Simpson's rule

In numerical integration, Simpson's rules are several approximations for definite integrals, named after Thomas Simpson (1710–1761).

Read more »

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: 4o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2020 (μέχρι και ακρότατα)

Πηγή: thanasiskopadis

Πολυγωνικό χωρίο

Κάθε τετραγωνάκι στο παραπάνω σχήμα έχει πλευρά 1 cm.

(α) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του πολυγωνικού χωρίου ABCDEFGH.

(β) Να αποδείξετε ότι .

(γ) Να αποδείξετε ότι οι ευθείες  και  είναι παράλληλες.

Πηγή: mathematica

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Η Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία προτείνει επαναληπτικά θέματα - ΘΕΜΑ 24o

Έστω η συνάρτηση 

$f(x) = x + e^x - 1$

1) Να µελετήσετε την $f$ ως προς τη µονοτονία. 

2) Να λύσετε την εξίσωση 

$e^x = 1 - x$ 

3) Θεωρούµε τη γνησίως µονότονη συνάρτηση $g: \Re →\Re$, η οποία για κάθε $x∈\Re$ ικανοποιεί τη σχέση 

$g(x) + e^{g(x)} = 2x + 1$. 

α) Να αποδείξετε ότι η $g$ είναι γνησίως αύξουσα. 

β) Να αποδείξετε ότι 

$g(0) =0 $

4) Να λύσετε την ανίσωση 

$(g \circ f )(x) >0$

5) Να αποδείξετε ότι η $f $ αντιστρέφεται και ότι η $C_{f^{-1}}$ διέρχεται από το σηµείο $M(e,1 )$ Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της $C_{f^{-1}}$ στο $Μ$. 

Από το αρχείο της Ε.Μ.Ε, «Επαναληπτικά Θέματα 2008».

Δείτε παρακάτω τα προηγούμενα θέματα:

Άλγεβρα Α΄ Λυκείου: Δύο ωραίες επαναληπτικές ασκήσεις

Δίνεται η συνάρτηση

$f(x)= \sqrt{|x|-1} - \sqrt{2|x|-4}$.

1) Να επιλυθεί το σύστημα των ανισώσεων: 

$\sqrt{|x|-1} \geq 0$ και $\sqrt{2|x|-4} \geq 0$.

2) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης.

3) Να δειχθεί ότι η γραφική της παράσταση είναι συμμετρική ως προς τον άξονα $y'y$.

4) Να βρεθούν τα σημεία τομής της γραφικής της παράστασης με τον άξονα $χ'χ$.

5) Να εξηγηθεί γιατί η γραφική της παράσταση δεν τέμνει τον άξονα $y'y$.

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Οι καθηγητές προτείνουν επαναληπτικά θέματα - ΘΕΜΑΤΑ 14ο - 23o

 Του Ιωάννη Σαλαμάνη 

Δείτε παρακάτω τα προηγούμενα θέματα:

Παράλληλες ευθείες

Δίνεται η εξίσωση 

$x^2 + y^2 - 2xy - 5x + 5y + 6 = 0$.

i) Nα αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση παριστάνει δύο ευθείες $ε_1$ και $ε_1$  οι οποίες είναι μεταξύ τους παράλληλες.

ii) Να βρείτε την γωνία που σχηματίζουν οι παραπάνω ευθείες με τον άξονα $x'x$.

iii) Να υπολογίσετε το εμβαδόν ενός τετραγώνου του οποίου οι δύο πλευρές βρίσκονται πάνω στις ευθείες $ε_1$ και $ε_1$. 

iv) Να βρείτε την εξίσωση της μεσοπαράλληλης των ευθειών $ε_1$ και $ε_1$. 

Περιοδικό Ευκλείδης Β΄, τ. 109

Ωραίο θέμα στα πολυώνυμα

Έστω το πολυώνυμο 

$Ρ(χ) = χ^ν - νχ + (ν - 1)$ 

όπου $ν$ θετικός ακέραιος $ν \geq2$.

α) Να βρεθεί το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης 

$P(χ) : (χ - 1)^2$.

β) Να δειχτεί ότι 

$Ρ(χ) \geq0$ 

για κάθε $χ\geq 0$.

γ) Αν $ν$ άρτιος αριθμός να δειχτεί ότι 

$Ρ(χ) >0$, για κάθε $χ <0$.

