Γεωμετρία Α΄ Λυκείου: Το 4ο θέμα από την τράπεζα θεμάτων 2020

 Επιμέλεια: Χρήστος Τσιφάκης 

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Όλα τα θέματα των Πανελλαδικών εξετάσεων 2001 - 2020, ταξινομημένα ανά θέμα Β, θέμα Γ και Δ

Το αρχείο επιμελήθηκε ο μαθηματικός Νικόλαος Σκομπρής.

Lagrange' s Four - Square Theorem

Handshaking Lemma

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: 51 αναλυτικά λυμένες ασκήσεις από τους μαθηματικούς Θ. Ζαχαριάδη - Α. Πάτση - Π. Τρύφων

Μια προσφορά της Μαθηματικής ομάδας στο Facebook: Μαθηματικά Γ Λυκείου (Ζαχαριάδης-Πάτσης -Τρύφων)

Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρας Α΄ Λυκείου, ανά ενότητα από τον συγγραφέα μαθηματικό Αναστάσιο Μπάρλα (pdf)

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Ένα πολύ ωραίο διαγώνισμα στα Όρια

 Tου Ιωάννη Σαράφη 

 

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Όλες οι αποδείξεις του σχολικού βιβλίου

Μία πολύ καλή παρουσίαση από τον συνάδελφο Μάρκο Βασίλη, διαχειριστή της ιστοσελίδας: aftermathsgr

 

Ασκήσεις σε απόλυτες τιμές και πίνακες προσήμου

 Του Βασίλη Μάρκου 

Πηγή: aftermathsgr

Wallis product

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Διαγώνισμα στα Όρια (2020)

 Του Γιάννη Σαράφη 

<

81ος Πανελλήνιος Διαγωνισμός στα Μαθηματικά "Ο ΘΑΛΗΣ" - ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ

ΘΕΜΑΤΑ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

 

ΘΕΜΑΤΑ ΛΥΚΕΙΟY

37η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2020 - ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ

Πρόβλημα 1ο

Έστω οξυγώνιο τρίγωνο με , το μέσο της πλευράς και ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου . Η εφαπτομένη του στο σημείο τέμνει την ευθεία στο σημείο . Αν είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου , να αποδείξετε ότι το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος ανήκει στον .

(Ηνωμένο Βασίλειο)

Πρόβλημα 2ο

Συμβολίζουμε με το σύνολο των θετικών ακεραίων. Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις , τέτοιες ώστε για κάθε θετικό ακέραιο να ισχύουν τα πιο κάτω:

i) Το είναι τέλειο τετράγωνο.

ii) Το διαιρεί το .

Σωτήρη Κ. Ντούγια - Απειροστικός Λογισμός 1

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Πυθαγόρειο θεώρημα - Απόδειξη 185η

 Επιμέλεια:  Κώστας Δόρτσιος - Σωκράτης Ρωμανίδης 

Kάντε κλικ στο σχήμα.

Pythagorean theorem - Proof 185

Coxeter Disc

Άπειρη γεύση σε έναν πεπερασμένο χώρο φρούτων!

Read more »

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Διαγώνισμα μέχρι την αντίστροφη συνάρτηση (Οκτώβριος 2020)

 Του Γιάννη Σαράφη

Οι 20 αναπόδεικτες προτάσεις του σχολικού βιβλίου της Γ΄ Λυκείου

Πηγή: lisari

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου,: 144 ερωτήσεις ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ από το studyforexams

Επαναληπτικές ερωτήσεις θεωρίας (1-10) - Θέμα Α

Επαναληπτικές ερωτήσεις θεωρίας (11-20) - Θέμα Α

Επαναληπτικές ερωτήσεις θεωρίας (21-30) - Θέμα Α

Επαναληπτικές ερωτήσεις θεωρίας (31-40) - Θέμα Α

Επαναληπτικές ερωτήσεις θεωρίας (41-50) - Θέμα Α

Επαναληπτικές ερωτήσεις θεωρίας (51-60) - Θέμα Α

Πολυδύναμη εξίσωση

Να βρεθεί ο $x$: 

$$\dfrac{ \dfrac{2^4}{2^x} }{16^2} = 2^{4^x}$$

ΒΙΒΛΙΟ: Functional Equations and How To Solve Them (pdf)

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Απόσταση σημείου από καμπύλη

 Του Γιώργου Πολύζου 

Πηγή: lisari

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: 1ο Τεστ για τη φετινή σχολική χρονιά από το «ΚΑΛΑΜΑΡΙ» - Μέχρι τη σύνθεση συναρτήσεων

 Του Γιάννη Σαράφη 

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2020: Τα θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού

- Για τα θέματα Μαθηματικά (Παλαιό Σύστημα) πατήστε εδώ.

