Η 14η Μαθηματική Ολυμπιάδα Νοτιοανατολικής Ευρώπης (14th SEEMOUS 2020) για πρώτη φορά στη Θεσσαλονίκη

Τη 14η Μαθηματική Ολυμπιάδα Νοτιοανατολικής Ευρώπης διοργανώνει το Τμήμα Μαθηματικών του ΑΠΘ, για πρώτη φορά στη Θεσσαλονίκη.

Τη 14η Μαθηματική Ολυμπιάδα Νοτιοανατολικής Ευρώπης (14th South Eastern European Mathematical Competition for University Students -SEEMOUS 2020) διοργανώνει το Τμήμα Μαθηματικών του Αριστοτέλειου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης,

Πυθαγόρειο θεώρημα - Απόδειξη 179η

 Επιμέλεια:  Κώστας Δόρτσιος - Σωκράτης Ρωμανίδης 

Kάντε κλικ στο σχήμα.

Pythagorean theorem - Proof 179

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Διαγώνισμα μέχρι και τον Ρυθμό Μεταβολής (Ελληνογαλλική Σχολή Καλαμαρί)

 Του Γιάννη Σαράφη 

Άλγεβρα Α΄ Λυκείου: Διαγώνισμα στις Εξισώσεις 1ου και 2ου βαθμού (Ελληνογαλλική Σχολή Καλαμαρί)

 Του Γιάννη Σαράφη 

Αποτελέσματα διαγωνισμού Αρχιμήδη 2020

37η ΕΘΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ
ΣΑΒΒΑΤΟ 22 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2020

Η βράβευση των μαθητών που διακρίθηκαν στην Εθνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης"

θα γίνει την Κυριακή 23 Φεβρουαρίου 2020, ώρα 11 π.μ. στην Αίθουσα Τελετών, Κτίριο Διοίκησης, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο (είσοδος Κατεχάκη) και ώρα 11.00 π.μ.

ΜΑΘΗΤΕΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΠΩΝΥΜΟ	ΟΝΟΜΑ	ΣΧΟΛΕΙΟ	ΒΡΑΒΕΙΟ	ΤΑΞΗ
ΤΖΑΧΡΗΣΤΑΣ	ΓΕΩΡΓΙΟΣ	1ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ	Α ΒΡΑΒΕΙΟ	Γ ΓΥΜ
ΘΕΜΕΛΗΣ	ΣΤΕΛΙΟΣ	9ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΤΡΙΚΑΛΩΝ	Α ΒΡΑΒΕΙΟ	Γ ΓΥΜ
ΠΕΤΡΑΚΗΣ	ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ	4ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΡΙΝΙΟΥ	Α ΒΡΑΒΕΙΟ	Γ ΓΥΜ
ΦΩΤΙΑΔΗΣ	ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ	ΜΟΥΣΙΚΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΔΡΑΜΑΣ	Α ΒΡΑΒΕΙΟ	Γ ΓΥΜ
ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΙΔΗΣ	ΚΩΝ/ΝΟΣ	ΕΚΠ/ΡΙΑ ΜΑΝΤΟΥΛΙΔΗ Ε.	Β ΒΡΑΒΕΙΟ	Γ ΓΥΜ
ΛΙΑΜΠΑΣ	ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ	ΕΚΠ/ΡΙΑ ΜΑΝΤΟΥΛΙΔΗ Ε.	Β ΒΡΑΒΕΙΟ	Γ ΓΥΜ
ΚΑΛΛΙΑΣ	ΣΠΥΡΙΔΩΝ	5ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΒΟΛΟΥ	Β ΒΡΑΒΕΙΟ	Γ ΓΥΜ
ΠΕΤΡΑΚΗΣ	ΔΙΟΝΥΣΗΣ	ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΝΗΘΟΥ ΕΥΒΟΙΑΣ

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Δύο παρόμοια θέματα στις Πανελλαδικές εξετάσεις του 2010 και του 2012

ΘΕΜΑ Γ

∆ίνεται η συνάρτηση 

$f(x) = (x–2)lnx + x – 3$, $x > 0$.