δ) Να λυθεί η εξίσωση 

$χ^{100} - 100x + 99 = 0$.

Περιοδικό Ευκλείδης Β΄, τ. 20.

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Ένα αξιόλογο νέο διαγώνισμα με τη νέα ύλη και τις απαντήσεις του

 Του Παύλου Βασιλείου 

Πηγή: askisopolis

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Η Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία προτείνει επαναληπτικά θέματα - ΘΕΜΑ 13o

Έστω συνάρτηση $f$ παραγωγίσιµη στο $\Re$ τέτοια, ώστε 

$f^{3} + 3f(x) =  x^{5} + x + 1$

για κάθε $x∈\Re$. 

Να αποδείξετε ότι: 

α) Η $f$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\Re$. 

β) Η εξίσωση $f(x) = 0$ έχει µοναδική ρίζα $ρ∈(−1 , 0)$. 

γ) Η $f$ αντιστρέφεται. 

δ) To σηµείο $N(0, ρ)$ ανήκει στην $C_{f^{-1}}$. 

ε) Η εξίσωση 

$f(x) = f^{-1}(x)$ 

έχει µία τουλάχιστον ρίζα στο $(0,1)$.  

Από το αρχείο της Ε.Μ.Ε, «Επαναληπτικά Θέματα 2008».
Δείτε παρακάτω τα προηγούμενα θέματα:

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Η Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία προτείνει επαναληπτικά θέματα - ΘΕΜΑ 12o

∆ίνονται: 

• Η ευθεία (ε): $y= x - e$ 

• Η συνάρτηση $g(x) = xlnx - x$ και 

• Μια συνάρτηση $f $ παραγωγίσιµη στο $\Re$, τέτοια ώστε 

$f ′(x) = xln x$, 

για κάθε $x∈(0, +∞)$. 

Να αποδείξετε ότι: 

α) Η ευθεία (ε) εφάπτεται της $C_g$ 

β) i) Αν η $C_f$ διέρχεται από το σηµείο $A(0, −1 )$ τότε ισχύει 

$f(x) = g(e^x)$, $x∈\Re$.

 ii) Για κάθε $x∈(0,1)$, ισχύει 

$− 1< f(x) < xe - 1$

Από το αρχείο της Ε.Μ.Ε, «Επαναληπτικά Θέματα 2008».

Δείτε παρακάτω τα προηγούμενα θέματα:

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Η Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία προτείνει επαναληπτικά θέματα - ΘΕΜΑ 11o

Αν $f$ συνεχής στο $0$, $f 0)=2006$ και ισχύει

$xf(x) + x^{4}συν \dfrac{1}{x} =ημ(αx)$, $α ≠ 0$ 

για κάθε $x∈ \Re^{*}$. 

Α) i) Να αποδείξετε ότι $f$ συνεχής στο  $\Re$ 

ii) Να βρείτε το $α$. 

Β) i) Να βρείτε τα όρια: 

$ \lim_{x \rightarrow −∞}f(x)$ και $ \lim_{x\rightarrow+∞}f(x)$

ii) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 

$f(x) =0$ 

έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο $\Re$.

Από το αρχείο της Ε.Μ.Ε, «Επαναληπτικά Θέματα 2006».

Πυθαγόρειο θεώρημα - Απόδειξη 181η

 Επιμέλεια:  Κώστας Δόρτσιος - Σωκράτης Ρωμανίδης 

Kάντε κλικ στο σχήμα.

Pythagorean theorem - Proof 181

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: 3o Eπαναληπτικό Διαγώνισμα 2020 (μέχρι και ακρότατα)

Πηγή: thanasiskopadis

Χρήση ιδιοτήτων συνάρτησης στην επίλυση εξίσωσης ή ανίσωσης

 Του Απόστολου Δέμη 

Περιοδικό «ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β΄», τεύχη 109

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Η Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία προτείνει επαναληπτικά θέματα - ΘΕΜΑ 10ο

Θεωρούμε τη συνεχή συνάρτηση $f : R\rightarrow R$, για την οποία ισχύει 

$\lim_{x \rightarrow1} \dfrac{f(x+2)-5}{x-1}=6$.

