Albert Einstein’s Clock

Σε ένα ρολόι με δύο δείκτες, υπάρχουν ορισμένες ιδιαίτερες στιγμές που είναι δυνατόν να ανταλλάξουμε τις θέσεις των δύο δεικτών (π.χ. 12:00). Ωστόσο, σε άλλη χρονική στιγμή, π.χ. 6:00,  η ένδειξη του ρολογιού είναι «χωρίς νόημα» μετά την ανταλλαγή, επειδή ο ωροδείκτης και ο λεπτοδείκτης δεν θα μπορούσαν ποτέ να βρίσκονται σε τέτοιες θέσεις. 

Μπορείτε να βρείτε τον αριθμό των ωρών από τις 00:00:00 έως τις 23:59:59 στις οποίες είναι δυνατή η ανταλλαγή; 

(Λέγεται ότι είχε τεθεί η ερώτηση αυτή στον Αϊνστάιν, από έναν φίλο του, που τον επισκέφτηκε στο σπίτι όταν ήταν ασθενής)

Μία επανάληψη στις Συναρτήσεις (καλοκαιρινή προετοιμασία)

Συναρτήσεις, Θανάσης Δρούγας

Διαδοχικά μηδενικά

O αριθμός

 $15! = 15\times14\times13\times … \times1$ 

έχει στο τέλος του τρία διαδοχικά $0$.
Πόσα διαδοχικά $0$ έχει στο τέλος του ο αριθμός $155!$

Η ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ (ΜΕΡΟΣ Α')

Τα θέματα των εξετάσεων των Προτύπων Γυμνασίων στα Μαθηματικά (2019)

Μαθηματικά ανοικτού τύπου

Αύριο οι εξετάσεις για τα Πρότυπα Γυμνάσια (3.073 υποψήφιοι μαθητές για 448 θέσεις)

“Μάχη” στην κυριολεξία θα δώσουν αύριο, μέσω εξετάσεων πανελλαδικού τύπου, συνολικά 3. 073 μαθητές που δήλωσαν ότι επιθυμούν να συνεχίσουν τη φοίτησή τους σε Πρότυπα Γυμνάσια.

Συνολικά οι θέσεις είναι 448 και ειδικότερα:

ATTIKH

ΒΑΡΒΑΚΕΙΟ ΠΡΟΤΥΠΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ: δήλωσαν υποψηφιότητα 751 μαθητές για 96 θέσεις

ΠΡΟΤΥΠΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ : δήλωσαν υποψηφιότητα 874 μαθητές για 78 θέσεις

Logarithm of a negative number

It is often said that we cannot take logarithm of a negative number. But wait! Suppose we can use complex numbers.

Euler formula

We begin with the Euler formula:

and put q = p, we get :

Therefore,

ln (– 1) = ip

If a > 0, then

ln (– a) = ln [a(– 1)] = ln a + ln (– 1) = ln a + ip

So, ln (– 2) = ln 2 + ip » 0.69315 + 3.1416 i

Προσεγγίσεις του π

Infinite beetle path

A high quality rubber band is fastened and hung from a horizontal pole with a cannonball at its end. Two facing ladybugs are crawling along this rubber band toward each other.

From their respective starting positions (8 cm apart -- see image), each small beetle crawls toward the other at a speed of 1 cm per second. However, in the length of time each beetle

Έχετε πρόβλημα; Στείλτε το στους μαθηματικούς!

ΜΙΑ ΙΔΙΑΙΤΕΡΗ ΥΠΗΡΕΣΙΑ

Πόσο συνηθισμένη είναι, άραγε, η εικόνα ενός επαγγελματία που… ξύνει το κεφάλι του μπροστά σε ένα μαθηματικό πρόβλημα; «Αντιμετωπίζετε στη δουλειά σας ένα πρόβλημα, του οποίου η λύση υποψιάζεστε ότι χρειάζεται μαθηματικές γνώσεις ή εμπειρία πέρα από αυτά που εσείς διαθέτετε;

Απευθυνθείτε σ’ εμάς. Θα προσπαθήσουμε να βοηθήσουμε», αναφέρουν καθηγητές του Τμήματος Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Κρήτης.

Απόδειξη ταυτότητας

Μπορούμε να αποδείξουμε την ταυτότητα 

$𝑥^ 3 − 1 = (𝑥 − 1)(𝑥^ 2 + 𝑥 + 1)$ 

απλά αντικαθιστώντας στο χ μερικές τιμές? Η απάντηση είναι: Ναι!

