Tο πληκτρολόγιο

Γιατί τα πλήκτρα των γραμμάτων στα κινητά και στο πληκτρολόγιο του Η/Υ δεν είναι στην σειρά και είναι μπερδεμένα;

Αξιοσημείωτα θεωρήματα: Bolzano - Rolle - Μέσης Τιμής

Περιοδικό Ευκλείδης Β΄ τ. 119

Έτσι κι αλλιώς το ίδιο

Συναρτησιακή τιμή

Έστω συνάρτηση $f$ τέτοια ώστε 

$f(x +y)$ =  $f(x)f(y)$ και $f(1) =2$. 

Να βρεθεί η τιμή της παράστασης:

$\dfrac{f(2)}{f(1)}) + \dfrac{f(3)}{f(2)}) + ..... + \dfrac{f(2021)}{f(2020)})$.

A) 0      B) 1/2      Γ) 2      Δ) 2020      E) καμία 

Κangourou sans Frontières (KSF) 2021

Άλφα εις την τρίτη

Αν

$a=\dfrac{251}{ \dfrac{1}{\sqrt[3]{252}-5\sqrt[3]{2}}-10\sqrt[3]{63}}+\dfrac{1}{\dfrac{251}{\sqrt[3]{252}+5\sqrt[3]{2}}+10\sqrt[3]{63}}$

να βρεθεί ο αριθμός $α^3$.

Irish Math Olympiad 2016

The 7 Hardest Math Problems In The World (Unsolved): PROBLEM 4 - Riemann Hypothesis

Μπλε ή κόκκινο ?

Μια κορυφή ενός τετραγώνου είναι τοποθετημένη στο κέντρο ενός ίσου τετραγώνου και η επικαλυπτόμενη περιοχή είναι μπλε. 

Στη συνέχεια, το ένα από τα τετράγωνα περιστρέφεται γύρω από την κορυφή και η επικάλυψη που προκύπτει είναι κόκκινη. 

Ποια επιφάνεια είναι μεγαλύτερη η κόκκινη ή η μπλε;

Μαθηματικά Μοντέλα των Επιδημιών για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση

 Των Χρήστου Κυριαζή - Ελευθέριου Πρωτοπαπά 

Καλά και ευλογημένα Χριστούγεννα με υγεία σε όλους τους αγαπητούς φίλους και φίλες !

Διασυνδέσεις χρωματιστές

Συνδέστε κάθε τετράγωνο με το αντίστοιχο τρίγωνο του με μια γραμμή. Οι γραμμές πρέπει να παραμένουν εντός του ορθογωνίου και δεν επιτρέπεται να τέμνει η μία την άλλη.

Αν δεν βρείτε την απάντηση, κάντε κλικ στην εικόνα.

Υποτείνουσα μηδέν

Μέγιστη τιμή

Έστω συνάρτηση $f$ για την οποία ισχύει 

$f''(x) = f^2 (x) − f^5(x)$. 

Αν $f'(0) = 7$ και $f(0) = 2$, να βρεθεί η μέγιστη τιμή της

$|f' (x)|$.

Στο άπειρο

Να βρεθεί το όριο

$$\displaystyle\lim_{x \rightarrow +\infty}(log_2^2{x} - \sqrt x)$$

Μέτρο γωνίας

Στον παρακάτω κύκλο τα δεκαπέντε σημεία $Α_1, Α_2, Α_3,..., Α_{15}$ ισαπέχουν. 

Nα βρεθεί η γωνία $A_1A_3A_7$;

Cayley Contest 2021

10.000 κύκλοι

Ένας τρόπος για να σχηματίσουμε ένα τετράγωνο 100x100 με 10.000 κύκλους, ο καθένας διαμέτρου 1, είναι να τους βάλουμε σε 100 σειρές με 100 κύκλους σε κάθε σειρά. 