α) Να αποδείξετε ότι: 

i) $f (3) =5 $ και 

ii) $f '(3) = 6$

β) Να υπολογίσετε το όριο 

$\lim_{x \rightarrow 3} \dfrac{x+2-f(x)}{ημ(x-3)}$

γ) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης 

$h(x) = xf(x) - 3x - 7συνx$, $x\in R$, 

τέμνει τον άξονα $x΄x$ τουλάχιστον σε ένα σημείο. 

δ) Θεωρούμε την παραγωγίσιμη συνάρτηση $g: R\rightarrow R$, για την οποία ισχύει $g'(x)\leq f'(3)$, για κάθε $x\in R$. 

Να αποδείξετε ότι η εξίσωση $g(x) = x^6$, έχει το πολύ μία ρίζα μεγαλύτερη του $1$.

Από το αρχείο της Ε.Μ.Ε, «Επαναληπτικά Θέματα 2014».

Δείτε παρακάτω τα προηγούμενα θέματα:

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Η Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία προτείνει επαναληπτικά θέματα - ΘΕΜΑ 9o

Έστω συνάρτηση $f : \Re→ \Re^{*}$ µε $f(x)≠ 0$ για $x∈\Re^{*}$ η οποία είναι $«1-1»$ και έχει την ιδιότητα: 

$f^{-1}(x) = \dfrac{1}{f(x)}$

για κάθε $x ≠ 0$

Αν η $f$ είναι γνησίως αύξουσα στο διάστηµα $∆ = (0,+∞)$, τότε: 

α) Να αποδείξετε ότι

$f(f(x)) = \dfrac{1}{x}$ και $f(x)f(\dfrac{1}{x})= 1$

για κάθε $x ≠0$. 

β) Να αποδείξετε ότι 

$f(1) =−1$ και $f(−1) =1$ 

γ) Να δείξετε ότι η εξίσωση 

$f^{-1}(x) =x$ 

είναι αδύνατη. 

δ) Αν η $f$ είναι συνεχής, τότε να αποδείξετε ότι: 

i) $f(x)< 0$ για κάθε $x >0$ και $f(x) > 0$, για κάθε $x <0 $

ii) H $f$ δεν µπορεί να είναι γνησίως αύξουσα στο διάστηµα $(−∞,0)$.

Από το αρχείο της Ε.Μ.Ε, «Επαναληπτικά Θέματα 2008».
Δείτε παρακάτω τα προηγούμενα θέματα:

Η χρησιμότητα των υπαρξιακών θεωρημάτων στη μελέτη των συναρτήσεων

 Των Δ. Μπαρούτη - Ι. Σαράφη 

Περιοδικό «ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β΄», τεύχη 110

Μετρική σε τετράγωνο

Tα σημεία βρίσκονται αντίστοιχα στις πλευρές τετραγώνου ώστε

και  

Να δείξετε ότι

 

Πηγή: mathematica

Ένα αρχείο με 35 χρήσιμα tips για την αντιμετώπιση ασκήσεων στα μαθηματικά Γ Λυκείου. Περιλαμβάνονται και παραδείγματα (άλυτα) για την εφαρμογή των μεθόδων λύσης

Ένα αρχείο με 35 χρήσιμα tips για την αντιμετώπιση ασκήσεων στα μαθηματικά Γ Λυκείου.

Περιλαμβάνονται και παραδείγματα (άλυτα) για την εφαρμογή των μεθόδων λύσης.

Πηγή: thanasiskopadis

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Η Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία προτείνει επαναληπτικά θέματα - ΘΕΜΑ 8o

Αν $f$ συνεχής στο $\Re$, $f(x) ≠ 0$, για κάθε $x∈\Re$, $f(2005)= \dfrac{1}{2} $, $f(2007)=3$ και $f(1)f(2)=f(3)f(4)$, να αποδείξετε ότι: 

α) υπάρχει $ξ∈ \Re$ ώστε 

$f(ξ)=1$ 

β) υπάρχει $x_{0}∈[1,2]$ ώστε 

$f^2 (x_{0})= f(1)f(2)$ 

γ) η $f$ δεν αντιστρέφεται.
Από το αρχείο της Ε.Μ.Ε, «Επαναληπτικά Θέματα 2006».
Δείτε παρακάτω τα προηγούμενα θέματα:

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Επαναληπτικό διαγώνισμα μέχρι και ακρότατα (νέα ύλη)

 Του Ανδρέα Πάτση 

Αριθμητική τιμή

Aν το πολυώνυμο

$$P(x) = x^3 + x^2 − r^{2}x − 2020$$

έχει ρίζες τους αριθμούς $r, s, t$, να βρεθεί η τιμή P(1). 

