Συμβουλές για ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ - BOLZANO - Θ.Ε.Τ

Πηγή

Γραφικές παραστάσεις Βασικών Συναρτήσεων.

Πηγή

Asymmetric Propeller What Is It? A Mathematical Droodle

Explanation

Σύστημα για δυνατούς λύτες

 Να λυθεί στο $R$ το σύστημα:

 $2^χ + 2^ψ = 12$

 $3^χ + 3^ψ = 36$

Πυθαγόρειο θεώρημα - Απόδειξη 156η

 Επιμέλεια:  Κώστας Δόρτσιος - Σωκράτης Ρωμανίδης 

Kάντε κλικ στο σχήμα.

Pythagorean theorem - Proof 156

34ο Συνέδριο ΕΜΕ Λευκάδας 3-4-5 Νοεμβρίου 2017 - ΤΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ

Σχόλια και παρατηρήσεις για το βιβλίο της Βιολογίας Γ΄ Λυκείου από τον συνάδελφο μου Χαράλαμπο Παπαδόπουλο

Γιαννιτσά 03/10/2017

Προς το Δ.Σ. του ΙΕΠ

Κοιν. 

• 1. Διευθυντή 1ου ΓΕΛ Γιαννιτσών
• 2. Σχολικό Σύμβουλο ΠΕ04 Πέλλας
• 3. Πανελλήνια Ένωση Βιοεπιστημόνων

Αξιότιμοι Κύριοι του ΙΕΠ

Είμαι Καθηγητής Χημικός στο 1ο ΓΕΛ Γιαννιτσών. Επειδή συχνά, όπως και φέτος, χρειάζεται να διδάξω την Βιολογία Γενικής Παιδείας της Γ΄ Λυκείου, αποφάσισα να διαμαρτυρηθώ για μερικά επιστημονικά ατοπήματα που υπάρχουν στο βιβλίο. 

1ο επιστημονικό ατόπημα : Στη σελίδα 139 γράφει: «Επειδή όμως είναι απίθανο τόσο πολύπλοκες διαδικασίες να έχουν εξελιχθεί ανεξάρτητα σε κάθε είδος, τα δεδομένα αυτά

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Δύο επαναληπτικά διαγωνίσματα στις Συναρτήσεις, από το Αρσάκειο

The Squinting Eyes Theorem

Let there be two circles C(A, RA) and C(B, RB), one with center A and radius RA, the other with center B and radius RB. Let P and Q be the farthest points of the two circles, as on the diagram below. 

Draw the tangents from P to C(B, RB) and from Q to C(A, RA). Whenever the construction is possible, it leads to two "isosceles triangles" with one side a circular arc. The fact is that the "incircles" of the two triangles are always equal, i.e., have the same radius.

Proof

Let PT be tangent to C(B, RB), so that PT is perpendicular to BT. Let C(R, RS) be one of the two circles in question, and assume RS is also perpendicular to PT.

Βασική μεθοδολογία στην εύρεση ορίων $χ χ_0$

Πηγή

$1\times3\times5\times\cdots\times15=?$

 Αν

$9\times10\times11\times\cdots\times15=32432400$ 

 τότε με πόσο ισούται το γινόμενο

 $1\times3\times5\times\cdots\times15$

2017 CCA Math Bonanza 

Γιατί οι ενεργοί μαθηματικοί σήμερα κάνουν την τρίχα "τριχιά" (μια άποψη)

Τα μαθηματικά groups στο facebook είναι σήμερα πολύ διαδεδομένα. Χιλιάδες ενεργοί μαθηματικοί που καθημερινά διδάσκουν σε σχολικές ή φροντιστηριακές τάξεις ενημερώνονται από αυτά, θέτουν προβληματισμούς και ανταλλάσουν απόψεις. 

Ιδιαίτερο ενδιαφέρον πολλές φορές παρουσιάζουν απόψεις και προβληματισμοί ατόμων που δεν είναι μαθηματικοί, γνωρίζουν όμως μαθηματικά και ενδιαφέρονται για την εκπαίδευση των μαθηματικών στη χώρα μας.