Γ1. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης $f$.

Γ2. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $f$ είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα $(0,1]$ και γνησίως αύξουσα στο διάστημα $[1, +∞)$.

Γ3. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση $f(x) = 0$ έχει δύο ακριβώς θετικές ρίζες.

Γ4. Αν $x_1, x_2$ είναι οι ρίζες του ερωτήματος Γ3 με $x_1 < x_2$, να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικός αριθμός $ξ∈(x_1, x_2)$ τέτοιος, ώστε 

$ξ⋅f′(ξ) – f(ξ) = 0$

Συντεταγμένες διανύσματος

Να βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων που σχηματίζουν τα ευθύγραμμα τμήματα του πιο κάτω σχήματος. Ποια από τα διανύσματα αυτά: 

(α) είναι ίσα 
(β) είναι αντίθετα 
(γ) είναι ομόρροπα 
(δ) είναι αντίρροπα 
(ε) έχουν το ίδιο μέτρο

Ισοδύναμο εμβαδόν

∆ύο ίσοι κύκλοι (Ο, ρ) και (Κ, ρ) εφάπτονται εξωτερικά στο σημείο Α . Φέρουμε δυο ακτίνες ΟΒ και ΚΓ παράλληλες και προς το ίδιο μέρος της διακέντρου ΟΚ.

Γράφουμε το ημικύκλιο, διαμέτρου ΒΓ, που βρίσκεται εκτός των δυο κύκλων. Να αποδείξετε ότι το χρωματισμένο χωρίο που ορίζεται από το ημικύκλιο και τους δυο κύκλους, είναι ισοδύναμο με το παραλληλόγραμμο ΟΒΚΓ.

Μια ενδιαφέρουσα εκθετική συνάρτηση

To 1690 ο Jacob Bernoulli (1654-1705) στο περιοδικό Acta Eruditorum έθετε το ερώτημα: «Να βρεθεί η καμπύλη η οποία σχηματίζεται από ένα σχοινί που κρέμεται ελεύθερα από δύο σταθερά σημεία». 

Θεωρούμε ότι το σχοινί είναι εύκαμπτο σε όλο το μήκος του και ότι έχει ομοιόμορφο πάχος. Ο Γαλιλαίος (1564-1642), για το ίδιο πρόβλημα, υποστήριξε ότι η ζητούμενη καμπύλη ήταν η παραβολή. 

Εκθετικά αινίγματα

Τα προβλήματα, τα οποία βασίζονται στη μεταβολή του εκθέτη μιας δύναμης με σταθερή βάση, καλούνται εκθετικά αινίγματα. Βασικό στοιχείο των εκθετικών αινιγμάτων, που τα κάνει να διαφέρουν από τα υπόλοιπα προβλήματα, είναι η δυσανάλογη μεγάλη αύξηση της τιμής της δύναμης, με σχετικά μικρή μεταβολή του εκθέτη, όπως στο προηγούμενο πρόβλημα. 

Ένα γνωστό εκθετικό αίνιγμα είναι το ακόλουθο: 

«Σε μία λίμνη αρχικά υπήρχε ένα νούφαρο. Κάθε μέρα τα νούφαρα διπλασιάζονταν, ώσπου στο τέλος της τριακοστής ημέρας η επιφάνεια της λίμνης καλύφθηκε τελείως με νούφαρα. Ποια μέρα η λίμνη ήταν καλυμμένη κατά το ένα τέταρτο της επιφάνειάς της από νούφαρα;»

Ανάλυση - Σύνθεση στις Γεωμετρικές κατασκευές

1. Ανάλυση 

Στο στάδιο της ανάλυσης αρχικά υποθέτουμε ότι το πρόβλημα που μας δίνεται έχει λυθεί και θεωρούμε ένα σχήμα που ικανοποιεί όλα τα δεδομένα του προβλήματος.
Κατόπιν με διάφορες παρατηρήσεις, χρησιμοποιώντας τα δεδομένα και φέροντας κατάλληλες γραμμές (ευθείες και κύκλους) προσπαθούμε να δημιουργήσουμε ένα άλλο σχήμα που κατασκευάζεται με γνωστές απλές γεωμετρικές κατασκευές. 