- Για τα θέματα Μαθηματικά (Παλαιό Σύστημα - Ομογενείς) πατήστε εδώ.

- Για τα θέματα Μαθηματικά (Νέο Σύστημα - Ομογενείς) πατήστε εδώ.

Αρρητοεκθετική εξίσωση

Να λυθεί στο $R$ η εξίσωση

$$\displaystyle 4^x+9^x+36^x+\sqrt{\frac12-2x^2}=1$$

Enrico Bombieri - The Mathematical Infinity

The Sicilian Scheveningen: Move by Move

50th IΜΟ - 50 Years of International Mathematical Olympiads (pdf)

Click on thw image.

1ο Τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ΄ Λυκείου για τη σχ. χρονιά 2020 - 21

 Του Σπύρου Γιαννάκαρου 

Πηγή: mathamagicpath

Γένεση του Σύμπαντος και Μαθηματική Πιθανότητα (Παπούλας Νίκος)

Υψηλή εξίσωση

Να λυθεί η εξίσωση:

Ένα ιδιαίτερο ζευγάρι

Βρείτε τον μικρότερο θετικό ακέραιο αριθμός του οποίου το άθροισμα των ψηφίων του καθώς και το άθροισμα των ψηφίων του επόμενου του ακεραίου να διαιρούνται με το 17.

G. Galperin - Περιοδικό Quantum

Ενδιαφέροντες αριθμοί

Ένας 10ψήφιος αριθμός ονομάζεται ενδιαφέρων (interesting number), εάν τα ψηφία του είναι διαφορετικά και διαιρείται με το $11111$. 

Για παράδειγμα, ο αριθμός $1037489625$ είναι ένας ενδιαφέρων αριθμός. 

Πόσοι ενδιαφέροντες αριθμοί υπάρχουν;

Δοκιμασία δεξιοτήτων για την εισαγωγή στα Πρότυπα Γυμνάσια (2020) - ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Δείτε παρακάτω τα θέματα των παρελθόντων ετών:

2019

2018

Αποκοπή γωνίας

Αποκόπτουμε μία από τις γωνίες ενός τετραγώνου και δημιουργούμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο έτσι ώστε το άθροισμα των κάθετων πλευρών του να είναι ίσο με την πλευρά του τετραγώνου. 

Αποδείξτε ότι το άθροισμα των γωνιών υπό τις οποίες φαίνεται η υποτείνουσα από τις υπόλοιπες κορυφές του τετραγώνου ισούται με $90°$.

Περιοδικό Quantum

Συμμετρικές Ανισότητες: Επίλυση ανισοτήτων με το θεώρημα Muirhead

:

Πυθαγόρειο θεώρημα - Απόδειξη 184η

 Επιμέλεια:  Κώστας Δόρτσιος - Σωκράτης Ρωμανίδης 

Kάντε κλικ στο σχήμα.

Pythagorean theorem - Proof 184

Ευλογία και όχι κατάρα

Πανελλαδικές 2020: Τα θέματα Μαθηματικών ΕΠΑΛ (ΑΛΓΕΒΡΑ)

Δείτε εδώ τις λύσεις.

Ίδιο ΘΕΜΑ Β το 2017 και το 2020 !

ΘΕΜΑ Β (2017)

Δίνονται οι συναρτήσεις $ f(x) = lnx$ , $x > 0$  και

 $ g(x)= \dfrac{x}{1-x}$, $x \neq 1$.

B1. Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση $ f \circ g$.

B2. Αν

$h(x)= (f \circ g)(x) = ln \big( \dfrac{x}{1-x} \big) $, $x \in (0,1)$

να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $h$ αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφή της.

B3. Αν 

$φ(x) =h^{-1}(x) = \dfrac{e^x}{e^{x}+1}$, $x\in R$

να μελετήσετε τη συνάρτηση $φ$ ως προς τη μονοτονία, τα ακρότατα, την κυρτότητα και τα σημεία καμπής.

