Μην πυροβολείτε τους αλγόριθμους

Ο όρος αλγόριθμος, αρκετά διάσημος στην ψηφιακή μας εποχή, συνοδεύεται από πολλές παρεξηγήσεις. Η λέξη αλγόριθμος χρησιμοποιείται, συχνά, για να περιγράψει ένα υπολογιστικό σύστημα που, ορισμένες φορές, τα αποτελέσματα που 

προκύπτουν από τη χρήση του θεωρούνται αναξιόπιστα ή αμφισβητούνται. Αυτή η διάσταση του όρου ενισχύθηκε, πρόσφατα, κυρίως από την αδυναμία των εταιρειών δημοσκοπήσεων που χρησιμοποιούν αλγοριθμικά συστήματα να

Το Πρόβλημα της Βασιλείας

Junior Balkan Mathematical Olympiad 2016 - Shortlist (Θεωρία Αριθμών)

Ν1: Να βρείτε τον μεγαλύτερο θετικό ακέραιο που διαιρεί τον για κάθε πρώτο . 

N2: Να βρεθεί το μέγιστο πλήθος θετικών ακεραίων που ικανοποιούν τις παρακάτω δύο συνθήκες. 

(i) Το 11 δεν διαιρεί καμιά διαφορά με

(ii) Το άθροισμα

   

διαιρείται από το 11. 

Ν3: Να βρεθούν όλοι οι θετικοί ακέραιοι ώστε ο αριθμός 

21st Junior Balkan Mathematical Olympiad 2017 - ΤΑ ΕΠΙΣΗΜΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ

Πέντε χάλκινα μετάλλια κατέκτησε η ομάδα μας. Συγχαρητήρια σε όλα τα παιδιά!

Pos.	Name	Code	P1	P2	P3	P4	Total	Medal
1	Irina Djanković	SRB3	10	10	10	8	38	GOLD
2	TRAN BACH Nguyen	ROU3	10	10	9	8	37	GOLD
3	CARDAȘ Tudor Darius	ROU6	10	10	10	7	37	GOLD
4	Miloš Milićev	SRB1	10	10	10	7	37	GOLD
5	Dobrica Jovanović	SRB2	10	10	10	7	37	GOLD
6	Lalov Svetlin Krasimirov	BGR1	10	10	10	6	36	GOLD
7	ȘIMON Sebastian Mihai	ROU1	8	10	10	8	36	GOLD
8	Pierre-Alexandre Bazin	FRA1	10	10	10	5	35	GOLD
9	PANTEA Andrei Tiberiu	ROU2	10	9	10	4	33	SILVER
10	Hadzhistoykov Stefan Martinov	BGR3	10	10	4	7	31	SILVER
11	Kirilov Borislav Kirilov	BGR6	10	10	2	9	31	SILVER
12	Habibullah Omar Mohammad	SAU1	8	10	8	5	31	SILVER
13	BECSI Paul	ROU4	6	10	10	4	30	SILVER
14	Dilshodov Faridun	TJK2	10	10	10	0	30	SILVER
15	Ramil Jabiyev	AZE4	9	10	10	0	29	SILVER

21st Junior Balkan Mathematical Olympiad 2017 - Problems and solutions

Ποια είναι η μισή παράγωγος μιας συνάρτησης;

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Ίσα σκέλη σε σκαληνό

Στο σκαληνό και οξυγώνιο τρίγωνο $ABC$, τα ύψη $BE,CD$, τέμνουν τους κύκλους με διαμέτρους τις πλευρές $AC,AB$ στα σημεία $S,P$ αντίστοιχα.

α) Δείξτε ότι $AS=AP$.

β) Αν είναι γνωστές οι γωνίες $B,C$, υπολογίζεται η $\angle SAP$;

Πηγή

Χαστούκια στη Βουλή

Κάθε μέλος του κοινοβουλίου της Ιλαρίας χαστούκισε τρία ακριβώς μέλη του σεβαστού αυτού σώματος.
Χρειάζεται να σχηματιστούν διάφορες κοινοβουλευτικές επιτροπές, που πρέπει να οργανωθούν έτσι ώστε κάθε μέλος του κοινοβουλίου να συμμετέχει σε μία (και μόνο) επιτροπή.
Για να αποφευχθούν οι συγκρούσεις στις επιτροπές, είναι αναγκαίο να τις απαρτίσουν βουλευτές που δεν έχουν χαστουκίσει ποτέ ο ένας τον άλλο.

Problem of the Week: 2012 AMC 12A, Problem 21

Let , , and  be positive integers with    such that

 

and

. 

What is ?