Εάν οι κύκλοι επανατοποθετηθούν έτσι ώστε τα κέντρα οποιωνδήποτε τριών εφαπτομένων κύκλων να σχηματίζουν ένα ισόπλευρο τρίγωνο, ποιος είναι ο μέγιστος αριθμός πρόσθετων κύκλων που μπορούν να τοποθετηθούν;

Caley Math Contest 2021

Τιμή συνάρτησης

Έστω συνάρτηση $f$ για την οποία ισχύει 

$f ′ (x) = f^2(x)$ και $f(0) = 1$. 

Να βρεθεί η τιμή 

$f(2/3)$.

Ισεμβαδικά μέρη

Στο παρακάτω σχήμα το τρίγωνο $ΜΑΝ$ είναι εγγεγραμμένο στο τετράγωνο $ΑΒCD$. 

Αν η γωνία $ΜΑΝ$ είναι $45^0$, να αποδειχθεί ότι η διαγώνιος $BD$ χωρίζει το τρίγωνο σε δύο μέρη με ίσα εμβαδά. 

Κίτρινα εμβαδά

Ποια από τις δύο κίτρινες επιφάνειες είναι μεγαλύτερη, ο κεντρικός δίσκος ή ο εξωτερικός δακτύλιος; Οι δακτύλιοι ισαπέχουν μεταξύ τους.

Σωστό ?

$(\dfrac{27}{8})^{\dfrac{9}{4}}=(\dfrac{9}{4})^{\dfrac{27}{8}}$

Πότε είναι αληθής ?

Υπό ποιες συνθήκες ισχύει η ισότητα

$\sqrt{α^2+β^2}= α+β$

όπου $α, β$ είναι πραγματικοί αριθμοί;

α) Ποτέ δεν είναι αληθής.

β) Είναι αληθής αν και μόνο αν $αβ = 0$.

γ) Είναι αληθής αν και μόνο αν $α +β \geq0$.

δ) Είναι αληθής αν και μόνο αν $αβ = 0$ και $α +β \geq0$.

ε) Είναι πάντα αληθής.

The 7 Hardest Math Problems In The World (Unsolved): PROBLEM 3 - Twin Prime Conjecture

The Twin Prime Conjecture is one of the most famous unsolved problems in math:

It is one of the many number theory problems, involving prime numbers. When two primes have a difference of two, they are called twin primes.

MIT Video lectures: Definition of Derivative - Graphing a Derivative Function

12 διαφορετικές λύσεις

Να βρεθεί η τιμή του α ώστε η εξίσωση να έχει 12 διαφορετικές λύσεις

$\left||20|x|-x^2|-α\right|=21$.

ΑΙΜΕ 2021

Απλοποίηση ... εκθετών !

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Προετοιμάζομαι για τις Πανελλαδικές - ΑΣΚΗΣΗ 6η

 Του Αβραάμ Τσακμακίδη  (3ο Λύκειο Γιαννιτσών) 
Έστω $f, g$ παραγωγίσιμες συναρτήσεις στο $x_0=2$, με 

$f(2) = g(2) + 8$

και  ισχύει 

$f(x)< g(x) + x^3$, $\forall x\neq2$ . 

i) Να δείξετε ότι 

$f'(2) = g' (2) +12$.

ii) Aν επιπλέον 

$g(x) =\begin{cases}x^2 & x \leq 2\\αx+ β & x > 2\end{cases}$  

α) Να βρείτε τα $α, β$.

β) Να βρεθούν  $g' (2)$ και $f'(2)$.

γ) Να υπολογίσετε το 

$\displaystyle\lim_{h \rightarrow 0}\dfrac{f(2+3h) - f(2- h)}{h}$.

δ) Να δείξετε ότι

$\displaystyle\lim_{h \rightarrow 0}\dfrac{f^2(2 - 5h) - f^2(2)}{h}= - 1920$.

ε) Να δείξετε ότι

$\displaystyle\lim_{x \rightarrow + \infty }x[g(\dfrac{2x+1}{x}) - g(2)]=4$.

