Χάρτης μετρό

Η εικόνα δείχνει ένα χάρτη του μετρό. 

Αν χρειάζονται $3$ λεπτά για να μεταβείτε από ένα σταθμό στον επόμενο και $3$ λεπτά για να αλλάξετε γραμμές, ποιος είναι ο ελάχιστος χρόνος που απαιτείται για να μεταβείτε από το $Α$ στο $Β$;

Άθροισμα τετραγώνων

Αν

$\dfrac{x^2}{2^2-1}+\dfrac{y^2}{2^2-3^2}+\dfrac{z^2}{2^2-5^2}+\dfrac{w^2}{2^2-7^2}=1$

$\dfrac{x^2}{4^2-1}+\dfrac{y^2}{4^2-3^2}+\dfrac{z^2}{4^2-5^2}+\dfrac{w^2}{4^2-7^2}=1$

$\dfrac{x^2}{6^2-1}+\dfrac{y^2}{6^2-3^2}+\dfrac{z^2}{6^2-5^2}+\dfrac{w^2}{6^2-7^2}=1$

$\dfrac{x^2}{8^2-1}+\dfrac{y^2}{8^2-3^2}+\dfrac{z^2}{8^2-5^2}+\dfrac{w^2}{8^2-7^2}=1$

τότε

$w^2+x^2+y^2+z^2=?$

Μαθηματικά Γ΄ Γυμνασίου - Ερωτήσεις Θεωρίας σε όλα τα κεφάλαια

Περιοδικό Ευκλείδης Α΄ τ. 92

Πέντε δύσκολες άρρητες εξισώσεις

 By Viet Dh 

Problem 1
Solve equation

  .

Solve:

Condition .

Equation has no root

.

We have

Εφαπτόμενο τμήμα και χορδή

είναι το μέσο της πλευράς ισοσκελούς τριγώνου με

   

Γράφω τους κύκλους  και από το φέρνω ευθεία που εφάπτεται στον κύκλο στο και τέμνει τον κύκλο  κατά σειρά στα σημεία  

Να δείξετε ότι

 

Πηγή

Σφουντούρης Κώστας - Πέντε βιβλία Γεωμετρίας

Κάντε κλικ στα εξώφυλλα.

Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2017-2018 - Θέματα της 7ης τάξης για την δεύτερη φάση

1. Σχεδιάστε τέσσερεις ημιευθείες με κοινή κορυφή έτσι, ώστε σε αυτό το σχήμα να εμφανίζονται γωνίες και . Σημειώστε, ποιες ακριβώς γωνίες έχουν αυτά τα μεγέθη.

2. Η Αθηνά, ο Κώστας και ο Νίκος ήθελαν να αγοράσουν αδιάβροχα. Δυστυχώς δεν τους έφταναν τα χρήματα. Του Κώστα το ένα τρίτο της τιμής του αδιάβροχου, του Νίκου το ένα τέταρτο της τιμής του αδιάβροχου και της Αθηνάς το ένα πέμπτο της τιμής του αδιάβροχου. Όταν στις εκπτώσεις η τιμή του αδιάβροχου έπεσε κατά 9,4 ευρώ, οι φίλοι ένωσαν τις αποταμιεύσεις τους και αγόρασαν τρία αδιάβροχα, ξοδεύοντας όλα τα χρήματα. Πόσα ευρώ κόστιζε το αδιάβροχο πριν τις εκπτώσεις;

$0 = c$, για κάθε $c \in \Re$

Γνωρίζουμε ότι

$\int {kf(x)}dx=k\int{f(x)}dx$

Είναι 

$\int {0f(x)}dx=\int{0}dx=c$     (1)

και

                               $0\int {f(x)}dx=0$            (2)

Από (1) και (2) προκύπτει ότι

$0 = c$

για κάθε τιμή του $c$.

Πυθαγόρειο θεώρημα - Απόδειξη 159η

 Επιμέλεια:  Κώστας Δόρτσιος - Σωκράτης Ρωμανίδης 

Kάντε κλικ στο σχήμα.

Pythagorean theorem - Proof 159

Ελάχιστος αριθμός διαδρομών

Τρία παιδιά και δύο ενήλικες θέλουν να διασχίσουν ένα ποτάμι. 