Δυσαριθμησία - Η διαταραχή των Μαθηματικών

Πηγή

Κανόνας αντίστροφης συνάρτησης

Έστω ότι η $y = f(x)$ είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής σε κάποιο διάστημα $I$ το οποίο περιέχει τον $ξ$.
Γνωρίζουμε ότι το σύνολο τιμών της $y = f(x)$ είναι, επίσης, κάποιο διάστημα $J$ το οποίο περιέχει τον αντίστοιχο $η = f(ξ)$ και ότι η αντίστροφη συνάρτηση $x = f^{−1} (y)$ είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής στο διάστημα $J$.
Αν η $y = f(x)$ έχει παράγωγο στον $ξ$, τότε η $x = f^{−1} (y)$ έχει παράγωγο στον $η$ και

• Αν η $y = f(x)$ είναι γνησίως φθίνουσα, τότε ισχύουν τα ίδια με τις προφανείς αλλαγές: $< 0$ αντί $> 0$ και $−∞$ αντί $+∞$.

Παπαδημητράκης Μιχάλης, Πανεπιστήμιο Κρήτης: Ευκλείδεια Γεωμετρία - Συλλογή Ασκήσεων 2006-07

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Τέσσερα τεσσάρια: Νο 80

Χρησιμοποιώντας τέσσερα τεσσάρια και όποια πράξη θέλετε, και δυνάμεις, ριζικά, παραγοντικά - όχι απαραίτητα όλα - να σχηματίσετε τον αριθμό $80$.

Για παράδειγμα:

Άλλος τρόπος υπάρχει;

Διάλεξη του καθηγητή κ. Μιχάλη Λάμπρου με θέμα: «Τα ύψη τριγώνου συγκλίνουν: Η ενδιαφέρουσα και πολύπλοκη ιστορία ενός θεωρήματος της Γεωμετρίας από την αρχαιότητα μέχρι την σύγχρονη εποχή».

Η διάλεξη της Επιστημονικής Ένωσης για τη Διδακτική των Μαθηματικών πραγματοποιήθηκε την Πέμπτη 1 Ιουνίου 2017, ώρα 7.00 μ.μ. στην αίθουσα Γ22 του Μαθηματικού Τμήματος (Πανεπιστημιούπολη Ζωγράφου), με θέμα:

«Τα ύψη τριγώνου συγκλίνουν: Η ενδιαφέρουσα και πολύπλοκη ιστορία ενός θεωρήματος της Γεωμετρίας από την αρχαιότητα μέχρι την σύγχρονη εποχή».

Ομιλητής: ο καθηγητής του Μαθηματικού Τμήματος του Πανεπιστημίου Κρήτης Μιχάλης Λάμπρου.

Πυθαγόρειο θεώρημα - Απόδειξη 150η

 Επιμέλεια:  Κώστας Δόρτσιος - Σωκράτης Ρωμανίδης 

Kάντε κλικ στο σχήμα.

Pythagorean theorem - Proof 150

Ένα ξενοδοχείο αφιερωμένο σε μια σπουδαία μαθηματικό

«Η θεωρία της Γενικής Σχετικότητας του Άλμπερτ Αϊνστάιν δημοσιεύτηκε το 1915, αλλάζοντας για πάντα τον τρόπο που κατανοούμε τη σχέση ανάμεσα στο χώρο και το χρόνο. 

Όπως συμβαίνει συχνά, τα πρόσωπα που συμβάλουν σε μια επιστημονική ανακάλυψη είναι περισσότερα από εκείνο που αναγνωρίζουμε επίσημα». Η εισαγωγή του άρθρου της Sarah Guminski στο περιοδικό Scientific American δεν είναι τυχαία.

Cîrtoaje V. - Mathematical Inequalities Vol. 1 - Symmetric Polynomial Inequalities

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Με ένα ψηφίο λιγότερο

Πόσο θα αλλάξει ο αριθμός $\dfrac{1}{1996}$ (δηλαδή πόσο θα αυξηθεί ή θα ελαττωθεί, και κατά ποιον παράγοντα), αν παραληφθεί το πρώτο μη μηδενικό ψηφίο από το δεκαδικό του ανάπτυγμα;

Problem of the Week: 2004 AMC 10A, Problem 25

Three pairwise- tangent spheres of radius $1$ rest on a horizontal plane. A sphere of radius $2$ rests on them. 

What is the distance from the plane to the top of the larger sphere?