Νερωμένο κρασί

Γεμίστε ένα ποτήρι με κρασί και ένα άλλο με νερό. Μεταφέρετε ένα κουταλάκι του γλυκού κρασί από το πρώτο ποτήρι στο δεύτερο.

Στη συνέχεια, μεταφέρετε ένα κουταλάκι του γλυκού από αυτό το μείγμα πίσω στο πρώτο ποτήρι. Τώρα, υπάρχει περισσότερο κρασί στο νερό ή νερό στο κρασί;

Από το 2 στο 4

Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα

$α,β=?$

Αν το πολυώνυμο $x^2 - x - 1$ είναι παράγοντας του 

$αx^{17} + βx^{16} + 1$

τότε να βρεθούν οι ακέραιοι αριθμοί $α$ και $β$.

AIME Problems 1988

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Επαναληπτικά θέματα από το περιοδικό «Ευκλείδης Β΄»

Ανισότητα Τζίντζιφα

Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ, να αποδείξετε ότι 

$ \dfrac{κα^4}{λ+μ}+ \dfrac{λβ^4}{μ+κ}+ \dfrac{μγ^4}{κ+λ}\geq8Ε^2$.

Με τη βοήθεια της ανισότητας Τζίντζιφα, να αποδείξετε ότι 

i) $ α^4 + β^4 +γ^4\geq16Ε^2$

ii) $3 α^4 + β^4 +γ^4\geq24Ε^2$

iii) $ 2α^4 + 5β^4 +10γ^4\geq80Ε^2$

iv) $\dfrac{α^4}{γ}+ \dfrac{β^4}{α} + \dfrac{γ^4}{β}\geq\dfrac{(α^2+β^2+γ^2)^2}{α+β+γ}$

v) $\dfrac{α^5}{β+γ}+ \dfrac{β^5}{γ+α} + \dfrac{γ^5}{α+β}\geq8Ε^2$

vi) $\dfrac{α^3}{γ(γ+α)}+ \dfrac{β^3}{α(α+β)} + \dfrac{γ^3}{β(β+γ)}\geq\dfrac{2Ε}{R}$

vii) $\dfrac{α^4}{β^8(γ^4+α^4)}+ \dfrac{β^4}{γ^8(α^4+β^4)} + \dfrac{γ^4}{α^8(β^4+γ^4))}\geq\dfrac{1}{2R^2}$

Από το βιβλίο «Ισότητες και Ανισότητες στο Τρίγωνο», του Δ. Γ. Κοντογιάννη.

Μπάλα ποδοσφαίρου

Μια μπάλα είναι φτιαγμένη από λευκά κανονικά εξάγωνα και μαύρα κανονικά πεντάγωνα, όπως φαίνεται στην εικόνα.

Υπάρχουν 12 πεντάγωνα συνολικά. Πόσα εξάγωνα υπάρχουν; 

A. 12    B. 15    Γ. 18    Δ. 20    E. 24

Grey Kangaroo March 2021

A nice chord problem from Bangladesh Mathematical Olympiad 2021

Τιμή κλάσματος

Αν 

$x=1^2+3^2+5^2+⋯+2017^2$ 

και 

$y=2^2+4^2+6^2+⋯+2018^2$

τότε να υπολογισθεί η τιμή του κλάσματος 

$ \dfrac{y−x}{y+x−(1⋅2+2⋅3+3⋅4+⋯+2017⋅2018)}$.

