Πυθαγόρειο θεώρημα

Η χρησιμότητα των υπαρξιακών θεωρημάτων στην μελέτη των συναρτήσεων

 Του Ιωάννη Σαράφη 

Περιοδικό Ευκλείδης Β’, τεύχος 110

Το πρόγραμμα της 11ης Μαθηματικής Εβδομάδας 2019

Παναρσακειακό διαγώνισμα Α΄ Λυκείου Άλγεβρα (2019)

Πηγή

Τα αποτελέσματα του μαθηματικού διαγωνισμού «Μικρός Θαλής» 2018

Οι μαθητές που διακρίθηκαν στον διαγωνισμό, θα βραβευτούν στην 11η Διεθνή Μαθηματική Εβδομάδα, Συνεδριακό Κέντρο Ν. Γερμανός HELEXPO.

ημ(α + β) = ημα‧συνβ + συνα‧ημβ

Ψευδείς προτάσεις της Ανάλυσης που φαίνονται να είναι αληθείς

Eισήγηση του Γιώργου Πολύζου από την ημερίδα της Λάρισας (2/3/2019), που διοργάνωσε η Ε.Μ.Ε Λάρισας.

Πηγή

9η Ημερίδα Μαθηματικών στην Ελληνογαλλική Σχολή Καλαμαρί (Βίντεο & Πρακτικά)

Το Σάββατο 02/3/2019 πραγματοποιήθηκε με μεγάλη επιτυχία η 9η Ημερίδα Μαθηματικών στην Ελληνογαλλική Σχολή Καλαμαρί.

Ένα μεγάλο ευχαριστώ σε όσες και όσους με την παρουσία τους τίμησαν την εκδήλωση.

ΕΙΣΗΓΗΣΕΙΣ:

κ. Σωτήρης Μαρκάδας, τ. Σχολικός Σύμβουλος Πρωτοβάθμιας Εκπαίδευσης 13ης Περιφέρειας Θεσσαλονίκης

«Διδακτικά προβλήματα προς επίλυση: η μοντελοποίηση και η επίλυση προβλημάτων στα Μαθηματικά του Δημοτικού σχολείου»

Ημερίδα για τα Μαθηματικά στις Πανελλαδικές Εξετάσεις στα Γιαννιτσά

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Ισχυρισμοί και αντιπαραδείγματα

 Του Θανάση Ξένου 

 Του Παναγιώτη Βιώνη 

Θέματα και Λύσεις του 13ου Μαθητικού Διαγωνισμού "Παιχνίδι και Μαθηματικά" (01-3-2019)

Θέματα για τους μαθητές της Ε' τάξης

Θέματα για τους μαθητές της ΣΤ' τάξης

Λύσεις για τους μαθητές της Ε' τάξης

Λύσεις για τους μαθητές της ΣΤ' τάξης

Αόριστο ολοκλήρωμα

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:

Ο.Ε.Φ.Ε - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2019 (A΄ ΦΑΣΗ)

ΑΛΓΕΒΡΑ Α' Λυκείου 

Εκφωνήσεις - Απαντήσεις

ΑΛΓΕΒΡΑ Β' Λυκείου 

Εκφωνήσεις - Απαντήσεις

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β' Λυκείου 

Εκφωνήσεις - Απαντήσεις

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' Λυκείου 

Εκφωνήσεις - Απαντήσεις

Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2019 (9η τάξη) - Πρόβλημα 3ο

Σε οξυγώνιο τρίγωνο  φέρουμε τα ύψη  και . Έστω  το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου . Να αποδείξετε, ότι η απόσταση του σημείου  από την ευθεία  είναι ίση με την απόσταση του σημείου  από την ευθεία .