Βρείτε τα χ και ψ

Απαιτητική για Α΄ Λυκείου

Eυκλείδης Β΄, τ. 100

Εξαψήφιος 1ABCDE

 Στον εξαψήφιο αριθμό $1ABCDE$ κάθε γράμμα αντιστοιχεί σε 
 ένα ψηφίο.
 Αν 

$1ABCDE × 3 = ABCDE1$

 τότε το άθροισμα  $A + B + C + D + E$  ισούται με 

(A) 29      (B) 26      (C) 22      (D) 30      (E) 28 

Εσείς ρωτάτε, εμείς απαντάμε ...

Δύο συναρτήσεις $f $και $g$ είναι ορισμένες στο $R$.
Η συνάρτηση $h = f ο g$ είναι $1 - 1$. 

Οι συναρτήσεις $f$ και $g$ είναι απαραιτήτως $1 - 1$;

Για να δείτε την απάντηση κάντε κλικ εδώ.

Περιοδικό «Ευκλείδης Β΄», τ. 28

Το πρόβλημα της Γεωμετρίας στην 38η Διεθνή Μαθηματική Ολυμπιάδα (Αργεντινή)

Έστω τρίγωνο $ABC$ του οποίου η μικρότερη γωνία είναι η $Α$. Τα σημεία $Β$ και $C$ διαιρούν τον περιγεγραμμένο περί το τρίγωνο $ABC$ κύκλο σε δύο τόξα. Στο τόξο $BC$ που δεν περιέχει το $Α$ παίρνουμε ένα σημείο $U$, διαφορετικό από τα $Β$ και $C$. 

Έστω ότι οι μεσοκάθετες των ευθυγράμμων τμημάτων $ΑΒ$ και $AC$ τέμνουν την ευθεία $AU$ στα σημεία $V$ και $W$ αντίστοιχα. Έστω ακόμα ότι οι ευθείες $BV$ και $CW$ τέμνονται στο σημείο $T$. Να αποδείξετε ότι ισχύει $AU = TΒ + TC$.

38η Διεθνής Μαθηματική Ολυμπιάδα, Αργεντινή

Τιμή παράστασης

 Η παράσταση

$2(2(2(2(2(2+1)+1)+1)+1)+1)+1$

 ισούται με 

 $\textbf{i)} 70 \qquad$  

 $\textbf{ii)} 97 \qquad $ 

 $\textbf{iii)} 127 \qquad$  

 $\textbf{iv)} 159 \qquad $ 

 $\textbf{v)} 729 $

2017 AMC 10 

ΝΕΟ ΒΙΒΛΙΟ: «Οδός μαθηματικής σκέψης»

Το βιβλίο συνέγραψαν οι αγαπητοί συνάδελφοι, Γιάννης Θωμαΐδης και Ρίζος Γιώργος.

Το βιβλίο περιέχει ιστορικά και ρεαλιστικά προβλήματα Μαθηματικών για τη σχολική τάξη, και το προλογίζει ο επίσης αγαπητός καθηγητής του Πανεπιστημίου Κρήτης κ. Μιχάλης Λάμπρου.

Τι είναι τα Μαθηματικά

Από τη διάλεξη αυτή σχετικά με το τι είναι Μαθηματικά φαίνεται ότι έχουμε τρεις επιλογές. Τα Μαθηματικά είναι η Ανθρωπιστική Επιστήμη που υμνεί την αιώνια λογική, είναι η Φυσική Επιστήμη η οποία μελετά το φαινόμενο που λέγεται λογική, είναι η Τέχνη που πλάθει δομές αιθερικής ομορφιάς από την πρωταρχική ύλη που ονομάζεται λογική, είναι όλα αυτά κι άλλα. Αλλά πάνω απ'όλα τα Μαθηματικά είναι Ευχαρίστηση.