KöMaL Problems in Mathematics

100 Ασκήσεις ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ

 Του Μπάμπη Στεργίου 

Πηγή: FB Ρομαντικοί της Γεωμετρίας

The 7 Hardest Math Problems In The World (Unsolved): PROBLEM 2 - Goldbach’s Conjecture

Goldbach’s Conjecture remains one of the hardest math problems to date:

Εξαψήφιος αριθμός

Ο εξαψήφιος αριθμός $2PQRST$ πολλαπλασιάζεται με $3$ και το αποτέλεσμα είναι ο εξαψήφιος αριθμός $PQRST2$. Ποιο είναι το άθροισμα των ψηφίων του αρχικού αριθμού;

A. $24$    B. $27$    Γ. $30$    Δ. $33$    E. $36$

Grey Kangaroo March 2021

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Διαγώνισμα προσομοίωσης χειμερινής περιόδου 2021-2022

Συμμετέχουν τα σχολεία: 2ο Περιστερίου - 14ο Περιστερίου - 2ο Πετρούπολης.

 

Πηγή: askisopolis

How To Calculate Cube Roots In Your Head

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Επαναληπτικό Διαγώνισμα στο 1ο Κεφάλαιο (2021)

 Του Ιωάννη Σαλαμάνη 

AIME 2021, Problem 14

Έστω οξυγώνιο τρίγωνο $ABC$, $O$ το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου και $G$ το βαρύκεντρο του. Έστω $Χ$ είναι το σημείο τομής της εφαπτομένης του κύκλου στο σημείο Α και της κάθετης της $GO$ στο σημείο $G$ και $Y$ το σημείο τομής της $XG$ και $BC$. 

Δίνεται ότι τα μέτρα των γωνιών $ABC$, $BCA$ και $XOY$ έχουν λόγο $13:2:17$. Αν το μέτρο της γωνίας $BAC$, γράφεται σε λόγο $m/n$ , όπου m και n αριθμοί πρώτοι μεταξύ τους, τότε να βρεθεί το άθροισμα $m + n$.

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Προετοιμάζομαι για τις Πανελλαδικές - ΑΣΚΗΣΗ 5η

 Του Αβραάμ Τσακμακίδη  (3ο Λύκειο Γιαννιτσών) 
Έστω συνάρτηση $f: R\rightarrow R$ συνεχής και γνησίως μονότονη, με $f(R) = R$, η οποία διέρχεται από το σημείο $Α(1,2)$ και 

$\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3}\dfrac{(x-3)f(x) - συν(x-3) +1}{\sqrt{x +1} - 2}=16$.

Έστω επίσης συνάρτηση $g: R\rightarrow R$ συνεχής, με $g(0) = -2$ και 

$g^2(x) - 2x^2g(x) = 4 - x^4$, $x \in R$.

i) Να δείξετε ότι $f(3) = 4$ και ότι η $f$ είναι γνησίως αύξουσα και αντιστρέψιμη.

ii) Να δείξετε ότι $g(x) = x^2 - 2$, $x \in R$.

iii) Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της $f$ τέμνει την γραφική παράσταση της $g$ σε ένα τουλάχιστον σημείο. 

iv) Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό $x_0\in(1,3)$ τέτοιο ώστε 

$6f(x_0) = f(1) + 2f(2) + 3f(3)$.

v) Να λύσετε την εξίσωση 

$f(e^{x-3} + \dfrac{1}{3}x^3 - 7 ) = f^{-1}(4) + f^{-1}(2)$. 

Άντε βγάλε άκρη

Πόσα λεπτά είναι πριν τις 12 το μεσημέρι, αν πριν από 48 λεπτά ήταν δύο φορές περισσότερα λεπτά μετά τις 9 π.μ.;

The 7 Hardest Math Problems In The World (Unsolved): PROBLEM 1 - The Collatz Conjecture

While in September 2019, Terence Tao made some breakthroughs on this problem, however it still remains unsolved.

Ενδιαφέρον γεωμετρικό πρόβλημα

Τετράγωνο και δύο κύκλοι. Να βρεθεί το εμβαδόν του τετραγώνου.

Geometry problems proposed by George Apostolopoulos - Problem 10

Μελλοντική τιμή

Αν για τη συνάρτηση $f$ ισχύει 

$f(a(f(b)) = ab$

όπου a, b τυχαίοι πραγματικοί αριθμοί, τότε να βρεθεί η τιμή του 

$|f(2022) |$

ΓΡΙΦΟΣ: Απονομή βραβείων

Σε μια μαθηματική Ολυμπιάδα, 100 μαθητές κλήθηκαν να λύσουν τέσσερα προβλήματα. 

