Βασικός λόγος

Δίνεται τραπέζιο $ABCD$ με βάσεις $AB=a, DC=b, a>b$, όπου η $AC$ είναι διχοτόμος της γωνίας $B\widehat AD$. 

Αν οι διαγώνιοι του τραπεζίου τέμνονται στο $E$ και $(ADC)=(ABE)$, να υπολογίσετε το λόγο $\dfrac{a}{b}$.

Πηγή

ΒΙΒΛΙΟ: Leonhard Euler: Life, Work and Legacy (pdf)

Click on the image.

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ | Ασκήσεις με τετράγωνα - 112

Δίνεται τετράγωνο $\displaystyle{{\rm{ABCD}}}$, πλευράς $\displaystyle{a}$. Σημείο $\displaystyle{S}$, κινείται επί της $\displaystyle{AB}$ και η κάθετη $\displaystyle{{\rm{AM}}}$ στην $\displaystyle{DS}$, τέμνει την $\displaystyle{BC}$ στο $\displaystyle{E}$ και την $\displaystyle{BD}$ στο $\displaystyle{Q}$.

Αν $\displaystyle{N}$ είναι το μέσον της $\displaystyle{MD}$

1.Βρείτε τη θέση του $\displaystyle{S}$ ώστε $\displaystyle{BM \bot AN}$

2.Για την παραπάνω θέση του $\displaystyle{S}$, βρείτε το λόγο

$\displaystyle{\lambda = \frac{{\left( {DCEQ} \right)}}{{\left( {QBA} \right)}}}$. 

Πηγή: mathematica

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ | Ασκήσεις με τετράγωνα - 111

Σημείο $S$ κινείται στη βάση $AB$ τετραγώνου $ABCD$. Φέρω $AT \perp DS$. Η $BT$ τέμνει την $AD$ στο σημείο $M$. 

Εντοπίστε τη θέση του $S$ αν: 

1) $\displaystyle AM=\frac{AD}{3}$ 

2) Το $M$ είναι μέσο της $AD$.

Πηγή: mathematica

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ | Ασκήσεις με τετράγωνα - 110

Το $M$ είναι το μέσο της πλευράς $BC$ τετραγώνου $ABCD$. Η μεσοκάθετος του $AM$ τέμνει τις $AB,CD$ στα σημεία $S,T$ αντίστοιχα.

Τι ποσοστό του $(ABCD)$ αποτελεί το $(MST)$?

Πηγή: mathematica

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ | Ασκήσεις με τετράγωνα - 109

Τα μικρότερα τετράγωνα έχουν βάσεις τα τμήματα $AS=a$ και $SB=b$, της πλευράς $AB$, του τετραγώνου $ABCD$. 

Βρείτε το λόγο \displaystyle $\dfrac{a}{b}$, αν τα σημεία $D,E,Z$ είναι συνευθειακά.

Πηγή; mathematica

Τα σχολικά βιβλία Μαθηματικών Α΄, Β΄ και Γ΄ Γενικού Λυκείου

Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Άλγεβρα Α΄ Λυκείου  

Β ΛΥΚΕΙΟΥ 

Άλγεβρα Β΄ Λυκείου  

Στατιστική Β Λυκείου 

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου 

Ευκλείδεια ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Α & Β Λυκείου Ευκλείδεια Γεωμετρία

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Γ Λυκείου ομάδες προσανατολισμού 

Γ Λυκείου Γενικής Παιδείας 2020 (Πιθανότητες & Στατιστική) 

Παλαιό βιβλίο Γ Λυκείου Γενικής Παιδείας

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ | Ασκήσεις με τετράγωνα - 108

Στο σχήμα τα δύο τρίγωνα είναι ισόπλευρα και τρία τετράγωνα εφάπτονται στις πλευρές τους. Να βρεθεί ο λόγος των εμβαδών των δύο ισόπλευρων τριγώνων.

Πηγή: mathematica

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ | Ασκήσεις με τετράγωνα - 107

Με τα δεδομένα μήκη των τμημάτων επί των πλευρών του τετραγώνου $ABCD$: 

1) Δείξτε ότι οι ροζ γωνίες είναι ίσες , οι κόκκινες είναι ίσες και η μαύρη ορθή . 

2) Δείξτε ότι $DS=3SL$ και $\displaystyle MT=TS=\frac{3}{2}SN$ 

3) Δείξτε ότι $(BLST)-(BTM)=3$.