Harvard - MIT Math Tournament 2020

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Η Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία προτείνει επαναληπτικά θέματα - ΘΕΜΑ 7o

Έστω συνεχής συνάρτηση $f: [0, 8] \rightarrow R$, η οποία ικανοποιεί τη σχέση 

$f^{3}(x) + f (x) = x + 2$     

για κάθε $x \in [0, 8]$.

Να αποδείξετε ότι: 

α) Η συνάρτηση $f$ είναι γνησίως αύξουσα και να βρείτε το σύνολο τιμών της. 

β) $ f \big( \dfrac{23}{8} \big) = \dfrac{3}{2} $

γ) Η συνάρτηση $f$ είναι αντιστρέψιμη και να ορίσετε τη συνάρτηση $f^{-1}$. 

δ) Οι γραφικές παραστάσεις $Cf$ και $Cf^{-1}$ των συναρτήσεων $f$ και $f^{-1}$ αντίστοιχα, έχουν ένα ακριβώς κοινό σημείο και να βρείτε τις συντεταγμένες του.

Από το αρχείο της Ε.Μ.Ε, «Επαναληπτικά Θέματα 2014».
Δείτε παρακάτω τα προηγούμενα θέματα:

Σχέση της ημιτονοειδούς συνάρτησης με την λεγόμενη αρμονική ταλάντωση.

 Του Κώστα Δόρτσιου 

Περιοδικό «Μελέτη», τ. 5

Συνέντευξη με τον Απόστολο Δοξιάδη: Μιλά για το πρόσφατο βιβλίο του «Ερασιτέχνης επαναστάτης – Προσωπική μυθιστορία»

Ο «Ερασιτέχνης επαναστάτης – Προσωπική μυθιστορία» (εκδόσεις Ίκαρος), το νέο βιβλίο του Απόστολου Δοξιάδη, είναι φιλικό και προσιτό στον αναγνώστη, παρά τη μεγάλη του έκταση. Με μία ιστορία συναρπαστική και έναν λόγο διαυγή, ρέοντα, σχεδόν προφορικό. Την ίδια στιγμή, είναι ένα πολύ σύνθετο έργο. 

Αν και ο πυρήνας του είναι η πολιτική συγκρότηση του κεντρικού ήρωα και αυτοβιογραφούμενου αφηγητή-συγγραφέα, από τα παιδικά του χρόνια έως εκείνα της ενηλικίωσης, τα ζητήματα που προκύπτουν από την ανάγνωσή του είναι ευρύτερα.

United Kingdom Mathematics Trust: Grey Kangaroo 2019

Oι λύσεις εδώ.

Πολυώνυμο 5ου βαθμού

Έστω $f(x)$ ένα πολυώνυμο 5ου βαθμού.
Αν

• το πολυώνυμο $f(x) + 1$ διαιρείται με το πολυώνυμο $(x  – 1)^3$ και 
• το $f(x) – 1 $ διαιρείται με το $(x + 1)^3$, 

τότε να βρεθεί το πολυώνυμο $f(x)$.

ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ ΜΑΥΡΙΔΗ: Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου (Α΄ και Β΄ τεύχος)

Τα βιβλία προσφέρονται δωρεάν από τον εκδότη Γιώργο Μαυρίδη στους μαθητές και τους καθηγητές.

   Α ΤΕΥΧΟΣ    

   Β ΤΕΥΧΟΣ    

Κάντε κλικ στην εικόνες.

ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ ΜΑΥΡΙΔΗ: Μαθηματικά κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου

Το βιβλίο προσφέρεται δωρεάν από τον εκδότη Γιώργο Μαυρίδη στους μαθητές και τους καθηγητές.

