$ θετικός ακέραιος αριθμός. 

Αντιδιαμετρικά

Στα σημεία $A,B$ ενός κύκλου (O,R)  φέρνουμε τα εφαπτόμενα τμήματα $AC,BD$ και έστω $M$ το μέσο του $AC$.

Αν η είναι εφαπτομένη του κύκλου και να δείξετε ότι τα σημεία είναι αντιδιαμετρικά.

Πηγή: mathematica

Άθροισμα $S$

Έστω $S$ το άθροισμα όλων των θετικών πραγματικών αριθμών $x$ για τους οποίους ισχύει 

$$ x^{2^{\sqrt2}} = \sqrt2^{2^x}$$

Ποια από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθής;

$\textbf {(A)} S <\sqrt2 \qquad$

$\textbf {(B)} S = \sqrt2\qquad$

$\textbf {(Γ)} \sqrt2 <S <2 \qquad$

$\textbf {(Δ)} 2 \le S <6 \qquad$

$\textbf {(E)} S\ge 6$

AMC 12/AHSME 2021

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Προετοιμάζομαι για τις Πανελλαδικές - ΑΣΚΗΣΗ 2η

  Του Αβραάμ Τσακμακίδη (3ο Λύκειο Γιαννιτσών) 

Δίνονται οι συναρτήσεις 

$f(x) = \dfrac{2x-3}{x^2 - 3x +2}$, $g(x) = \dfrac{Α}{x - 1}$ και $h(x) = \dfrac{Β}{x - 2}$

I) Αν $f = g + h$, να βρείτε τους αριθμούς  $Α$ και $Β$. 

Για $Α = 1$ και $Β = 1$

II) Να ορίσετε την συνάρτηση $φ = \dfrac{h}{g}$.

III) Να δείξετε ότι η συνάρτηση $φ$ είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε την αντίστροφη της $φ^{-1}$. 

IV) Να βρείτε, αν ορίζεται, την $φ^{-1}\circ h$.

V) Να βρείτε την σχετική θέση της γραφικής παράστασης της $φ^{-1}\circ h$ με τον άξονα $x' x$.

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Ένα απαιτητικό διαγώνισμα στο 1ο Κεφάλαιο

 Του Θανάση Κοπάδη 

   

Πηγή: thanasiskopadis

Geometry problems proposed by George Apostolopoulos - Problem 3

Άθροισμα 1000

Μπορούμε να σχηματίσουμε τον αριθμό $1000$ χρησιμοποιώντας μόνο $16$ τεσσάρια και από σύμβολα πράξεων μόνο αυτό της πρόσθεσης ?

Real time

Μέσα από ένα καθρέπτη βλέπετε ένα αναλογικό ρολόι που δείχνει 2:30. 

Ποια είναι η πραγματική ώρα;

Can you find ?

$𝑓(\dfrac{π}{12})+ 𝑔(\dfrac{π}{12}) =?$

Έστω $𝑓$ και $𝑔$ δύο συναρτήσεις τέτοιες, ώστε

$f'(𝑥) = 𝑓^{2}(𝑥) + 𝑔^{2}(𝑥)$  

και

$g'(𝑥) = 2𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) + 1$.

Αν 

$𝑓(0) =\dfrac{1}{5}$ και $𝑔(0) = \dfrac{4}{5}$, 

να βρεθεί η τιμή του αθροίσματος

$𝑓(\dfrac{π}{12})+ 𝑔(\dfrac{π}{12})$.

A. 0      B. $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$      Γ. $\sqrt3$      Δ. 1      E. καμία

Μπορείτε να το απλοποιήσετε ;

Nα απλοποιηθεί το κλάσμα

$\dfrac{(Α^2 - 3^2 - Β^2) - 4(3Β)^2}{(Α^2 - Β^2 - 6Α + 9)(Α^2 + 3Α + 3Β - Β^2)}$

Mu Alpha Theta: 2021 National Convention Tests

Αρνητικές ρίζες

Πόσες αρνητικές ρίζες έχει η εξίσωση

$$3x^5 + 2x^4 - 7x^2 + 4x + 3 = 0$$

A. 0       B. 1       Γ. 2      Δ. 3      E. καμία

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Ένα πολύ ωραίο 3ωρο Διαγώνισμα στις Συναρτήσεις (2021)

 Του Ιωάννη Σαλαμάνη, 3ο Λύκειο Γιαννιτσών 

 

ΓΡΙΦΟΣ: Πρόβλημα ποτίσματος

Ένας κηπουρός γεμίζει με νερό δύο δοχεία χρησιμοποιώντας δύο λάστιχα. Η παροχή του νερού από το πρώτο λάστιχο είναι 2,9 λίτρα ανά λεπτό ενώ από το δεύτερο 8,7 λίτρα ανά λεπτό.