Πηγή

Δύσκολο αλγεβρικό πρόβλημα

Να εκφράσετε το $y$ συναρτήσει του $x$:

$e^{xy} + y^2 =sin(x + y)$

Ναι ή όχι

'Ενας ντετέκτιβ πρέπει να εξετάσει το μάρτυρα ενός εγκλήματος σχετικά με μια κρίσιμη λεπτομέρεια. Ο ντετέκτιβ έχει επινοήσει μια σειρά $91$ το πολύ ερωιήοεων που πρέπει να απαντηθούν μόνο με ένα «ναι» ή ένα «όχι» και οι οποίες θα του επιτρέψουν να μάθει την κρίσιμη λεπτομέρεια - με ιην προϋπόθεση ότι ο μάρτυρας λέει την αλήθεια (κάθε ερώτηση μπορεί να εξηρτάται από την απάντηση μίας ή περιοπόιερων τιροηγούμενων ερωτήσεων). 

Ας υποθέσουμε όμως ότι ο μάρτυρας είναι δυνατόν να πει ψέματα μία φορά το πολύ.
Αποδείξτε όιι ο ντετέκτιβ μπορεί να αναθεωρήσει τον προγραμμαυομό των ερωτημάτων του και να εκμαιεύσει και πάλι την κρίσιμη λεπτομέρεια χρηοιμοιιοιώνιης 105 το πολύ «ναι-όχι» ερωτήπεις.

Μελέτη για την αντίστροφη συνάρτηση

 Του Αντώνη Κυριακόπουλου 

Πηγή: Εφαρμοσμένη Διδακτική Μαθηματικών

Πυθαγόρειο θεώρημα - Απόδειξη 155η

 Επιμέλεια:  Κώστας Δόρτσιος - Σωκράτης Ρωμανίδης 

Kάντε κλικ στο σχήμα.

Pythagorean theorem - Proof 155

Approximation of π

Question             It is known that  is an approximation of π. G.M. Philips, MG showed that                          by using only one line :                Figure out his reasoning.

Solution           L.H.S.

34ο Πανελλήνιο Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας, 3-4-5 Νοεμβρίου 2017, Λευκάδα

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Αποτελέσματα 11ου Διαγωνισμού "Παιχνίδι και Μαθηματικά" (2017) Νομού ΠΕΛΛΑΣ

ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ	ΤΜΗΜΑ	ΣΧΟΛΕΙΟ	ΝΟΜΟΣ
ΑΘΑΝΑΣΙΑΔΗ ΑΝΝΑ	Ε	3ου ΕΔΕΣΣΑΣ	ΠΕΛΛΑΣ
ΑΪΒΑΖΙΔΟΥ ΕΙΡΗΝΗ	Ε	9ου ΓΙΑΝΝΙΤΣΩΝ	ΠΕΛΛΑΣ
ΑΪΚΟΥ ΕΛΕΝΗ	Ε1	2ου ΕΔΕΣΣΑΣ	ΠΕΛΛΑΣ
ΑΛΜΠΑΝΙΔΟΥ ΔΗΜΗΤΡΑ	ΣΤ2	3ου ΓΙΑΝΝΙΤΣΩΝ	ΠΕΛΛΑΣ
ΑΜΑΣΤΑΣΙΑΔΗΣ ΑΓΓΕΛΟΣ	ΣΤ	1ου ΚΡΥΑΣ ΒΡΥΣΗΣ	ΠΕΛΛΑΣ
ΑΝΑΣΤΑΣΙΑΔΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ	ΣΤ1	7ου ΓΙΑΝΝΙΤΣΩΝ	ΠΕΛΛΑΣ
ΑΝΑΣΤΑΣΙΟΥ ΘΕΟΔΩΡΟΣ	ΣΤ1	4ου ΑΡΙΔΑΙΑΣ	ΠΕΛΛΑΣ
ΑΝΔΡΟΝΙΚΙΔΗΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ	ΣΤ2	8ου ΓΙΑΝΝΙΤΣΩΝ	ΠΕΛΛΑΣ
ΑΝΘΥΜΙΔΟΥ ΑΝΝΑ ΜΑΡΙΑ	Ε1	3ου ΓΙΑΝΝΙΤΣΩΝ	ΠΕΛΛΑΣ
ΑΠΟΣΤΟΛΙΔΗΣ ΠΑΥΛΟΣ	ΣΤ1	3ου ΓΙΑΝΝΙΤΣΩΝ	ΠΕΛΛΑΣ

