Problem of the Week: 2002 AMC 12A, Problem 17

Several sets of prime numbers, such as  use each of the nine nonzero digits exactly once. 

What is the smallest possible sum such a set of primes could have?

20 Επαναληπτικά Θέματα για τα Μαθηματικά προσανατολισμού Γ΄ Λυκείου

Για τις λύσεις δείτε εδώ:

Λύσεις Θεμάτων 1-10 

Λύσεις θεμάτων 11-20

Πηγή

Γ' Λυκείου: Μία συλλογή ασκήσεων στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης

Πηγή

Άθροισμα γωνιών

Να υπολογιισθεί το άθροισμα των γωνιών 

$Α = x + y+ z + a + b + c$.

Πηγή

Γωνιακό θέμα

Έστω $M$ σημείο στο εσωτερικό τριγώνου $ABC$ ώστε γωνία $MAB=10^0$, γωνία $MBA = 20^0$=γωνία $MAC =40^0$ = γωνία $MCA=30^0$.

Να υπολογίσετε τη γωνία $MBC=x$.

Πηγή

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Προτεινόμενα Θέματα Γ [56ο - 68ο]

 Του Θανάση Ξένου 

56. Μια συνάρτηση είναι δύο φορές παραγωγίσιμη με
και , για κάθε .
α) Να αποδειχθεί ότι .
β) Να βρεθεί το ευρύτερο υποσύνολο του , ώστε για κάθε να ισχύει .
γ) Να λυθεί στο διάστημα η εξίσωση

   

δ) Να βρεθούν οι για τους οποίους ισχύει

   

--------------

57. Θεωρούμε δύο παραγωγίσιμες συναρτήσεις με και .
α) Να αποδειχθεί ότι και .
β) Να βρεθούν οι ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης

   

Θέματα προαγωγικών και απολυτήριων εξετάσεων στα Μαθηματικά Γυμνασίου

Πηγή

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Ερώτηση

Ας υποθέσουμε ότι η συνάρτηση $f(x)$ είναι αύξουσα σε κάποιο διάστημα $(a, b)$ και ότι έχει παράγωγο σε κάποιον $ξ$ στο $(a, b)$. Επειδή η συνάρτηση είναι αύξουσα, ισχύει 

$\dfrac{f(x)−f(ξ) }{x−ξ} ≥ 0$ 

για κάθε $x\neqξ$ στο $(a, b)$ και, επομένως, η παράγωγος $f΄(ξ)$ είναι είτε αριθμός $≥ 0$ είτε $+∞$.

Σωστό ή Λάθος;

Πανδαισία χρωμάτων

Διευθετήστε στο επίπεδο 11 μη επικαλυπτόμενα ίσα τετράγωνα έτσι ώστε με όποιον τρόπο και αν τα χρωματίσουμε, χρησιμοποιώντας τρία χρώματα, να υπάρχουν δύο ακριβώς τετράγωνα με ίδιο χρώμα που εφάπτονται κατά μήκος μιας πλευράς. 

Τρίγωνα σε ένα παραλληλόγραμμο

Θεωρούμε δύο τυχαία σημεία στο εσωτερικό ενός παραλληλογράμμου. Φέρουμε τα ευθύγραμμα τμήματα που συνδέουν τα σημεία αυτά με όλες τις κορυφές του παραλληλογράμμου.

Αποδείξτε ότι άθροισμα των εμβαδών των δύο κόκκινων τριγώνων είναι ίσο με το άθροισμα των εμβαδών των δύο μπλε.

Περιοδικό Quantum

Καθετότητα σε ορθογώνιο τρίγωνο

Έστω $AD$ το ύψος και $AE$ η διχοτόμος ορθογωνίου τριγώνου $ABC$, με $\angle  A=90^0$.  

Αν $K,L$ είναι τα έγκεντρα των τριγώνων $ADB, ADC$ να δείξετε ότι $AE \bot KL$. 