B4. Να βρείτε τις οριζόντιες ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης $φ$ και να τη σχεδιάσετε.

ΘΕΜΑ Β (2020)

Δίνονται οι συναρτήσεις:

$f: (1, + \propto)$, με τύπο $f(x) = \dfrac{x+2}{x-1}$ και
$g: R \rightarrow R$, με τύπο $g(x) = e^x$

B1. Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση $ f \circ g$.

B2. Αν

$(f \circ g)(x) =\dfrac{e^{x}+2}{e^{x}-1}$

, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $ f \circ g$ είναι ‘1-1’ και να βρείτε την αντίστροφή της.

B3. Αν

$φ(x) = (f \circ g)^{-1}(x)= ln \big(\dfrac{x+2}{x-1}\big)$ , $x > 1$

,να μελετήσετε τη συνάρτηση $φ$ ως προς τη μονοτονία.

B4. Αν $φ$ είναι η συνάρτηση του ερωτήματος Β3, να βρεθούν τα όρια

$ \lim_{x \rightarrow 1^+}φ(x)$ και $ \lim_{x \rightarrow + \infty }φ(x)$

Πανελλαδικές 2020: Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ

Δείτε τις λύσεις εδώ, από τη lisari team. 

ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ

Δείτε τις λύσεις εδώ, από τη lisari team. 

Ενδεικτικά θέματα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ για τη Δοκιμασία Δεξιοτήτων εισαγωγής στα Πρότυπα Γυμνάσια

Ενδεικτικά θέματα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ για τη Δοκιμασία Δεξιοτήτων εισαγωγής στα Πρότυπα Λύκεια

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό

 Toυ Αλέξανδρου Γ. Συγκελάκη 

Κόκκινο χρώμα

Στο παρακάτω σχήμα η γωνία $ΒΑΓ$ είναι $60^0$. Αν $ΑΗ = 3$, να βρεθεί το εμβαδόν της χρωματισμένης επιφάνειας. 

Δείτε τη λύση που μου έστειλε ο κ. Κ. Δόρτσιος: 

Τιμές του $n$

Nα βρεθεί το άθροισμα όλων των τιμών του 𝑛 για τις οποίες η εξίσωση 

$x^2 + nx + 3 - 2n = 0 $

έχει ακριβώς μία ρίζα.

α.  $-8$      β. $-1$      γ. $2$     δ. $6$     ε. $3$

Πεδίο ορισμού

Ποιο είναι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης: 

$𝑓(𝑥) = ημ\big( ln\frac{ \sqrt{4 - x^2} }{1-x} \big) $

α. $(1, 2)$ 

β. $(−∞, 1) ∪ (1, ∞)$ 

γ.$[−2,1) ∪ (1,2]$ 

δ. $(−2,1)$ 

ε. κανένα 

Ποιός?

Ποιος αριθμός είναι μεγαλύτερος 

$$2019^{2018+2020} < 2018^{2018}2020^{2020}$$

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Ενδιαφέρουσες ασκήσεις του σχολικού βιβλίου

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. i) Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων 

$f(x)=\dfrac{1}{x}$  και $g(x) = x^2 − 3x + 3$,

x ϵ (0,+∞) έχουν κοινή εφαπτομένη στο σημείο $A(1,1)$.

ii) Να βρείτε τη σχετική θέση των $C_f$ και $C_g$  στο διάστημα $(0,+∞)$.

-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-

2. Αν είναι παραγωγίσιμες συναρτήσεις στο $R$, με 

$f(0) = g(0)$ και $f ʹ(x) > gʹ(x)$ 

για κάθε x0ϵ R, να αποδείξετε ότι

$f(x) < g(x)$ στο $(−∞,0)$   και $f(x) > g(x)$   στο $(0, +∞)$.

-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-

6. i) Να μελετήσετε και να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση

$f(x)=\dfrac{lnx}{x}$.

ii) Να αποδείξετε ότι $α^{α+1} > (α + 1)^α$ για κάθε $α > e$.

Όριο

Έστω $f$ δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση στο $R$ τέτοια ώστε

$f(0) =1$, $f '(0) = 1$ και $f ''(0) = 2$. 