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Η “γωνία”: Από τον Όμηρο ως τον Ευκλείδη

 Του Κώστα Δόρτσιου 

Περιοδικό «Μελέτη», τ. 5

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Ερωτήσεις Κατανόησης σχολικού βιβλίου με απαντήσεις

 Του Κώστα Κουτσοβασίλη 

Πηγή: perikentro

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Η Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία προτείνει επαναληπτικά θέματα - ΘΕΜΑ 6o

Δίνεται η συνάρτηση

$f(x) = lnx - λx + 1$, $x>0$, $λ>0$.

i) Να μελετηθεί η $f$ ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.

ii) Έστω $Μ$ το σημείο που αντιστοιχεί στο μέγιστο της $C_f.$ Να βρείτε, για τις διάφορες τιμές του λ, την καμπύλη στην οποία κινείται το σημείο $Μ$.

iii) Nα βρείτε τη μικρότερη τιμή του $λ$, ώστε να ισχύει 

$lnx \leq λx - 1$.

Από το αρχείο της Ε.Μ.Ε, «Επαναληπτικά Θέματα 2006».
Δείτε παρακάτω τα προηγούμενα θέματα:

ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ ΜΑΥΡΙΔΗ: Άλγεβρα Β΄ Λυκείου

Το βιβλίο προσφέρεται δωρεάν από τον εκδότη Γιώργο Μαυρίδη στους μαθητές και τους καθηγητές.

Κάντε κλικ στην εικόνα.

ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ ΜΑΥΡΙΔΗ: Άλγεβρα Α΄ Λυκείου

Το βιβλίο προσφέρεται δωρεάν από τον εκδότη Γιώργο Μαυρίδη στους μαθητές και τους καθηγητές.

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Η Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία προτείνει επαναληπτικά θέματα - ΘΕΜΑ 5o

Δίνεται η συνεχής συνάρτηση, η οποία ικανοποιεί τη σχέση:

$x^{2}f(x) - 2x^5 + 1 - συν^{2}x = 0$, 

για κάθε $x\in R$. 

α) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης $f$.

β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση $f(x)= 0$ έχει μία τουλάχιστον πραγματική ρίζα. 

γ) Να αποδείξετε ότι για κάθε $x\in R^*$ είναι

$f (x)> 2x^{3} - 1$.

δ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση

$F(x) = f(x)+ \dfrac{ημ^{2}x}{x^2}$ 

αντιστρέφεται και να ορίσετε την $F^{-1} $.

Από το αρχείο της Ε.Μ.Ε, «Επαναληπτικά Θέματα 2014».
Δείτε παρακάτω τα προηγούμενα θέματα:

Το τρίγωνο του Πασκάλ και οι παραλλαγές του βάσει του $(xα+β)^ν$

 Του Λεωνίδα Λιπώνη 

Περιοδικό «Μελέτη», τ. 5

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: 2o Eπαναληπτικό Διαγώνισμα 2020 (μέχρι και ακρότατα)

Πηγή: thanasiskopadis

Πυθαγόρειο θεώρημα - Απόδειξη 180η

 Επιμέλεια:  Κώστας Δόρτσιος - Σωκράτης Ρωμανίδης 

Kάντε κλικ στο σχήμα.

Pythagorean theorem - Proof 180

Sawayama or Thebault's Theorem

In 1938 in a "Problems and Solutions" section of the Monthly [24], the famous French problemist Victor Thébault (1882-1960) proposed a problem about three circles with collinear centers (see Figure 1) to which he added a correct ratio and a relation which finally turned out to be wrong.

Διαβάστε περισσότερα »

Αποδείξεις στα Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου

Τα τετράγωνα των αριθμών 1, 11, 111, 1111, ....

1 x 1 = 1

11 x 11 = 121

111 x 111 = 12321

1111 x 1111 = 1234321

11111 x 11111 = 123454321

111111 x 111111 = 12345654321

1111111 x 1111111 = 1234567654321

11111111 x 11111111 = 123456787654321

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Η Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία προτείνει επαναληπτικά θέματα - ΘΕΜΑ 4o

Από το περιοδικό «ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β΄».
Δείτε παρακάτω τα προηγούμενα θέματα:
ΘΕΜΑ 1o
ΘΕΜΑ 2o
ΘΕΜΑ 3o

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Συλλογή 30 Ασκήσεων στις ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ, από το mathematica

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου: 1ο Διαγώνισμα προσομοίωσης μέχρι και τα ακρότατα (8 - 4 - 2020)

 Του Γιάννη Τσόπελα 

Δείτε τις λύσεις εδώ.

Γαλάζια επιφάνεια

Να βρεθεί το εμβαδόν της γαλάζιας επιφάνειας.