Τέλος, συνδυάζοντας τις διάφορες απλές γεωμετρικές κατασκευές που συναντούμε, διαδοχικά, προσπαθούμε να φτάσουμε στο ζητούμενο σχήμα.
Σκοπός της Ανάλυσης είναι να μας υποδείξει τον δρόμο για να ξεκινήσουμε να λύσουμε το πρόβλημα.

Άλγεβρα Α΄ Λυκείου: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2018

Πρόβλημα 1

i. Αν , να αποδείξετε ότι

  .

ii. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς που ικανοποιούν την εξίσωση

 

Πρόβλημα 2

Να βρείτε όλα τα ζεύγη θετικών ακεραίων, για τα οποία ισχύει .

Ο Μύθος της ∆ιδούς

Ο Μύθος της ∆ιδούς Η ∆ιδώ ήταν η βασίλισσα της Καρχηδόνας κατά τον 9ο περίπου π.Χ. αιώνα. Ήταν πριγκίπισσα με καταγωγή την Τύρο της Φοινίκης. Σύμφωνα με το μύθο, η ∆ιδώ,

προσπαθώντας να ξεφύγει από την καταδίωξη του αδελφού της και βασιλιά της Τύρου, αναχώρησε δυτικά παραπλέοντας τις ακτές της Μεσογείου, αναζητώντας άσυλο. Μία τοποθεσία στον κόλπο της Τύνιδας τράβηξε την προσοχή της.

ΖΟΟΜ σε βασικές έννοιες τηςΑνάλυσης

 Του Γιώργου Πολύζου 

Πηγή

Σύγκριση

O αριθμός 

$$\mid 2^{3000}- 3^{2019} \mid$$

είναι μικρότερος ή μεγαλύτερος από το $\dfrac{1}{2}$; 

Πολλά ριζικά

Αν 

$A = (1 + 2\sqrt{2} + 3\sqrt{3}  + 6\sqrt{6})(2 + 6\sqrt{2} + \sqrt{3} + 3\sqrt{6})$

$(3 + \sqrt{2} + 6\sqrt{3} + 2\sqrt{6})(6 + 3\sqrt{2} + 2\sqrt{3} + \sqrt{6})$, 

και

$B = (1 + 3\sqrt{2} + 2\sqrt{3} + 6\sqrt{6})(2 + \sqrt{2} + 6√ 3 + 3\sqrt{62})$

$(3 + 6\sqrt{2} + √ 3 + 2\sqrt{6})(6 + 2\sqrt{2} + 3\sqrt{3} + \sqrt{6})$. 

Να υπολογιστεί το κλάσμα $\dfrac{A}{B}$.

Σημείωση: Είναι γινόμενα τεσσάρων παρενθέσεων, «κόβονται» σε  δύο σειρές λόγω ... έκτασης.

Κλασσικό τρίγωνο κλασσικός λόγος

Δίδεται ορθογώνιο τρίγωνο με . Σημείο κινείται στην ημιευθεία . Έστω σημείο της ημιευθείας τέτοιο ώστε : και το μέσο του .

Σημείο ανήκει στην προέκταση του προς το και τέτοιο ώστε : .

Να υπολογίσετε το λόγο : 

Πηγή

415 θέματα + λύσεις από διαγωνισμούς για την Α΄ Γυμνασίου

Ο αγαπητός φίλος και συγγραφέας από τη Θεσσαλονίκη Μπάμπης Τσιριόπουλος μας προσφέρει ένα πλούσιο υλικό από