Πηγή

150 Θέματα Εξετάσεων στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Β΄ Λυκείου

PhotoMath: Solve Math Equation Easily Using Mobile Camera

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Πόσοι;

Πόσοι από τους ακεραίους από το 1 έως το 1000000, συμπεριλαμβανομένων δεν είναι ούτε τέλεια τετράγωνα, ούτε τέλειοι κύβοι, ούτε τέλειες δυνάμεις του 4;

Άλγεβρα Β΄ Λυκείου: Επαναληπτικά θέματα Ο.Ε.Φ.Ε. 2017 - Β Φάση

Άλγεβρα Α΄ Λυκείου: Επαναληπτικά θέματα Ο.Ε.Φ.Ε. 2017 - Β Φάση

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Επαναληπτικά θέματα Ο.Ε.Φ.Ε. 2017 - Β Φάση

Πυθαγόρειο θεώρημα - Απόδειξη 148η

 Επιμέλεια:  Κώστας Δόρτσιος - Σωκράτης Ρωμανίδης 

Kάντε κλικ στο σχήμα.

Pythagorean theorem - Proof 148

Άλγεβρα Α΄ Λυκείου - 200 Επαναληπτικά Θέματα

 Επιμέλεια: Νίκος Ράπτης 

Πηγή: lisari

90 Επαναληπτικά Θέματα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ΄ Λυκείου

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ | Ασκήσεις με τετράγωνα - 89

Για να τεμαχίσουμε ένα τετράγωνο οικόπεδο σε τρία κομμάτια, ανάλογα των αριθμών $1,2,3$, φέραμε το τμήμα $MN$ ($M$ μέσο $DC$) και το κάθετο προς αυτό, τμήμα $BS$. 

Εξηγήστε την ορθότητα της λύσης. 

Και μια ανοικτή ερώτηση: Μπορείτε να επιτύχετε παρόμοιο αποτέλεσμα, φέροντας δύο διαφορετικά τμήματα;

Πηγή: mathematica

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ | Ασκήσεις με τετράγωνα - 88

Σημείο $S$ κινείται επί της διαγωνίου $AC$ τετραγώνου $ABCD$. Εκατέρωθεν της $AC$ σχεδιάζω τα ισόπλευρα τρίγωνα $ASP ,CST$. 

Δείξτε ότι το εμβαδόν του τετραπλεύρου $DPBT$, παραμένει σταθερό και υπολογίστε το.

Πηγή: mathematica

Γ΄ Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού - Επαναληπτικό διαγώνισμα

 Επιμέλεια: Βώβος Μάριος 

Πηγή

Problem of the Week: 2013 AMC 8, Problem 7

Trey and his mom stopped at a railroad crossing to let a train pass. As the train began to pass, Trey counted 6 cars in the first 10 seconds. 

It took the train 2 minutes and 45 seconds to clear the crossing at a constant speed. Which of the following was the most likely number of cars in the train?

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ | Ασκήσεις με τετράγωνα - 86

Το S είναι σημείο της πλευράς $AB$ τετραγώνου $ABCD$ ώστε $\displaystyle AS=\frac{2}{3}a$. Σημείο $T$ κινείται επί της $AD$. Γράφω το εντός του τετραγώνου ημικύκλιο με άκρα $S,T$.

1) Βρείτε τη θέση του $T$, ώστε αν $CQ$ εφαπτόμενο τμήμα , να είναι τα $B,Q,D$ συνευθειακά. 

2) Βρείτε τη θέση του $T$, ώστε το ημικύκλιο να εφάπτεται της $DC$.

Πηγή: mathematica

Pi in the Sky magazine, Issue 19 (2015)

Table of Contents 

• Egyptian Multiplication
• A Baseball in a Glass of Beer
• Sweet Sixteen
• Fortelling Death: The Math of War
• Mathematical Aspects of Electoral Systems
• An Easy Way to Speed up the Eradication of Polio
• 2015 Problems
• 2014 Math Challenges

 

Click on the image.

Σφουντούρης Κώστας: 5 βιβλία Γεωμετρίας

• Γεωμετρικαί Κατασκευαί, τόμος πρώτος, προσδιορισμός σημείου

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ | Ασκήσεις με τετράγωνα - 85

Πάνω στην πλευρά $AB$, τετραγώνου $ABCD$, κινείται σημείο $E$. Στην πλευρά $BC$ θεωρούμε σημείο $H$, τέτοιο ώστε $AE = BH$. 

Αν η κάθετη $DK$ προς την $EH$ κόψει τη διαγώνιο $AC$ στο σημείο $M$, να δείξετε ότι: 

1. $DM = EH$. και 

2. Ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου $MEH$ διέρχεται από το $B$ και από το κέντρο $O$ του τετραγώνου.

