Δοκιμασία δεξιοτήτων για την εισαγωγή στα Πρότυπα Γυμνάσια (2020) - ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Δείτε παρακάτω τα θέματα των παρελθόντων ετών:

2019

2018

Αποκοπή γωνίας

Αποκόπτουμε μία από τις γωνίες ενός τετραγώνου και δημιουργούμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο έτσι ώστε το άθροισμα των κάθετων πλευρών του να είναι ίσο με την πλευρά του τετραγώνου. 

Αποδείξτε ότι το άθροισμα των γωνιών υπό τις οποίες φαίνεται η υποτείνουσα από τις υπόλοιπες κορυφές του τετραγώνου ισούται με $90°$.

Περιοδικό Quantum

Συμμετρικές Ανισότητες: Επίλυση ανισοτήτων με το θεώρημα Muirhead

:

Πυθαγόρειο θεώρημα - Απόδειξη 184η

 Επιμέλεια:  Κώστας Δόρτσιος - Σωκράτης Ρωμανίδης 

Kάντε κλικ στο σχήμα.

Pythagorean theorem - Proof 184

Ευλογία και όχι κατάρα

Πανελλαδικές 2020: Τα θέματα Μαθηματικών ΕΠΑΛ (ΑΛΓΕΒΡΑ)

Δείτε εδώ τις λύσεις.

Ίδιο ΘΕΜΑ Β το 2017 και το 2020 !

ΘΕΜΑ Β (2017)

Δίνονται οι συναρτήσεις $ f(x) = lnx$ , $x > 0$  και

 $ g(x)= \dfrac{x}{1-x}$, $x \neq 1$.

B1. Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση $ f \circ g$.

B2. Αν

$h(x)= (f \circ g)(x) = ln \big( \dfrac{x}{1-x} \big) $, $x \in (0,1)$

να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $h$ αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφή της.

B3. Αν 

$φ(x) =h^{-1}(x) = \dfrac{e^x}{e^{x}+1}$, $x\in R$

να μελετήσετε τη συνάρτηση $φ$ ως προς τη μονοτονία, τα ακρότατα, την κυρτότητα και τα σημεία καμπής.

B4. Να βρείτε τις οριζόντιες ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης $φ$ και να τη σχεδιάσετε.

ΘΕΜΑ Β (2020)

Δίνονται οι συναρτήσεις:

$f: (1, + \propto)$, με τύπο $f(x) = \dfrac{x+2}{x-1}$ και
$g: R \rightarrow R$, με τύπο $g(x) = e^x$

B1. Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση $ f \circ g$.

B2. Αν

$(f \circ g)(x) =\dfrac{e^{x}+2}{e^{x}-1}$

, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $ f \circ g$ είναι ‘1-1’ και να βρείτε την αντίστροφή της.

B3. Αν

$φ(x) = (f \circ g)^{-1}(x)= ln \big(\dfrac{x+2}{x-1}\big)$ , $x > 1$

,να μελετήσετε τη συνάρτηση $φ$ ως προς τη μονοτονία.

B4. Αν $φ$ είναι η συνάρτηση του ερωτήματος Β3, να βρεθούν τα όρια

$ \lim_{x \rightarrow 1^+}φ(x)$ και $ \lim_{x \rightarrow + \infty }φ(x)$

Πανελλαδικές 2020: Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ

Δείτε τις λύσεις εδώ, από τη lisari team. 

ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ

Δείτε τις λύσεις εδώ, από τη lisari team. 

Ενδεικτικά θέματα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ για τη Δοκιμασία Δεξιοτήτων εισαγωγής στα Πρότυπα Γυμνάσια

Ενδεικτικά θέματα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ για τη Δοκιμασία Δεξιοτήτων εισαγωγής στα Πρότυπα Λύκεια

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό

 Toυ Αλέξανδρου Γ. Συγκελάκη 

Κόκκινο χρώμα

Στο παρακάτω σχήμα η γωνία $ΒΑΓ$ είναι $60^0$. Αν $ΑΗ = 3$, να βρεθεί το εμβαδόν της χρωματισμένης επιφάνειας. 

Δείτε τη λύση που μου έστειλε ο κ. Κ. Δόρτσιος: 

Τιμές του $n$

Nα βρεθεί το άθροισμα όλων των τιμών του 𝑛 για τις οποίες η εξίσωση 

$x^2 + nx + 3 - 2n = 0 $

έχει ακριβώς μία ρίζα.