Απόδειξη

Έστω το πολυώνυμο 

$𝑝(𝑥) = 𝑥^3 − 1 − (𝑥 − 1)(𝑥^2 + 𝑥 + 1)$ 

τότε 

$𝑝(0) = 0^ 3 − 1 − (0 − 1)(0^ 2 + 0 + 1) = 0 $

$𝑝(1) = 1^ 3 − 1 − (1 − 1)(1^ 2 + 1 + 1) = 0 $

$𝑝(2) = 2^ 3 − 1 − (2 − 1)(2^ 2 + 2 + 1) = 0 $

$𝑝(3) = 3^ 3 − 1 − (3 − 1)(3^ 2 + 3 + 1) = 0$ 

Το $𝑝(𝑥)$ είναι τρίτου βαθμού και έχει τέσσερις ρίζες.Άρα $𝑝(𝑥) ≡ 0$, οπότε 

$𝑥^ 3 − 1 = (𝑥 − 1)(𝑥 ^2 + 𝑥 + 1)$ !

Στην Κύπρο η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα Νέων κάτω των 15,5 ετών

Η Κύπρος φιλοξενεί φέτος την 23η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα για μαθητές κάτω των 15,5 ετών (23rd Junior Balkan Mathematical Olympiad-JBMO 2019), η οποία θα διοργανωθεί στις 20-25 Ιουνίου 2019 από την Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία και η οποία τελεί υπό την αιγίδα του Υπουργείου Παιδείας και Πολιτισμού.

Στην Ολυμπιάδα συμμετέχουν χώρες μέλη καθώς και φιλοξενούμενες χώρες. Οι χώρες μέλη που θα συμμετάσχουν είναι εκτός από την Κύπρο, Ελλάδα, Ρουμανία, Βουλγαρία, Β. Μακεδονία, Μολδαβία, Αλβανία, Βοσνία-Ερζεγοβίνη, Μαυροβούνιο, Σερβία.

ΨΗΦΙΑΚΟ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟ: «Η ποιότητα της παρεχόμενης εκπαίδευσης στο σημερινό Σχολείο»

 Ισίδωρος Γλαβάς 

Ένα θέμα που απασχολεί την εκπαιδευτική κοινότητα, την κοινωνία και κάθε ενεργό πολίτη.

Αφιερώστε λίγα λεπτά για να απαντήσετε ανώνυμα στο ψηφιακό ερωτηματολόγιο που ακολουθεί. 

Η γνώμη σας και οι απαντήσεις σας είναι χρήσιμες για την πρακτική προσέγγιση του θέματος. Μάλιστα, αν προωθήσετε την ανάρτηση ή το ερωτηματολόγιο και σε άλλους φίλους σας, θα γινόταν μεγαλύτερο το δείγμα και πιο έγκυρο το αποτέλεσμα.

Σας ευχαριστώ για το χρόνο σας ! 

Ο σύνδεσμος του ερωτηματολογίου: εδώ. 

Special αριθμοί

Ένας αριθμός ονομάζεται special αν κάθε ένα από τα ψηφία του είναι μικρότερο από το ψηφίο που βρίσκεται προς τα αριστερά. 

Για παράδειγμα, ο αριθμός $5420$ είναι special. 

Πόσοι special αριθμοί υπάρχουν μεταξύ $200$ και $700$;

Math Olympiad training handouts

• Handouts from Canadian IMO Training camps
• Book recommendations

I have taught classes at various math olympiad training programs. Here are some of my handouts and training material.

If you don’t know where to start, I recommend Cyclic Quadrilaterals—The Big Picture and Three Lemmas in Geometry.

Αποφύγετε τα τρίγωνα

Ποιο είναι το μέγιστο πλήθος διαγωνίων που μπορούμε να φέρουμε σε ένα κυρτό επτάγωνο, έτσι ώστε να μην σχηματιστεί από τις διαγωνίους κανένα τρίγωνο με κορυφές που είναι και κορυφές τον επταγώνου;

Περιοδικό Quantum

Training problems for mathematical contests

Issue 1/2018  Statements ------- Issue 2/2017  Statements

Issue 1/2017  Statements ------- Issue 2/2016  Statements

Issue 1/2016  Statements ------- Issue 2/2015  Statements

Issue 1/2015  Statements ------- Issue 2/2014  Statements

Issue 1/2014  Statements ------- Issue 2/2013  Statements

Issue 1/2013  Statements ------- Issue 2/2012  Statements

Shortlisted problems for the Junior Balkan Mathematics Olympiad (2016)

Πολυγωνική αναζήτηση

Υπάρχει κάποιο κυρτό πολύγωνο χωρίς άξονα και κέντρο συμμετρίας που, όταν περιστραφεί κατά γωνία μικρότερη των 180° γύρω από ένα σημείo, επιστρέφει στην αρχική του θέση; 

Περιοδικό Quantum

$57χ34=1938$

Ψηφίο μονάδων

Σύστημα από τον Andreescu

Nα λυθεί το σύστημα:   

$x^ 2 − 2 = \sqrt{y + 2}$    

$y^ 2 − 2 =\sqrt{z + 2}$    

$z^2 − 2 = \sqrt{x + 2}$.  