Το πρώτο πρόβλημα απαντήθηκε από 90 ακριβώς μαθητές, το δεύτερο από 80, το τρίτο από 70 και το τέταρτο από 60. 

Ουδείς διαγωνιζόμενος απάντησε και στα τέσσερα προβλήματα. 

Οι μαθητές που έλυσαν το τρίτο και το τέταρτο πρόβλημα κέρδισαν ένα βραβείο. 

Πόσοι ήταν οι μαθητές που βραβεύθηκαν;

Περιοδικό Quantum

Μαθηματικά Α΄ Γυμνασίου: Τετράδιο Επανάληψης

 Επιμέλεια:   Γιάννης Δαμιανός 

Πηγή: lisari

$a + t = ?$

Let $P(x) = x^2 − ax + 8$ with a a positive integer, and suppose that $P$ has two distinct real roots $r$ and $s$. 

Points $(r, 0)$, $(0, s)$, and $(t, t)$ for some positive integer $t$ are selected on the coordinate plane to form a triangle with an area of $2021$. 

Determine the minimum possible value of $a + t$.

Stanford Math Tournament 2021

Ζικ Ζακ

The diameter of a semicircular arc is $A_0A_1=1$. A point $A_2$ is selected on the arc, such that $∠A_0A_1A_2=1^0$. Then a point $A_3$ is selected on the arc $A_1A_2$, such that $∠A1A2A3=2^0$. 

The procedure is continued: point $A_{k+1}$ is selected on the arc $A_{k−1}A_k$, so that the measure of angle $A_{k−1}A_kA_{k+1}$ is $k$ degrees ($k=3,4,…,9$). What will be the length of the line segment $A_9A_{10}$? (The figure is not to scale.)

KöMaL Problems in Mathematics, November 2021

Κόκκινη επιφάνεια

Δύο ισόπλευρα τρίγωνα και ένας κύκλος. Το εμβαδόν του κύκλου είναι 3π. 

Να βρεθεί το εμβαδόν της κόκκινης επιφάνειας.

Δακτύλιος

Έχουμε έναν αριθμό από ίσες πλαστικές πλάκες κάθε μία μορφής κανονικού πενταγώνου. Τα κολλάμε μεταξύ τους κατά μήκος  μιας πλευράς τους προκειμένου να σχηματίσουν ένα πλήρη δακτύλιο, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. 

Από πόσες από αυτές τις πλάκες αποτελείται ο δακτύλιος; 

(Α) 8     (Β) 9     (Γ) 10     (Δ) 12     (Ε) 15

Καγκουρό 2013 (Τάξη 11 και άνω), Αυστρία

ΒΙΒΛΙΟ: Μαθη ...μαγικά για διαγωνισμούς

 Του Θανάση Δρούγα 

Μαθηματικά για διαγωνισμούς: Συνδυαστική απαρίθμηση, συνδυαστική γεωμετρία, παίγνια, αναλλοίωτες, προβλήματα χρωματισμών.

Τάξεις: Γ Γυμνασίου,  Α Λυκείου.

Geometry problems proposed by George Apostolopoulos - Problem 9

Indian National Mathematical Olympiad (INMO)

The Indian National Mathematical Olympiad (INMO) is a maths competition held in India. The INMO is the HBCSE IMO’s third stage. The Indian National Olympiad is a well-known yearly mathematics competition for high school students held in India. 

The INMO test is the second stage in the selection process for the Indian team for the International Mathematical Olympiad. Every year, the Homi Bhabha Centre for Science Education administers the INMO test (HBCSE). The INMO examination attracts thousands of students from across the country, but only 30 candidates are chosen.

Πράσινη γωνία

Τρία ορθογώνια. Τα τερτάγωνα είναι ίσα. Να βρεθεί η πράσινη γωνία.

