Καλίνιγκραντ 24-30 Απριλίου 2017. Θέματα της 4ης φάσης (τελικής) για την 11η τάξη.
Πρώτη μέρα
1. Ο αριθμός 
είναι τέτοιος, ώστε και τα δυο αθροίσματα 
και 
να είναι ρητοί αριθμοί. Να αποδείξετε, ότι σε ένα από αυτά τα αθροίσματα και οι δυο προσθετέοι είναι ρητοί.
είναι τέτοιος, ώστε και τα δυο αθροίσματα και να είναι ρητοί αριθμοί. Να αποδείξετε, ότι σε ένα από αυτά τα αθροίσματα και οι δυο προσθετέοι είναι ρητοί.
2. Οξυγώνιο ισοσκελές τρίγωνο 
(
) είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο κέντρου 
. Οι ακτίνες 
και 
τέμνουν τις πλευρές 
και 
στα σημεία 
και 
αντίστοιχα. Από το σημείο φέρουμε την ευθεία 
, παράλληλη
() είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο κέντρου . Οι ακτίνες και τέμνουν τις πλευρές και στα σημεία και αντίστοιχα. Από το σημείο φέρουμε την ευθεία , παράλληλη
![[asy] import graph; size(220); defaultpen(linewidth(0.7)); Label k; k.p=fontsize(10); real xmax = pi/2+0.5, xmin = -0.5, ymax = 1.39, ymin = -0.39, lblpt = pi/4 + 0.08; /* f(x) = sin^2(x) */ real f(real x) { return sin(x) * sin(x); } string pilabel(real x) { if(x > 1) return "$\pi/2$"; else if(x > 0) return "$\pi/4$"; else return "";} xaxis(xmin,xmax,Ticks(k, pilabel, pi/4),Arrows(6)); yaxis(ymin,ymax,Ticks(k, NoZero),Arrows(6)); filldraw(graph(f,0,pi/2)--(pi/2,0)--(0,0)--cycle,gray(0.7),linewidth(1)); draw((lblpt,f(lblpt))--(lblpt,1),Arrows(6)); draw((lblpt,f(lblpt))--(lblpt,0),Arrows(6)); label("$\cos^2(x)$",(lblpt,f(lblpt)/2+1/2),W,fontsize(10)); label("$\sin^2(x)$",(lblpt,f(lblpt)/2),E,fontsize(10)); draw((0,1)--(pi/2,1),linewidth(1)); [/asy]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vHU1F4oDZTTLTR9NG88O5LOg7ZH9M6CzrsiKSx2q6TunsYLlxlgPXQwSgjvrf8zyBJSVSr0JARuwtxMVy12ssAKTo1V3OU2tIEXaD-UtRNHrpaDIzBTypW1-zYvBr14ZgakoeCkGLc5rBIxTSSpOzn_R-uRXHzcUUwxw=s0-d)
και 
, στο οποίο ορίζονται και οι δύο.
και 
.
και την ευθεία 
.
, σε κιλά η ποσότητα αποβλήτων που ρίχνει ένα εργοστάσιο σ’ ένα ποτάμι σε 
ημέρες. Αν τα απόβλητα μεταβάλλονται με ρυθμό
ημέρες, να βρεθεί η ποσότητα που θα πέσει στο ποτάμι τις τελευταίες 
ημέρες λειτουργίας του.
με