Titu Andreescu, University of Texas at Dallas

$2πi = 0$

$e^{πi} + 1 = 0 $

$ e^{πi} = -1$ 

Υψώνουμε στο τετράγωνο και έχουμε:

 $e^{2πi} = 1$

$ e^{2πi} = e^0$ 

$ 2πi = 0$ 

Που βρίσκεται το λάθος;

Κόκκινο τρίγωνο

Τα δύο κανονικά εξάγωνα είναι ίσα και το τρίτο έχει εμβαδόν 10. 

Να βρεθεί το εμβαδόν του κόκκινου τριγώνου.

Ακτίνα κύκλου

Στο σχήμα υπάρχουν τέσσερις κύκλοι με ακτίνες $1, 2, 3$ και $r$.  

Να βρεθεί η ακτίνα $r$.

Εμβαδόν κύκλου

Να βρεθεί το εμβαδόν του κύκλου:

Artofproblemsolving.com: 2019 Math Contests

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Άρρητη κατάσταση

Να υπολογιστεί $$\left(\sqrt{3}^{\sqrt{2}}\right)^{\sqrt{8}}.$$

Ισόπλευρο εξάγωνο

Δίνεται ισόπλευρο εξάγωνο πλευράς 1 και γωνίες 

$$90^0, 120^0, 150^0, 90^0, 120^0, 150^0 $$

με αυτή τη σειρά.
Να βρεθεί το εμβαδόν του.

Harvard-MIT Math Tournament, November 2018

Μεγάλη ακρίβεια

Να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης με ακρίβεια πέμπτου   δεκαδικού ψηφίου, χωρίς να χρησιμοποιήσετε αριθμομηχανή: $$(\sqrt[3]{2}+1) \sqrt[3]{ \frac{1}{3}( \sqrt[3]{2}-1)}$$

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ 2019: Τα σημερινά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού (Ημερήσια Λύκεια)

Για να δείτε τις λύσεις κάντε κλικ εδώ.
Tα θέματα εδώ σε word.

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ 2019: Τα σημερινά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού (Εσπερινά Λύκεια)

Πότε θα τελειώσει αυτός ο μεσαίωνας των μαθηματικών;

 Του Γιώργου Παπαγεωργίου 

Τα τελευταία τέσσερα χρόνια η κοινότητα των μαθηματικών βάλλεται παντοιοτρόπως και οι τελικοί αποδέκτες αυτών των χτυπημάτων δυστυχώς είναι οι μαθητές. Έτσι:

1. Για πρώτη φορά στην ιστορία της εκπαίδευσης διδάσκουν τα μαθηματικά του γυμνασίου τόσοι πολλοί καθηγητές άλλων ειδικοτήτων. (άραγε ποια επάρκεια μαθηματικών λαμβάνει κάποιος στα ΤΕΙ πληροφορικής;)

2. Στα μαθηματικά προσανατολισμού της β’ λυκείου οι ώρες διδασκαλίας μειώθηκαν κατά 33%, χωρίς να μειωθεί αντίστοιχα η διδακτέα ύλη.

3. Καταργήθηκαν οι προαγωγικές εξετάσεις στην Άλγεβρα και στη Γεωμετρία της Β΄ λυκείου (Το ρητό «Επανάληψις, μήτηρ πάσης μαθήσεως» πάει περίπατο!)

Γωνίες τραπεζίου

Οι διαγώνιοι τραπεζίου τέμνονται στο και είναι  και

Να βρείτε τα μέτρα των γωνιών του τραπεζίου.

Πηγή

Η εξέλιξη της εκπαίδευσης

Εφαρμόζοντας τα Μαθηματικά στην καθημερινότητα

ΕΦΑΡΜΟΖΟΝΤΑΣ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
ΤΗΣ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ 2019: Τα θέματα των Μαθηματικών (Άλγεβρα) που διαγωνίστηκαν σήμερα οι υποψήφιοι των ΕΠΑΛ

Απονομή βραβείων

Σε μια μαθηματική Ολυμπιάδα, 100 μαθητές κλήθηκαν να λύσουν τέσσερα προβλήματα. Το πρώτο πρόβλημα απαντήθηκε από 90 ακριβώς μαθητές, το δεύτερο από 80, το τρίτο από 70 και το τέταρτο από 60. 

Ουδείς διαγωνιζόμενος απάντησε και στα τέσσερα προβλήματα. Οι μαθητές που έλυσαν το τρίτο και το τέταρτο πρόβλημα κέρδισαν ένα βραβείο. Πόσοι ήταν οι μαθητές που βραβεύθηκαν; 

Περιοδικό «Μαθηματικά Χρονικά»

Κάντε κλικ στα εξώφυλλα.

Artofproblemsolving.com: 2018 Math Contests

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Νι παραγοντικό (Ν!)

Ανισότητες από το Mathematical Excalibur