Λύση

Αρκεί να δείξουμε ότι $(AOB') = (BOA')$ αφού έχουν βάσεις  $OA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,OB$ ίσες. Είναι:

$2(AOB') = AO \cdot AB' \cdot \sin \theta  = R \cdot AB' \cdot \dfrac{{BA'}}{c}$   και

Δύσκολο όριο

 Να υπολογιστεί το όριο:

$$\lim_{x \to\infty}(e^{\sqrt{x^{2}+1}}- e^x)$$

Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2019 (9η τάξη)

Πρόβλημα 1 

Ο βασιλιάς κάλεσε δυο ιππότες και τους ανέθεσε μια αποστολή: ο πρώτος σκέφτεται διαφορετικούς μη μηδενικούς φυσικούς αριθμούς με άθροισμα 100, κρυφά τους ανακοινώνει στον βασιλιά, αλλά στον δεύτερο ιππότη ανακοινώνει μόνο τον τέταρτο κατά μέγεθος εξ αυτών των αριθμών, ύστερα από το οποίο ο δεύτερος πρέπει να μαντέψει τους αριθμούς.
Οι ιππότες δεν έχουν την δυνατότητα να συνεννοηθούν μεταξύ τους. Μπορούν άραγε οι ιππότες εγγυημένα να φέρουν εις πέρας την αποστολή;

Πρόβλημα 2 

Να βρείτε τον ελάχιστο φυσικό αριθμό , για τον οποίο ο διαιρείται με τον .

Ελάχιστο εμβαδόν

Από σημείο του πρώτου τεταρτημορίου, της καμπύλης με εξίσωση , φέρουμε εφαπτομένη και κάθετη στον , σχηματίζοντας το ορθογώνιο τρίγωνο . 

Δείξτε ότι το ελάχιστο εμβαδόν αυτού του τριγώνου επιτυγχάνεται, όταν πράγματι η εφαπτομένη διέρχεται από την αρχή των αξόνων.

Πηγή

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ΄Λυκείου: 1ο Επαναληπτικό Διαγώνισμα (2018-19) από το askisopolis

Διαδικτυακό μαθηματικό περιοδικού "ΜΕΛΕΤΗ", τεύχος 4ο

Κάντε κλικ στην εικόνα.

ΒΙΒΛΙΟ: Καγκουρό: Μαθηματικά για όλους, τόμος 6

 Μ. Λάμπρου - Ν.Κ. Σπανουδάκη 

Γραφική παράσταη

Ποια από τις παρακάτω γραφικές παραστάσεις αποτελεί το σύνολο των λύσεων της εξίσωσης

$(χ- \mid χ \mid )^2+ (ψ- \mid ψ \mid )^2=4$.

Δύο νομίσματα

Δύο νομίσματα βρίσκονται σε ένα κουτί. Το ένα είναι κανονικό κέρμα και το άλλο έχει "κορώνα" και στις δύο πλευρές του.

Επιλέγουμε τυχαία ένα κέρμα από το κουτί και το ρίχνουμε στον αέρα και  αυτό προσγειώνεται στο έδαφος. Αυτό το κάνουμε 10 φορές. Και τις 10 φορές το νόμισμα δείχνει "κορώνα".
Ποια είναι η πιθανότητα να έχουμε επιλέξει το κανονικό κέρμα;

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2019

Επαναληπτικό Διαγώνισμα μέχρι και την παράγραφο 3.1.

Πηγή

$f (\dfrac{1}{∆^2}) ≥ 0$

Έστω $f(x) = ax^2 + bx + c$, όπου $a < 0 < b$ και $b\sqrt[3]{c} \geq  \dfrac{3}{8}  $. 

Να αποδείξετε ότι 

$f (\dfrac{1}{∆^2}) ≥ 0$

όπου $∆ = b^2 − 4ac$.

Titu Andreescu, University of Texas at Dallas, USA

Φύλλα Εργασίας Άλγεβρας Α΄ & Β΄ Λυκείου

Πηγή 

Βιβλίο - Σημειώσεις: Εισαγωγή στην Θεωρία Αριθμών

Χρόνια πολλά στο π = 3,14.... και μακριά από την πολιτική!

Η 14η Μαρτίου (3.14 με το αμερικάνικο σύστημα, όπου ο μήνας μπαίνει πρώτος) γιορτάζεται διεθνώς ως International Pi (π) Day. Δεν σχολιάζω την αναγόρευση σε γιορτή--ας είναι. 

Αλλά με την ευκαιρία αυτή, συμμετέχοντας στους εορτασμούς' που λένε, αναφέρω ένα άκρως ενδιαφέρον στοιχείο από την ιστορία του π, που αφορά πολύ τη λεγόμενη μετα-αλήθεια, τα fake news, και όλα τα σχετικά, που ανάγονται στον πολιτικό χειρισμό της αλήθειας.

