Πυθαγόρειο θεώρημα - Απόδειξη 170η

 Επιμέλεια:  Κώστας Δόρτσιος - Σωκράτης Ρωμανίδης 

Kάντε κλικ στο σχήμα.

Pythagorean theorem - Proof 170

Άλματα βάτραχου

Ένας βάτραχος τοποθετείται στην αρχή των των αξόνων $Ο(0,0)$ στο επίπεδο συντεταγμένων. Από το σημείο $ (x, y) $, ο βάτραχος μπορεί να μεταπηδήσει σε οποιοδήποτε από τα σημεία 

$ (χ + 1, γ), (χ + 2, γ), (χ, γ + 1)$ ή $(x, y + 2)$. 

Βρείτε τον αριθμό των διαφορετικών ακολουθιών των αλμάτων, με τα οποία ο βάτραχος αρχίζει από το σημείο $ (0,0)$ και τελειώνει στο $(4,4) $.

AIME 2018

Ανισοτική με ολοκλήρωμα

Έστω συνάρτηση $f: [0, +∞) → [0, +∞)$ παραγωγίσιμη με συνεχή παράγωγο τέτοια ώστε 

$f(f(x)) = x^2$, για κάθε $x ≥ 0$. 

Nα αποδείξετε ότι 

$\int_0^1(f' (x))^2dx ≥\dfrac{30}{31}$. 

Επαναληπτικό διαγώνισμα για την Γ΄ Λυκείου (μέχρι και το Θεώρημα Bolzano)

Πηγή

Όμορφη καθετότητα 2

Έστω $AD, BE, CF$ τα ύψη οξυγώνιου τριγώνου ABC και $H, O$ το ορθόκεντρο και το περίκεντρο αντίστοιχα. 

Αν $K$ είναι το μέσο του $HO$ και οι $BE, CF$ τέμνουν τις $DF, DE$ στα $M, N$ αντίστοιχα, να δείξετε ότι $ΑK \bot MN$. Πηγή

11ος Ηµαθιώτικος Μαθητικός Διαγωνισµός στα Μαθηµατικά «Η ΥΠΑΤΙΑ»

8ος Βοιωτικός Μαθητικός Διαγωνισμός στα Μαθηματικά «ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ ΣΤΑΜΑΤΗΣ Ι»

79oς Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Ο Θαλής» - ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ

Περιοδικό "Εικοσιδωδεκάεδρον" - Τεύχος 19 (Σεπτέμβριος 2018)

Kάντε κλικ στην εικόνα.

Ωραία διχοτόμος

Έστω $I$ το έγκεντρο τριγώνου $ABC$ Ο $A$- παρεγγεγραμμένος κύκλος $(ω)$ εφάπτεται της $BC$ στο $D$.

Η επανατέμνει τον στο να δείξετε ότι η διχοτομεί τη γωνία

Πηγή

Γωνία απ' το πουθενά

Από τις κορυφές $A,C$ τριγώνου $ABC$ φέρνουμε εφαπτόμενες στον περίκυκλό του, που τέμνουν τις $BC,BA$ στα  $D,E$ αντίστοιχα. 

Αν είναι ένα κοινό σημείο των κύκλων να υπολογίσετε τη γωνία

Πηγή

Όλα τα θέματα πανελλαδικών εξετάσεων στα Mαθηματικά είναι εδώ

Στο ιστολόγιο blogs.sch.gr/pavtryfon είναι συγκεντρωμένα 174 θέματα πανελλαδικών εξετάσεων στα Μαθηματικά (περίοδος 2000-2018).

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2018 (όλα τα θέματα λυμένα εδώ )

————————————–

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2017 (όλα τα θέματα λυμένα εδώ ) 

————————————–

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ

Μαθηματικά Γ Λυκείου Γενικής Παιδείας (32 θέματα)

Μαθηματικά προσανατολισμού Γ Λυκείου (30 θέματα)

Τρία προβλήματα

Να βρεθούν όλα τα πολυώνυμα $P(x)$ με πραγματικούς συντελεστές για τα οποία ισχύει

$P(P (x)) = (x^2 + x + 1)\cdot P(x)$

όπου $x \in \mathbb{R}$.

---------------

Ο φυσικός αριθμός $Μ$ έχει $6$ διαιρέτες, των οποίων το άθροισμα είναι ίσο με $3500$. 

Να βρεθεί ο αριθμός $Μ$.

---------------

Στο κυρτό τετράπλευρο $ABCD$ με $\angle{BAD}=90^0$ και

$\angle{BAC}=2\cdot\angle{BDC}$ και $\angle{DBA}+\angle{DCB}=180^0$

Να βρεθεί η γωνία $\angle{DBA}$.

Azerbaijan National Olympiad 2015