Να υπολογιστεί το όριο

$ \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{f(x) -  f' (x)}{ f' (x) - 1}$ 
-=-=-=-=-=-=-=-=-=-

H λύση που γράφει ο Μαρίνος Ματιάτος κάτω στα σχόλια: 

$\lim_{x\rightarrow 0}\ \frac{f(x)-f'(x)}{f'(x)-1}= \lim_{x\rightarrow 0}(\frac{x}{f'(x)-1}*\frac{f(x)-f'(x)}{x}= $

$\lim_{x\rightarrow 0}(\frac{x}{f'(x)-f'(0)}*\frac{f(x)-f'(x)}{x})= $

$\lim_{x\rightarrow 0}(\frac{x}{f'(x)-f'(0)}*\frac{f(x)-1+1-f'(x)}{x})= $

$\lim_{x\rightarrow 0}(\frac{x}{f'(x)-f'(0)}*\frac{f(x)-f(0)+f'(0)-f'(x)}{x})= $

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x}{f'(x)-f'(0)}*(\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)-f(0)}{x}-\lim_{x\rightarrow 0}\frac{(f'(x)-f'(0))}{x})=$

 $\frac{1}{f''(0)}*(f'(0)-f''(0))=\frac{1}{2}*(1-2) =-\frac{1}{2}$

Άθροισμα ριζών

Το πολυώνυμο  

$𝑦^4 − 10𝑦^3 + 29𝑦^2 − 22𝑦 + 4$ 

έχει $4$ θετικές ρίζες, να βρεθεί το άθροισμα των ριζών της εξίσωσης: 

$𝑒^{4x} − 10𝑒^{3x} + 29𝑒^{2x} − 22𝑒^{x} + 4 = 0 $

$α) ln4$     $β) ln10$     $γ) 4$     $δ) 10$     $ε) 1$

Μέγιστο εμβαδόν

Ποιο είναι το μέγιστο εμβαδόν ισοσκελούς τριγώνου με ίσες πλευρές μήκους $8$; 

$α. 16$     $β. 32$     $γ. 48$     $δ. 64$     $ε. 128$

Απάντηση χωρίς τη χρήση παραγώγων.

- Δείτε μία πολύ ωραία λύση που μου έστειλε ο συνάδελφος Σπύρος Γιαννάκαρος:

Συντελεστής

Να βρεθεί ο συντελεστής του όρου $𝑥^{2}𝑦^{2}𝑧^{2}$ του αναπτύγματος  

$(𝑥 + 𝑦 + 𝑧)^7$

$α. 210$     $β. 350$     $γ. 441$     $δ. 735$     $ε. 842$

Παραδείγματα και αντιπαραδείγματα για το Θέμα Α των Πανελληνίων Εξετάσεων

Πηγή: ΟΛΑ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ Γ΄ΛΥΚΕΙΟΥ

Ιωάννης Θωμαΐδης: Τα Μαθηματικά των Πανελλαδικών Εξετάσεων 2020 - Θεωρητική Προσέγγιση και Πρακτικές Οδηγίες

Με στόχο την ενημέρωση όλων των μελών της σχολικής κοινότητας (μαθητές, γονείς και εκπαιδευτικοί) και την καλύτερη προετοιμασία των μαθητών για τις Πανελλαδικές Εξετάσεις 2020, το Παράρτημα Σερρών της Ελληνικής

Αριθμητική τιμή

Έστω πολυώνυμο

$Ρ(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d$, 

όπου $a, b, c, d$ πραγματικοί αριθμοί.
Αν

$Ρ(1) = 827, Ρ(2) = 1654$ και $Ρ(3) = 2481$

τότε να βρεθεί η τιμή 

 $\dfrac{P(9) + P(−5)}{4}$

Πεδίο ορισμού

Να βρεθεί το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της συνάρτησης

$f(x)=\{(1,2),(3,4),(5,6),(7,8),(9,10),(10,10)\}$.

Μαθηματικά κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου: Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Διανύσματα

 Του Σπύρου Γιαννάκαρου 

Πηγή: mathamagicpath

USA Contests: AIME Problems 1983 - 2020

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Εμβαδόν ...κύματος

Να βρεθεί το εμβαδόν της γαλάζιας επιφάνειας.

Στο παρακάτω αρχείο δείτε τη λύση που μου έστειλε ο κ. K. Δόρτσιος: 

και εδώ το δυναμικό σχήμα geogebra.