Πηγή: mathematica

Μαθηματικά Β΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - Θέματα προαγωγικών εξετάσεων

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ | Ασκήσεις με τετράγωνα - 84

Με κέντρο το μέσο $M$ της πλευράς $AB$, τετραγώνου $ABCD$, έχουμε γράψει τον κύκλο $(M,MA)$. Ευθεία που διέρχεται από το $D$, εφάπτεται του κύκλου στο $S$ και τέμνει την $BC$ στο $P$. 

Αν η $MS$ τέμνει την $BC$ στο $T$, υπολογίστε τις πλευρές του τριγώνου $SPT$.

Πηγή: mathematica

Το μαγικό χαλί

Να εντοπίσετε με γεωμετρική κατασκευή τα σημεία $A_1,B_1,C_1$ αντίστοιχα στις πλευρές $BC,CA,AB$ τριγώνου $ABC$ ώστε:

Α) Στο σχήμα-1 το άθροισμα των εμβαδών του μπλε, του κόκκινου και του πράσινου τριγώνου να είναι ίσο με το εμβαδόν του κίτρινου τριγώνου. 

Πόσες λύσεις υπάρχουν;

Β) Στο σχήμα-2 τα κόκκινα τρίγωνα να είναι ισεμβαδικά και τα ροζ τετράπλευρα να είναι επίσης ισεμβαδικά.

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ | Ασκήσεις με τετράγωνα - 83

Το $M$ είναι το μέσο της πλευράς $AB$ τετραγώνου $ABCD$. Οι δύο κύκλοι του σχήματος, εφάπτονται σε δύο πλευρές του τετραγώνου και στην $CM$. Το $t$ είναι ένα κοινό εξωτερικά εφαπτόμενο τμήμα. 

Υπολογίστε τους λόγους $\displaystyle \frac{\rho}{R} , \frac{\rho}{t}$.

Πηγή: mathematica

Γεωμετρία, Τοπολογία και Πεπρωμένο του Σύμπαντος

Όταν σκεφτόμαστε το σύμπαν στη γενική σχετικότητα (GR) πρέπει να απαντήσουμε σε τρεις πολύ διαφορετικές έννοιες: Ποιο είναι το σχήμα του σύμπαντος; Είναι το σύμπαν πεπερασμένο ή άπειρο; Θα διαστέλλεται το σύμπαν για πάντα ή θα συσταλεί αργότερα.

Γιγαντιαία αστρικά σμήνη (υπέρυθρη φωτ. NASA)

Όταν εφαρμόζουμε GR στη κοσμολογία, κάνουμε χρήση απλοποιητικών παραδοχών, που υποστηρίζονται από παρατηρήσεις, ότι υπάρχει ένας ορισμός του χρόνου τέτοιος ώστε σε μια σταθερή τιμή του χρόνου, το σύμπαν είναι χωρικά

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ | Ασκήσεις με τετράγωνα - 82

Το $M$ είναι το μέσο της πλευράς $AD$ τετραγώνου $ABCD$. Η $CM$ τέμνει τον κύκλο στο $S$. Η $BS$ τέμνει τη διαγώνιο $AC$ στο $T$. 

Υπολογίστε τους λόγους 

$\displaystyle\frac{MS}{MC},\frac{TA}{TC},\frac{TS}{TB}$.

Πηγή: mathematica

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ | Ασκήσεις με τετράγωνα - 81

Σε τετράγωνο $ABCD$ έχει σχεδιαστεί το τεταρτοκύκλιο $D\overset{\frown}{AC}$, ενώ σημείο $S$ κινείται επί της $BC$. Η $DS$ τέμνει το τόξο στο $M$. Φέρουμε από το $M$ παράλληλη στην $AC$, η οποία τέμνει το τόξο στο $L$ και την $BC$ στο $N$. 

1) Βρείτε τη θέση του $S$, ώστε $SB=SM$. 

2) Δείξτε ότι αυτή είναι η μοναδική θέση του $S$, για την οποία είναι επίσης $ML=MN$.

Πηγή: mathematica

Διαγωνίσματα προσομοίωσης για όλες τις τάξεις του Γυμνασίου και του Λυκείου 2017

Α. Διαγωνίσματα προσομοίωσης για το ΓΥΜΝΑΣΙΟ

  

Κάντε κλικ στα εικονίδια.

Β. Διαγωνίσματα προσομοίωσης για το ΛΥΚΕΙΟ

1) Μαθηματικά Α΄ Λυκείου: 

 

Problem of the Week: 1984 AIME, Problem 12

A function  is defined for all real numbers and satisfies  and  for all . 

If  is a root for , what is the least number of roots  must have in the interval ?