 

Όταν το νερό φτάσει στη μέση του μικρότερου δοχείου, ο κηπουρός εναλλάσσει τα λάστιχα. 

Συνεχίζει να βάζει νερό στα δοχεία, οπότε αυτά γεμίζουν τελείως την ίδια στιγμή. Ποιος είναι ο όγκος του μεγαλύτερου δοχείου αν ο όγκος του μικρότερου είναι 12,6 λίτρα;

Περιοδικό Quantum

Geometry problems proposed by George Apostolopoulos - Problem 2

IMO 2020: The opening ceremony

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Προετοιμάζομαι για τις Πανελλαδικές - ΑΣΚΗΣΗ 1η

  Του Αβραάμ Τσακμακίδη (3ο Λύκειο Γιαννιτσών) 

Δίνεται η συνάρτηση $f: \Re \rightarrow \Re$ τέτοια, ώστε

$f(2x - 1) = - 2x + 4(1 - e^{2x})$

α) Να δείξετε ότι

$f(x) = 3 - x - 4e^{x+1}$

β) Να βρείτε τη μονοτονία της $f$ , τις ρίζες της και το πρόσημο της.

γ) Να λύσετε την εξίσωση

$(3 - x)e^{ - x -1}=4$

δ) Να λύσετε την ανίσωση

$2x - x^2 + 4e^{ 2x -x^2 +1}> 3 - 2x + 4e^{ 4 - 2x} $

ε) Να δείξετε ότι

$(x^2 + 4) + 4e^{ x^2 +5} \geq  4x + 4e^{4x + 1} $

Οδηγίες διδασκαλίας Μαθηματικών Α΄, Β΄, Γ΄ Γενικού Λυκείου

Δείτε τις οδηγίες διδασκαλίας στα Μαθηματικά όλων των τάξεων των Ημερησίων και Εσπερινών Γενικών Λυκείων , όπως δόθηκαν από το Υ.ΠΑΙ.Θ. μετά από εισήγηση του Ι.Ε.Π.

Α΄ΓΕΛ ΑΛΓΕΒΡΑ

Α¨ΓΕΛ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Β΄ΓΕΛ ΑΛΓΕΒΡΑΣ

Β΄ΓΕΛ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β΄ΓΕΛ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ (ΑΝΘΡΩΠΙΣΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ΄ΓΕΛ

Γενικές οδηγίες κάλυψης διδακτικών κενών (έως 4 εβδομάδες)

ΟΔΗΓΟΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΓΕ.Λ.(ΕΝΙΑΙΟ ΑΡΧΕΙΟ)

ΓΡΙΦΟΣ: Οικονομία στις διευθύνσεις

Υπάρχει μια πολυκατοικία με τέσσερα διαμερίσματα σε κάθε όροφο, τα οποία είναι αριθμημένα διαδοχικά. Οι ένοικοι ενός ορόφου αποφάσισαν να βάλουν νέους αριθμούς στις πόρτες τους. 

Για να γίνει αυτό χρειάστηκαν επτά ψηφία, τα οποία παράγγειλαν σε μια εταιρεία που χρέωνε το ψηφίο $n$ με $n$ δολάρια (για παράδειγμα, το ψηφίο 0 ήταν δωρεάν). 

Οι ένοικοι συγκέντρωσαν $3$ δολάρια από κάθε διαμέρισμα του ορόφου, και το ποσό που συγκεντρώθηκε κάλυψε ακριβώς το κόστος των νέων ψηφίων. Ποια ψηφία παρήγγειλαν;

Περιοδικό Quantum

Τα θέματα των Πανελλαδικών εξετάσεων περιόδου 1983 - 2021 χωρισμένα σε διδακτικές ενότητες μαζί με της λύσεις τους

  

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Πηγή: askisopolis