Απόστολος Δοξιάδης: «Έτσι ερωτεύτηκα τα μαθηματικά»

Ο Απόστολος Δοξιάδης θυμάται πώς μέσα από τις σελίδες του βιβλίου «Θεωρία των Συνόλων», που διάβασε στα 15 του, άγγιξε για πρώτη φορά το απόγειο της αίσθησης της υπερβατικής ομορφιάς των μαθηματικών και την υπόσχεση για την αποκάλυψη της πεμπτουσίας της αλήθειας.  

«Στη μαγεία των μαθηματικών, όπως τη βίωσα τότε, είδα την υπόσχεση για την αποκάλυψη της πεμπτουσίας της αλήθειας. Είχα την αίσθηση ότι, προχωρώντας κι άλλο στη μελέτη τους, αργά ή γρήγορα θα αντίκριζα το Απόλυτο.

Νέο ρεκόρ της σταθεράς του «π»

Σήμερα, την ημέρα του παγκόσμιου εορτασμού του αριθμού π (η διάσημη μαθηματική σταθερά σύμφωνα με την οποία «η διάμετρος του κύκλου χωρά περίπου 3,14 φορές στην περιφέρειά του»), ανακοινώθηκε ένα νέο ρεκόρ που συνδέεται με τα ψηφία του αριθμού.

Να υπενθυμίσουμε ότι ο π είναι ένας άρρητος αριθμός και, συνεπώς, συνοδεύεται επίσης από ένα άπειρο αριθμό, μη επαναλαμβανόμενων περιοδικά, δεκαδικών ψηφίων. Η μαθηματική σταθερά π είναι ένας πραγματικός αριθμός που

Circumscribed Ellipse

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΤΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ: ΙΣΤΟΡΙΑ ΑΡΧΑΙΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

Οι Εκδόσεις ΕΚΚΡΕΜΕΣ έχουν την τιμή να σας προσκαλέσουν στην παρουσίαση, η οποία θα πραγματοποιηθεί την Τετάρτη 3 Απριλίου 2019 και ώρα 19:00 στο Αμφιθέατρο «Άλκης Αργυριάδης» (κεντρικό κτήριο ΕΚΠΑ, Πανεπιστημίου 30).

Κορώνα - Γράμματα

Ο Νίκος και ο Φάνης παίζουν ένα παιχνίδι. Ρίχνουν ένα αμερόληπτο νόμισμα στον αέρα επανειλημμένα. Ο Νίκος κερδίζει μόλις εμφανιστεί η σειρά ΚΚΓ.
Ο Φάνης κερδίζει όταν εμφανιστεί η σειρά ΓΚΓ. Το παιχνίδι τελειώνει όταν κερδίζει ένας από αυτούς.
Ποιες είναι οι πιθανότητες νίκης για κάθε παίκτη;

Περίεργη ιδιότητα

Θεωρούμε τον αριθμό $39$.

Ο μικρότερος πρώτος και ο μεγαλύτερος πρώτος παράγοντας του $39$ είναι $3$ και $13$.

Οι πρώτοι αριθμοί μεταξύ των αριθμών $3$ και $13$ είναι $3, 5, 7, 11,13$. 

Παρατηρούμε ότι

$39 = 3 + 5 + 7 + 11 + 13$.

 Ποιος είναι ο επόμενος αριθμός που έχει αυτή την ιδιότητα;

Μικρή βοήθεια: Ο αριθμός είναι μεγαλύτερος από το $100$.

Γκούγκολ

Ένα googol αντιστοιχεί σε μία μονάδα, ακολουθούμενη από 100 μηδενικά. Ο όρος επιννοήθηκε από τον εννιάχρονο Μίλτον Σιρόττα, ανηψιό του Αμερικανού μαθηματικού Έντουαρντ Κάσνερ το 1938 και εκφράζει τον αριθμό $10^{100}$:

1 googol = 

$10^{100}$ = 

10.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.

000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.

000.000.000.000.000.000.000.000.000.000

Ολογράφως, πρόκειται για τον αριθμό δέκα τριακονταδυάκις εκατομμύρια. Σ'αυτόν τον αριθμό οφείλει η γνωστή εταιρία "Google" το όνομά της, το οποίο αποτελεί μια παράφραση της

Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ: Ασκήσεις Γεωμετρίας από το φροντιστήριο «ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ»

Πηγή