α.  $-8$      β. $-1$      γ. $2$     δ. $6$     ε. $3$

Πεδίο ορισμού

Ποιο είναι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης: 

$𝑓(𝑥) = ημ\big( ln\frac{ \sqrt{4 - x^2} }{1-x} \big) $

α. $(1, 2)$ 

β. $(−∞, 1) ∪ (1, ∞)$ 

γ.$[−2,1) ∪ (1,2]$ 

δ. $(−2,1)$ 

ε. κανένα 

Ποιός?

Ποιος αριθμός είναι μεγαλύτερος 

$$2019^{2018+2020} < 2018^{2018}2020^{2020}$$

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Ενδιαφέρουσες ασκήσεις του σχολικού βιβλίου

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. i) Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων 

$f(x)=\dfrac{1}{x}$  και $g(x) = x^2 − 3x + 3$,

x ϵ (0,+∞) έχουν κοινή εφαπτομένη στο σημείο $A(1,1)$.

ii) Να βρείτε τη σχετική θέση των $C_f$ και $C_g$  στο διάστημα $(0,+∞)$.

-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-

2. Αν είναι παραγωγίσιμες συναρτήσεις στο $R$, με 

$f(0) = g(0)$ και $f ʹ(x) > gʹ(x)$ 

για κάθε x0ϵ R, να αποδείξετε ότι

$f(x) < g(x)$ στο $(−∞,0)$   και $f(x) > g(x)$   στο $(0, +∞)$.

-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-

6. i) Να μελετήσετε και να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση

$f(x)=\dfrac{lnx}{x}$.

ii) Να αποδείξετε ότι $α^{α+1} > (α + 1)^α$ για κάθε $α > e$.

Όριο

Έστω $f$ δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση στο $R$ τέτοια ώστε

$f(0) =1$, $f '(0) = 1$ και $f ''(0) = 2$. 

Να υπολογιστεί το όριο

$ \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{f(x) -  f' (x)}{ f' (x) - 1}$ 
-=-=-=-=-=-=-=-=-=-

H λύση που γράφει ο Μαρίνος Ματιάτος κάτω στα σχόλια: 

$\lim_{x\rightarrow 0}\ \frac{f(x)-f'(x)}{f'(x)-1}= \lim_{x\rightarrow 0}(\frac{x}{f'(x)-1}*\frac{f(x)-f'(x)}{x}= $

$\lim_{x\rightarrow 0}(\frac{x}{f'(x)-f'(0)}*\frac{f(x)-f'(x)}{x})= $

$\lim_{x\rightarrow 0}(\frac{x}{f'(x)-f'(0)}*\frac{f(x)-1+1-f'(x)}{x})= $

$\lim_{x\rightarrow 0}(\frac{x}{f'(x)-f'(0)}*\frac{f(x)-f(0)+f'(0)-f'(x)}{x})= $

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x}{f'(x)-f'(0)}*(\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)-f(0)}{x}-\lim_{x\rightarrow 0}\frac{(f'(x)-f'(0))}{x})=$

 $\frac{1}{f''(0)}*(f'(0)-f''(0))=\frac{1}{2}*(1-2) =-\frac{1}{2}$

Άθροισμα ριζών

Το πολυώνυμο  

$𝑦^4 − 10𝑦^3 + 29𝑦^2 − 22𝑦 + 4$ 

έχει $4$ θετικές ρίζες, να βρεθεί το άθροισμα των ριζών της εξίσωσης: 

$𝑒^{4x} − 10𝑒^{3x} + 29𝑒^{2x} − 22𝑒^{x} + 4 = 0 $

$α) ln4$     $β) ln10$     $γ) 4$     $δ) 10$     $ε) 1$

Μέγιστο εμβαδόν

Ποιο είναι το μέγιστο εμβαδόν ισοσκελούς τριγώνου με ίσες πλευρές μήκους $8$; 

$α. 16$     $β. 32$     $γ. 48$     $δ. 64$     $ε. 128$

Απάντηση χωρίς τη χρήση παραγώγων.