Ισχυρισμοί και Αντιπαραδείγματα για το Α΄ Θέμα των Πανελληνίων Εξετάσεων

 Του Παναγιώτη Βιώνη 

Πηγή

Μαθηματική Ιστοσελίδα: I like maths

Πολύ καλή ιστοσελίδα του αγαπητού συναδέλφου Ιορδάνη Κόσογλο, από το Γ.ΕΛ Εξαπλατάνου Αριδαίας. Αξίζει να την επισκεφτείτε!

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Κατά $90^0$ αριστερά

Έστω κύκλος $ C_0 $ ακτίνας $1$, και  $A_0 $ ένα σημείο πάνω στον κύκλο. Ο κύκλος $ C_1 $ έχει ακτίνα $ r <1 $ και είναι εσωτερικά εφαπτόμενος στον $ C_0 $ στο σημείο $A_0$. 

Το σημείο $ A_1 $ βρίσκεται στον κύκλο $C_1$, και βρίσκεται $ 90 ^0$ αριστερά από το σημείο $A_0$ στον κύκλο $ C_1$. Ο κύκλος $ C_2 $ έχει ακτίνα $r^2$ και είναι εσωτερικά εφαπτόμενος στον $ C_1 $ στο σημείο $ A_1$. 

Η διδασκαλία των Μαθηματικών και οι Πανελλαδικές εξετάσεις. Αλληλεπιδράσεις και προαπαιτούμενα

Τρία συνηθισμένα λάθη που κάνουν μαθητές της Γ΄ Λυκείου στον Διαφορικό Λογισμό

Του Παναγιώτη Λ. Θεοδωρόπουλου, πρώην Σχολικού Συµβούλου

Σημείο Toricelli

Aν $T$ είναι το σημείο Toricelli του τριγώνου $ABC$, να αποδειχθεί ότι  

$(AT + BT + CT)^ 2 ≤ AB · BC + BC · CA + CA · AB$

Nguyen Viet Chung, Hanoi University of Science, Vietnam

Βιντεομαθήματα Ανάλυσης Γ' Λυκείου: Συνάρτηση 1-1

Μαθήματα ανάλυσης για τους μαθητές της Γ΄ Λυκείου από τον αγαπητό συνάδελφο Νίκο Ιωσηφίδη.

ΛΕΩΔΑΜΑΣ Ο ΘΑΣΙΟΣ, ο λησμονημένος μεγάλος μαθηματικός της αρχαιότητας

Περιοδικό Ευκλείδης Β΄ Τ. 82

Δύο παιδιά συζητούν για αλγεβρικά προβλήματα

Ο Γιάννης λέει στη Μαρία: 

Έχω σκεφτεί δύο ακέραιους αριθμούς χ και y που είναι τέτοιοι ώστε, αν μειώσω τον χ κατά 50 και αυξήσω τον y κατά 40, τότε το γινόμενό τους δεν μεταβάλλεται. 

Η Μαρία ρωτάει το Γιάννη: Αν αυξήσεις τον αριθμό χ κατά 100 και μειώσεις τον αριθμό y κατά 20, τότε πάλι το γινόμενό τους δεν μεταβάλλεται; 

Ο Γιάννης απαντάει: Πράγματι, αυτό ισχύει. 

Η Μαρία καταλήγει: Τότε γνωρίζω τους αριθμούς που σκέφθηκες. 

Έχει δίκιο η Μαρία; Εσείς μπορείτε να βρείτε τους αριθμούς που σκέφθηκε ο Γιάννης;

68ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΆ ''Ο ΘΑΛΗΣ" 2007 - Α' τάξη Λυκείου

Μαθηματική πρόκληση: Τέσσερα τεσσάρια

Χρησιμοποιώντας τέσσερα τεσσάρια και οποιαδήποτε από τις τέσσερις πράξεις και δυνάμεις, ριζικά, παραγοντικά να σχηματίσετε τους αριθμούς από το $0$ έως $100$.