Introduction to Higher Mathematics - Lecture 1 - 19 (playlist)

Math Kangaroo Competition Levels 7 - 8, Problems with Solutions (playlist)

Διάλογοι στα Μαθηματικά: Μιχάλης Κολουντζάκης (Πανεπιστήμιο Κρήτης) - Γιάννης Κοντογιάννης (Cambridge)

The Droz - Farny line theorem

Mathematical Problems - Problem Solving - Mathematical Competitions

Math Problems Directory MAA American Mathematics Competitions

Problems, Puzzles, and Games < Mathematics in the Yahoo! Directory

Math contest problem links Wild About Math!

The 3x+1 problem and its generalizations by Jeff Lagarias

21st Century Problem Solving Solutions to solving word problems across the curriculum. (SureMath - hawaii.edu)

Abiator's Active Classroom: Maths Problem Solving Index

Geometry problems proposed by George Apostolopoulos - Problem 8

A Tilted Conical Water Glass

An inverted right circular cone of radius $1$ and height $h$ is filled with water. As the cone tilts (and water pours out), the surface 

of the water is in the shape of an ellipse (until the cone is empty). Find the maximum surface area of the water as a function of $h$.

Πηγή: missouristate.edu

Τι σημαίνει το $2^x$, όταν το $x$ δεν είναι ακέραιος;

Γνωρίζουμε ότι το $2^4$ σημαίνει

$2×2×2×2=16$.

Τι σημαίνει όμως το $2^π$;
Πώς μπορούμε να το υπολογίσουμε;

Problem A1, Putnam 1993

The horizontal line $y = c$ intersects the curve $y = 2x−3x^3$ in the first quadrant as in the figure. Find, with proof, c so that the areas of the two shaded regions are equal.

Πυθαγόρειο θεώρημα - Απόδειξη 190η

 Επιμέλεια:  Κώστας Δόρτσιος - Σωκράτης Ρωμανίδης 

Kάντε κλικ στο σχήμα.

Pythagorean theorem - Proof 190

$f(10)=?$

Let $f$ be a monic cubic polynomial satisfying $f(x) + f(−x) = 0$, for all real numbers $x$. 

For all real numbers $y$, define $g(y)$ to be the number of distinct real solutions $x$ to the equation $f(f(x)) = y$. 

Suppose that the set of possible values of $g(y)$ over all real numbers $y$ is exactly $\big\{1,5,9\big\}$. 

Compute the sum of all possible values of $f(10)$.

HMMT Spring 2021

Διαγωνίσματα τετραμήνου Άλγεβρας Β΄ Λυκείου από την Ιωνίδειο Σχολή Πειραιά

Του Αντώνη Περιβολάκη, από το Πρότυπο ΓΕΛ της Ιωνιδείου Σχολής Πειραιά.

ΟΜΑΔΑ Α

   

ΟΜΑΔΑ Β 

$AE \perp CG$

Οι πλευρές δύο τετραγώνων (όχι απαραίτητα ίσων) τέμνονται σε οκτώ σημεία: A, B, C, D, E, F, G και H. 

Αυτά τα οκτώ σημεία σχηματίζουν ένα οκτάγωνο, όπως φαίνεται στο πιο πάνω σχήμα. Να αποδειχθεί ότι  οι διαγώνιοι AE και CG είναι κάθετες.

25 horses and 5 lanes

There are 25 horses and 5 lanes. You have no idea about which horse is better than other.

Find in minimum possible races, the first three fastest running horses.

Microsoft Interview Puzzle

The Hamiltonian path

Place the numbers from 1 to 49 on the grid below such that all consecutive numbers are either horizontal or vertical neighbours. In other words, 1 is horizontally or vertically adjacent to 2, which is horizontally or vertically adjacent to 3, and so on up to 49.

The shaded squares are the prime numbers: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 and 47.

Πηγή: theguardian