- Δείτε μία πολύ ωραία λύση που μου έστειλε ο συνάδελφος Σπύρος Γιαννάκαρος:

Συντελεστής

Να βρεθεί ο συντελεστής του όρου $𝑥^{2}𝑦^{2}𝑧^{2}$ του αναπτύγματος  

$(𝑥 + 𝑦 + 𝑧)^7$

$α. 210$     $β. 350$     $γ. 441$     $δ. 735$     $ε. 842$

Παραδείγματα και αντιπαραδείγματα για το Θέμα Α των Πανελληνίων Εξετάσεων

Πηγή: ΟΛΑ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ Γ΄ΛΥΚΕΙΟΥ

Ιωάννης Θωμαΐδης: Τα Μαθηματικά των Πανελλαδικών Εξετάσεων 2020 - Θεωρητική Προσέγγιση και Πρακτικές Οδηγίες

Με στόχο την ενημέρωση όλων των μελών της σχολικής κοινότητας (μαθητές, γονείς και εκπαιδευτικοί) και την καλύτερη προετοιμασία των μαθητών για τις Πανελλαδικές Εξετάσεις 2020, το Παράρτημα Σερρών της Ελληνικής

Αριθμητική τιμή

Έστω πολυώνυμο

$Ρ(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d$, 

όπου $a, b, c, d$ πραγματικοί αριθμοί.
Αν

$Ρ(1) = 827, Ρ(2) = 1654$ και $Ρ(3) = 2481$

τότε να βρεθεί η τιμή 

 $\dfrac{P(9) + P(−5)}{4}$

Πεδίο ορισμού

Να βρεθεί το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της συνάρτησης

$f(x)=\{(1,2),(3,4),(5,6),(7,8),(9,10),(10,10)\}$.

Μαθηματικά κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου: Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Διανύσματα

 Του Σπύρου Γιαννάκαρου 

Πηγή: mathamagicpath

USA Contests: AIME Problems 1983 - 2020

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Εμβαδόν ...κύματος

Να βρεθεί το εμβαδόν της γαλάζιας επιφάνειας.

Στο παρακάτω αρχείο δείτε τη λύση που μου έστειλε ο κ. K. Δόρτσιος: 

και εδώ το δυναμικό σχήμα geogebra.

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Επαναληπτικό διαγώνισμα μέχρι τα ακρότατα με τις λύσεις

 Του Νίκου Τσιμοράγκα 

Δείτε τις λύσεις εδώ.
Πηγή: lisari

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Δύο νέα διαγωνίσματα προσομοίωσης (με τη νέα ύλη)

 Επιμέλεια: Σουλτανίδου Κική- Αραμπατζής Φίλιππος 

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Πέντε διαγωνίσματα προσομοίωσης από το Αρσάκειο Λύκειο (με τη νέα ύλη)

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Επαναληπτικό διαγώνισμα προσομοίωσης με τη νέα ύλη (με τις λύσεις)

 Του Κωνσταντίνου Γκούλη 

Στο ερώτημα Α5/β το σωστό είναι $f ' (β) =0$.

Πυθαγόρειο θεώρημα - Απόδειξη 183η

 Επιμέλεια:  Κώστας Δόρτσιος - Σωκράτης Ρωμανίδης 

Kάντε κλικ στο σχήμα.

Pythagorean theorem - Proof 183

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Αρχείο θεωρίας προσαρμοσμένο στην νέα ύλη

 Toυ Λάμπρου Κατσάπα  

Τα σχόλια, οι επισημάνσεις και οι παρατηρήσεις αποτελούν οδηγό για κάθε υποψήφιο.
Πηγή: ΟΛΑ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ Γ΄ΛΥΚΕΙΟΥ

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Ερωτήσεις θεωρίας με αιτιολόγηση Αντιπαραδείγματα (νέα ύλη)

 Του Γιάννη Κωνσταντίνου 

ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ ΓΙΑ ΤΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ: Διαμόρφωση και Αξιολόγηση ενός Εξεταστικού Δοκιμίου

Ομάδα Μαθηματικών Γιαννιτσών

ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ ΓΙΑ ΤΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (2ο Μέρος) 

Διαμόρφωση και Αξιολόγηση ενός Εξεταστικού Δοκιμίου Μαθηματικών για τις Πανελλαδικές Εξετάσεις και ομιλητή τον Γιάννη Θωμαΐδη, Δρα Μαθηματικών, τ. Σχολικό Σύμβουλο.

ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ ΓΙΑ ΤΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ: Μερικές έννοιες - κλειδιά για τη μελέτη των μαθηματικών

Ομάδα Μαθηματικών Γιαννιτσών

Μερικές έννοιες - κλειδιά για τη μελέτη των Μαθηματικών:
ΟΡΙΣΜΟΣ - ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ - ΘΕΩΡΗΜΑ - ΑΠΟΔΕΙΞΗ - ΑΙΤΙΟΛΟΓΗΣΗ - ΕΠΑΛΗΘΕΥΣΗ 
Πόσο καλά τις γνωρίζουμε;
Ομιλητής ο Γιάννης Θωμαΐδης, Δρα Μαθηματικών, τ. Σχολικός Σύμβουλος.