Answer	Equation	Submitted by
0	44 - 44	Mark Girouard, Miramichi, N.B., Canada
1	(4 + 4 - 4)/4  44/44	Leigh S., Germantown Academy, PA  Nidhi Kohli, Eastern H.S., NJ
2	(4*4)/(4 + 4)  4/4 + 4/4	J.K. Choi, Seoul, Korea  Reefe Brighton, Switzerland
3	(4 + 4 + 4)/4  (4*4 - 4)/4  4 - 4^(4 - 4)	Ryan McDonald, Miramichi, N.B., Canada  Nicole Finelli, Germantown Academy, PA  6th Period Biology, OHHS, Oxon Hill, MD
4	(4 - 4)*4 + 4  [\4/444] (integer of the 4th root of 444)	J.S.G, Maimonides, 1st Form  Daniel Freeman
5	(4*4 + 4)/4  4^(4 - 4) + 4	J.S.G, Maimonides, 1st Form  Michalis Georgiou
6	((4 + 4)/4) + 4	J.K. Choi, Seoul, Korea
7	(4 + 4) - (4/4)  44/4 - 4	J.K. Choi, Seoul, Korea  Nathan O'Reilley, Miramichi, N.B., Canada

Proof of A.M. $\geq$ G.M. using integration

We like to prove :

Observe that for any  x > 0 :

    

because, so long as the integrand’s  t  lies strictly increasing or decreasing between  x  and  G , the sign  G – x  and of  1/t – 1/G , must be the same.

Equality sign holds iff  x = G.

Now, replace  x  by    and sum up over  i = 1, 2, … , n.

\ A ³ G

Πηγή

6 + 5 = ?

Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης: Οδηγός Σπουδών Τμήματος Μαθηματικών, Ακαδημαϊκό έτος 2017-2018

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Ισημερινό πρόβλημα

Ένας ιμάντας τοποθετείται γύρω από τον ισημερινό της Γης. Ας υποθέσουμε ότι προσθέσατε επιπλέον 1 μέτρο μήκους στον ιμάντα, τον κρατήσατε σε ένα σημείο και τον σηκώσατε μέχρι να τεντωθεί. 

Πόσο ψηλά θα ήταν πάνω από την επιφάνεια της Γης; Δηλαδή, βρείτε το h στο παραπάνω σχήμα.

Υποθέστε ότι η Γη είναι μια τέλεια σφαίρα ακτίνας 6400 χιλιομέτρων.

------------------

Δείτε την εντυπωσιακή λύση (!) που μου έστειλαν ο κ. Κώστας Δόρτσιος (Μαθηματικός, τ. σχ. σύμβουλος) με τον κ. Χρόνη Μωυσιάδη (καθηγητής στο Α.Π.Θ.):

Το όλο δρώμενο μπορείτε να το δείτε σε αρχείο geogebra εδώ.

Βιντεομαθήματα Ανάλυσης Γ' Λυκείου: Μονοτονία συνάρτησης

Μαθήματα ανάλυσης για τους μαθητές της Γ΄ Λυκείου από τον αγαπητό συνάδελφο Νίκο Ιωσηφίδη.

Περίμετρος τριγώνου

Τα μήκη των πλευρών ενός τριγώνου είναι οι ακέραιοι $13, x, y$. Δίνεται ότι $xy = 105$.
Ποιο είναι το μήκος της περιμέτρου του τριγώνου;

SENIOR ‘KANGAROO’ MATHEMATICAL CHALLENGE 2016 

United Kingdom Mathematics Trust

Τι είναι τα Μαθηματικά;

Τα μαθηματικά είναι η τέχνη του να δίνεις σε διαφορετικά πράγματα το ίδιο όνομα. 

Ανρί Πουανκαρέ