Ο δίσκος του Poincare και η Υπερβολική Γεωμετρία (A μέρος)

Πηγή

Ισεμβαδικά

Από σημείο $P$ της προέκτασης της διαμέτρου $AB$, κύκλου (O,R)$, φέραμε το εφαπτόμενο τμήμα $PT$ και μία τέμνουσα η οποία διέρχεται από το μέσο $M$ της μεσοκάθετης ακτίνας $OS$ και η οποία τέμνει τον κύκλο σε σημείο $Q$, πλησιέστερα προς το σημείο $A$. 

Αν $T', Q'$  οι προβολές των $T,Q$ στην$AB$, για ποια θέση του $S$ θα προκύψει:

$(PTT')=(PQQ')$ ;

Πηγή

Το πρόβλημα των 7 γεφυρών του Königsberg

Πηγή

Ο κορυφαίος «Μικρός Ευκλείδης» μιας οικογένειας 25 παιδιών

«Αυτό που κατάφερα το αφιερώνω σε όσους με αγαπάνε», λέει ο Μανώλης, που αν και δυσκολεύτηκε, όπως λέει, στον διαγωνισμό «Μικρός Ευκλείδης» της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας, κατέκτησε την κορυφή με σκορ 100%.

Καμία ταμπέλα έξω από το σπίτι του Χαμόγελου του Παιδιού στο Μαρούσι. Οπως πρέπει να ’ναι τα σπίτια, δηλαδή. Τα κανονικά σπίτια. Με τις κανονικές οικογένειες. Κι ας είναι πολύτεκνες – έστω και με 25 παιδιά.

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ - Μικτές Στρατηγικές

Πηγή

76 - 45 = ?

Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία: Προκριματικός Διαγωνισμός Μικρών και Μεγάλων 2009 - ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΟΙ ΛΥΣΕΙΣ

Problem of the Week: 2007 AMC 8, Problem 20

Before the district play, the Unicorns had won 45% of their basketball games. During district play, they won six more games and lost two, to finish the season having won half their games. 

How many games did the Unicorns play in all?

Break the code

Σπάστε τον κώδικα και στείλτε την απάντησή σας στο e-mail του περιοδικού: the.prime.magazine@gmail.com Οι 10 πρώτοι που θα στείλουν τη σωστή απάντηση θα κερδίσουν ένα βοήθημα Μαθηματικών Γ΄ Λυκείου, των εκδόσεων Κανδύλα, χωρίς κλήρωση! 

Λεπτομέρειες και όροι του διαγωνισμού στο facebook group του περιοδικού: https://www.facebook.com/theprimemagazine.

Κεντρική Επιτροπή Εξετάσεων (ΚΕΕ): Σχέδιο βαθμολόγησης των γραπτών στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2017

$\lVert\vec a+\vec b\rVert^3$ =?

Ποιο είναι το ανάπτυγμα της παράστασης

\[\lVert\vec a+\vec b\rVert^3\]

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com  

Μέγιστη τιμή

Ποια είναι η μέγιστη τιμή της παράστασης

$\dfrac{x^2+y^2+z^2}{xy+xz+yz}$

όταν $x, y, z \in [1, 2]$?

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com  

Πανελλαδικές 2017: Μαθηματικά Προσανατολισμού - ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ

Δείτε τις λύσεις εδώ.

Πανελλαδικές 2017: Μαθηματικά ΕΠΑΛ - ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ

Αγωνιστικά προβήματα

Σε μια αθλητική διοργάνωση, 100 μαθητές έλαβαν μέρος σε αγωνίσματα στίβου, 50 συμμετείχαν σε αγώνες κολύμβησης και 48 σε αγώνες σκοποβολής. Το πλήθος των μαθητών που έλαβαν

μέρος σε ένα μόνο είδος αγωνισμάτων ήταν διπλάσιο από το πλήθος των μαθητών που έλαβαν μέρος σε δύο είδη αγωνισμάτων και τριπλάσιο από αυτούς που έλαβαν μέρος σε τρία είδη. Ποιο είναι το πλήθος των μαθητών που συμμετείχαν στη διοργάνωση; 

Μήκος πλευράς τετραπλεύρου

Στο σχήμα, τα τρίγωνα $AMD, MBC$ είναι ισόπλευρα, $AB=8$ και 

$(ABCD)=  \dfrac{51 \sqrt{3} }{4}$.

Να βρείτε το μήκος της πλευράς $CD$ του τετραπλεύρου $ABCD$.

Πηγή

AIME Problems 2017 Problem 12

Circle  has radius , and the point  is a point on the circle. Circle  has radius  and is internally tangent to  at point . Point  lies on circle  so that  is located  counterclockwise from  on . 

Circle  has radius  and is internally tangent to  at point . In this way a sequence of circles  and a sequence of points on the circles  are