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Η Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία προτείνει επαναληπτικά θέματα - ΘΕΜΑ 3o

Έστω $f: R→R$ μια συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη στο $R$, με $f′′(x) ≠ 0$, για κάθε $x∈R$, η οποία ικανοποιεί τις σχέσεις:
• $f′ (x)e^{-x} - (f′(x))^2= 0$, για κάθε $x∈R$, 

• $2f ′(0) +1 = 0$ και 

• $f(0) = ln2$  

α) Να αποδείξετε ότι ισχύει 

$f ′(x) + 1 = \dfrac{e^x}{1+e^x}$ , $x∈R$ 

β) Να αποδείξετε ότι: 

$f(x) =  ln(1 + e^x) - x$, $x∈R$ 

γ) Να μελετήσετε τη συνάρτηση $f $ ως προς τη μονοτονία και την κυρτότητα. 

δ) Να αποδείξετε ότι ισχύει: 

$2f(x) +x ≥  ln4$

για κάθε $x∈R$ 

ε) Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης $f $.

στ) Να βρείτε την αντίστροφη συνάρτηση της $f$ και να υπολογίσετε τα όρια: 

i)  $\lim_{x \rightarrow 0^{+}} f^{-1}(x)$
ii) $\lim_{x \to +\infty} f^{-1}(x)$

Από το αρχείο της Ε.Μ.Ε, «Επαναληπτικά Θέματα 2016».
Δείτε παρακάτω τα προηγούμενα θέματα:

ΘΕΜΑ 1o

ΘΕΜΑ 2o

Καλές πρακτικές αξιοποίησης των ψηφιακών εργαλείων για την σύγχρονη και ασύγχρονη εξ αποστάσεως διδασκαλία

ΠΡΟΣΚΛΗΣΗ

Η Ομάδα Μαθηματικών Γιαννιτσών προσκαλεί τους μαθηματικούς και τους φίλους των μαθηματικών στην εξ αποστάσεως ομιλία με θέμα: 

Καλές πρακτικές αξιοποίησης των ψηφιακών εργαλείων για την σύγχρονη και ασύγχρονη εξ αποστάσεως διδασκαλία

και ομιλητή τον κ. Χρήστο Μάλλιαρη, μαθηματικό, επιμορφωτή Β΄ επιπέδου ΤΠΕ, την Κυριακή 12 Απριλίου στις 7 μ.μ. στην ψηφιακή αίθουσα της ομάδας, όπου θα μπορεί να γίνει συζήτηση, αλλά και στο κανάλι της ομάδας στο youtube από όπου θα μπορεί κάποιος να παρακολουθεί και να συμμετέχει μέσω των σχολίων.

Πράσινη επιφάνεια

Να βρεθεί το εμβαδόν της πράσινης επιφάνειας.

Δείτε τη λύση που μου έστειλε ο κ. Κώστας Δόρτσιος: 

και εδώ τους μετασχηματισμούς σε ένα δυναμικό σχήμα! 

Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2018/19 (11η τάξη)

1. Ο καθένας εκ δέκα ατόμων είναι είτε ευγενής και λέει πάντα την αλήθεια, είτε ψεύτης και λέει πάντα ψέματα. Ο καθένας τους σκέφτηκε κάποιο ακέραιο αριθμό.
Ύστερα ο πρώτος είπε: «Ο αριθμός μου είναι μεγαλύτερος του », ο δεύτερος είπε: «Ο αριθμός μου είναι μεγαλύτερος του », …, ο δέκατος είπε: «Ο αριθμός μου είναι μεγαλύτερος του ». Μετά από αυτό και οι δέκα τους, αναφώνησαν με κάποια σειρά: «Ο αριθμός μου είναι μικρότερος του », «Ο αριθμός μου είναι μικρότερος του », …, «Ο αριθμός μου είναι μικρότερος του » (ο καθένας τους είπε μία από αυτές τις φράσεις).
Ποιος είναι ο μέγιστος αριθμός ευγενών που μπορεί να υπάρχουν μεταξύ αυτών των ατόμων;

2. Είναι γνωστό, ότι καθένα από τα τριώνυμα και έχει τουλάχιστον μία ρίζα και όλες οι ρίζες αυτών των τριωνύμων είναι ακέραιοι. Να δείξετε, ότι το τριώνυμο δεν έχει ρίζες.