Πηγή: mathematica

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ | Ασκήσεις με τετράγωνα - 106

Δίνεται ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ${\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta$ με ${\rm A}{\rm B} = 3\alpha$. Στις πλευρές ${\rm A}{\rm B}$ και $\Gamma \Delta$ παίρνουμε τα τμήματα ${\rm A}{\rm E} = {\rm E}{\rm Z} = {\rm Z}{\rm B} = \alpha$ και $\Delta {\rm H} = {\rm H}\Theta = \Theta \Gamma = \alpha$ αντίστοιχα και κατασκευάζουμε, στο εσωτερικό του ορθογωνίου τα τετράγωνα $EZKT$ και $\displaystyle{{\rm H}\Theta \Lambda {\rm M}}$.

Αν οι ευθείες ${\rm Z}{\rm T}$ και $\Theta {\rm M}$ τέμνονται σε σημείο ${\rm N}$ της ${\rm A}\Delta$, τότε: 

α. Να υπολογίσετε την πλευρά ${\rm A}\Delta$ σαν συνάρτηση του \alpha . 

β. Να δείξετε ότι το τετράπλευρο ${\rm N}{\rm P}\Sigma \Pi$ που σχηματίζεται από τα σημεία τομής των ευθειών $\Gamma \Lambda ,\;\Theta {\rm M},\;{\rm B}{\rm E}$ και ${\rm Z}{\rm T}$ είναι τετράγωνο και ισχύει $\left( {{\rm H}\Theta \Lambda {\rm M}} \right) = 2\left( {{\rm N}{\rm P}\Sigma \Pi } \right)$.

Πηγή: mathematica

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ | Ασκήσεις με τετράγωνα - 105

Αποδείξτε ότι το άθροισμα των εμβαδών των μπλε τετραγώνων είναι τριπλάσιο του αθροίσματος των εμβαδών των καφέ τετραγώνων.

Πηγή: mathematica

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ | Ασκήσεις με τετράγωνα - 104

Δίνεται ο κύκλος $\left( {O,1} \right)$ και στο εσωτερικό του τετράγωνο ${\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta$ πλευράς ίσης με $1$ και οι κορυφές $\Gamma ,\Delta$ να είναι σημεία του κύκλου. 

Περιστρέφουμε με τη φορά των δεικτών του ρολογιού, το τετράγωνο γύρω από το σημείο $\Gamma$ μέχρι το σημείο ${\rm B}$ να συναντήσει τον κύκλο. Να βρεθεί το μήκος του τόξου που διαγράφει το σημείο ${\rm A}$.

Πηγή: mathematica

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ | Ασκήσεις με τετράγωνα - 103

Από σημείο $S$ που βρίσκεται στην προέκταση της πλευράς $AB$, τετραγώνου $ABCD$, φέρω την ευθεία $SC$, η οποία τέμνει την προέκταση της $AD$ στο $P$ και το τμήμα $SD$, το οποίο τέμνει την BC στο $Q$. 

Δείξτε ότι $PB \perp AQ$.

Πηγή: mathematica

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ | Ασκήσεις με τετράγωνα - 102

Σημείο $S$ κινείται επί της πλευράς $AD$, τετραγώνου $ABCD$, με την $AS$ να τέμνει την $AC$ στο $T$. Σχεδιάζω προς το μέρος της $DC$, τα τετράγωνα $BSPQ$ και $BTLN$. 

Δείξτε ότι η κορυφή $Q$ του μεγάλου τετραγώνου και η κορυφή $L$ του μικρού, κινούνται επί της ευθείας $DC$ και υπολογίστε την ελάχιστη απόστασή τους .

Πηγή: mathematica

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ | Ασκήσεις με τετράγωνα - 101

Από την κορυφή $A$ τετραγώνου $ABCD$ σχεδιάζουμε δύο ευθείες μέσα στο τετράγωνο. Από τις κορυφές $B\,\,\kappa \alpha \iota \,\,D$ φέρνουμε κάθετα τμήματα προς τις ευθείες. 

Τα $BK\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DM$ προς την μια, τα $BL\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DN$ προς την άλλη. 

Δείξετε ότι τα $KL\,\,\kappa \alpha \iota \,\,MN$, είναι μεταξύ τους ίσα και κάθετα.

Πηγή: mathematica