Πυθαγόρειο θεώρημα - Απόδειξη 171η

 Επιμέλεια:  Κώστας Δόρτσιος - Σωκράτης Ρωμανίδης 

Kάντε κλικ στο σχήμα.

Pythagorean theorem - Proof 171

Διαγαλαξιακή αυτοκρατορία

Στην διαγαλαξιακή αυτοκρατορία υπάρχουν $10^{2015}$ πλανήτες, οποιοιδήποτε δύο από τους οποίους συνδέονται με μια κοσμική γραμμή διπλής κατεύθυνσης. Αυτές οι συνδέσεις εξυπηρετούνται από $2015$ μεταφορικές εταιρείες. 

Ο αυτοκράτορας θέλει να κλείσει $k$ από αυτές τις εταιρίες έτσι, ώστε, χρησιμοποιώντας τις υπόλοιπες να μπορεί κάποιος να βρει τρόπο να μεταφερθεί από οποιοδήποτε πλανήτη σε κάποιον άλλο. Για ποιο μέγιστο $k$ με σιγουριά μπορεί να επιτευχθεί ένα τέτοιο πλάνο;

Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 

Μήκος κορδονιού

Ένα κορδόνι το τυλίγουμε συμμετρικά γύρω από μία κυλινδρική ράβδο. Το κορδόνι γυρίζει τέσσερις φορές ακριβώς γύρω από τη ράβδο. 

Η περιφέρεια της ράβδου είναι 4 εκατοστά και το μήκος της είναι 12 εκατοστά. Βρείτε το μήκος του κορδονιού. 

Τα Στοιχεία του Ευκλείδη στην ψηφιακή εποχή

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Β΄ Λυκείου: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2018

Πρόβλημα 1

Να βρείτε όλα τα ζεύγη θετικών ακεραίων, για τα οποία ισχύει .

Πρόβλημα 2

Έστω συνάρτηση , για την οποία ισχύει για κάθε .

Να αποδείξετε ότι:

i. Η είναι .

ii. , για κάθε

iii. Η είναι περιττή.

Μαθηματικά κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου: Διαγώνισμα στα Διανύσματα

Πηγή

Κυκλική παραλλαγή

Γράφω τον κύκλο που διέρχεται από το περίκεντρο $O$ τριγώνου $ABC$ και εφάπτεται στην $BC$.

Αν είναι ένα εφαπτόμενο τμήμα του κύκλου, να δείξετε ότι

Πηγή

Γ΄ Λυκείου: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2018

Πρόβλημα 1

Έστω πραγματική συνάρτηση, συνεχής στο διάστημα και ομόσημοι πραγματικοί αριθμοί.

Να αποδείξετε ότι η εξίσωση

   

έχει λύση στο διάστημα .

Πρόβλημα 2

i. Να αποδείξετε ότι κάθε πρώτος αριθμός γράφεται ως ή , για κάποιον θετικό ακέραιο .

ii. Δίνονται οι αριθμοί , όπου πρώτος αριθμός. 

Να βρείτε όλες τις τριάδες τέτοιες, ώστε οι να είναι πρώτοι αριθμοί.

Ζόρικα τα κυβικά της

Να λυθεί η εξίσωση $$\sqrt[3]{x^3+3x^2-4}-x=\sqrt[3]{x^3-3x+2}-1.$$

Adrian Andreescu, University of Texas, USA

Κύκλοι εφαπτόμενοι εσωτερικά

Δύο κύκλοι εφάπτονται εσωτερικά στο $A$ και μία τυχαία ευθεία τους τέμνει διαδοχικά στα σημεία $B,C,D,E$. 

Να δείξετε ότι 

Πηγή

Θεώρημα Morley: Δύο νέες αποδείξεις

 Του Σωτήρη Λουρίδα 

8 τρίγωνα

Στο παρακάτω σχήμα το εξωτερικό τετράγωνο είναι πλευράς 10 και το οκτάγωνο στο εσωτερικό του είναι κανονικό.

Να βρεθεί το εμβαδόν των 8 χρωματισμένων τριγώνων.

ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ: Ο νέος Διαγωνισμός Μαθηματικών της ΕΜΕ (έναρξη 2019)

Διαγωνισμός της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας για μαθητές Δημοτικού και Γυμνασίου.

Ο διαγωνισμός θα πραγματοποιηθεί στις 9 Φεβρουαρίου 2019, ημέρα Σάββατο. Εγγραφές μαθητών από 15 Νοεμβρίου 2018.

Έναν νέο πρωτότυπο ως προς τους στόχους του διαγωνισμό για μαθητές και μαθήτριες των τάξεων Γ΄ έως ΣΤ ΄ Δημοτικού καθώς και Α΄ και Β΄ Γυμνασίου θα διοργανώσει στις αρχές Φεβρουαρίου 2019 η Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία (ΕΜΕ).

Περιοδικό Εικοσιδωδεκάεδρον τ. 20

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: 1ο Διαγώνισμα για το 2018, από το study4exams

Μαθηματικά προσανατολισμού Γ΄ Λυκείου: 31 Επαναληπτικά διαγωνίσματα στις συναρτήσεις, τα όρια και τα θεωρήματα συνέχειας

1. Επαναληπτικό διαγώνισμα στις Συναρτήσεις στα όρια και στα θεωρήματα συνέχειας (2018-19)

2. Επαναλητικό διαγώνισμα στο 1ο Κεφάλαιο

3. Επαναληπτικό διαγώνισμα στις Συναρτήσεις  -Όρια και τα θεωρήματα Συνέχειας

4. Διαγώνισμα στα όρια και στη συνέχεια

5. Επαναληπτικό διαγώνισμα στις Συναρτήσεις και τα Όρια

6. 1ο Επαναληπτικό διαγώνισμα περιόδου 2017-18 στις Συναρτήσεις και τα όρια

7. 2ο Επαναληπτικό διαγώνισμα περιόδου 2017-18 στις Συναρτήσεις και τα όρια

8. ,Τρίωρο διαγώνισμα στα όρια και στη συνέχεια(2016-17)

9. Τρίωρο διαγώνισμα στα όρια και στη συνέχεια

10. 1ο Επαναναληπτικό διαγώνισμα 2016-17 στις συναρτήσεις- Όρια και συνέχεια συνάρτησης

Στα ίχνη της μαθηματικής επαγωγής

Εισήγηση των Χ. Κυριαζή και Ε. Πρωτοπαπά στο 35ο συνέδριο της ΕΜΕ.

Poland in Mathematical Olympiads

On this page, we put the information on the math olympiads Polish high school students take part in, as well as the problem sets.

Kάντε κλικ στην εικόνα.