Το σκάφος τους μπορεί να μεταφέρει μόνο έναν ενήλικα ή τρία παιδιά. 

Ένα άδειο σκάφος δεν μπορεί να διασχίσει τον ποταμό. 

Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός διαδρομών που πρέπει να κάνουν για να φτάσουν όλοι στην άλλη πλευρά;

α. 7           β. 6          γ. 8           δ. 9

Τι ώρα δείχνει το 5ο ρολόι;

SEEMOUS 2018 (28/2-4/3/2018) - ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑΣ

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ

Στα πλαίσια της προετοιμασίας για τον διαγωνισμό Seemous 2018 που θα διεξαχθεί αρχές Μαρτίου στην Ρουμανία θα δοθούν μαθήματα προετοιμασίας για κάθε ενδιαφερόμενο φοιτητή.

Στον διαγωνισμό αυτό μπορούν να συμμετέχουν φοιτητές των δύο πρώτων ετών.

Τα μαθήματα θα γίνονται στο κτήριο της ΕΜΕ, Πανεπιστημίου 34 Αθήνα τα Σάββατα στις 15:00 το απόγευμα.

Το Πρόγραμμα Μαθηματών όπως έχει διαμορφωθεί μέχρι σήμερα είναι:

1 = - 1

Απόδειξη

Γνωρίζουμε ότι 

$\sqrt{ab} = \sqrt{a} \sqrt{b}$.

Έχουμε

$1=\sqrt{1} = \sqrt{(-1)(-1)}=\sqrt{-1}\sqrt{-1}=i \times i= i^2=-1$.

Που βρίσκεται το λάθος;

$f(0)=?$

 Αν

$f(f(x))=x^2-x+1$

 τότε

$f(0)=?$

Λόγος

Ποιος είναι ο λόγος της πράσινης επιφάνειας προς την κόκκινη;

α. 2:3          β. 5:7          γ. 9:10          δ. 4:5

Η εικασία του Kepler και το στοίβαγμα των φρούτων

Φαίνεται σαν ένα μάλλον κοινό πράγμα για να ασχοληθούμε, αφού το βλέπουμε καθημερινά στα ράφια των σουπερμάρκετ αλλά και στα μανάβικα. Το στοίβαγμα των φρούτων και των λαχανικών είναι ωστόσο ένα περίπλοκο μαθηματικό πρόβλημα. 

Ο μανάβης βέβαια το κάνει αβίαστα, πιθανώς χωρίς ούτε καν να το σκέφτεται. Αλλά για τα τελευταία 400 χρόνια, οι μαθηματικοί προσπαθούσαν απεγνωσμένα να αποδείξουν κάτι που ονομάζεται εικασία του Kepler, ένα πρόβλημα που ουσιαστικά

Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων: ΑΡΧΗ ΤΟΥ ΠΕΡΙΣΤΕΡΩΝΑ Ή ΑΡΧΗ DIRICHLET

Περιοδικό Ευκλείδης Α΄ τ. 92

Μαντέψτε τον επόμενο αριθμό;

Στην παρακάτω ακολουθία

$6,24,60,120,210, ... $

ποιος είναι ο επόμενος αριθμός;
Ποιος είναι ο εκατοστός αριθμός στη σειρά;

Παράγωγος

Λίγοι μπορούν να το λύσουν!

Η απάντηση δεν είναι το $6$.

Πόσο κάνει ;

 Ποια είναι η τιμή της παράστασης

$6/2(1+2) = ?$

Μαθηματικά Γ΄ Γυμνασίου: Επαναληπτικές Ασκήσεις

Περιοδικό Ευκλείδης Α΄ τ. 92

$5555=?$

 Αν 

$1111=5$,

$2222=24$,

$3333=93$,

$4444=272$ 

 τότε

$5555=?$

Ομιλία του κ. Μιχάλη Λάμπρου στη Νάουσα, με θέμα «Τα ύψη τριγώνου συγκλίνουν»

Παρουσιάστηκε η ενδιαφέρουσα και πολύπλοκη ιστορία ενός θεωρήματος της Γεωμετρίας από την αρχαιότητα μέχρι την σύγχρονη εποχή.

Είναι τετράγωνο

Έστω $P, Q, R$ και $S$ σημεία επί των πλευρών τεταγώνου $ABCD$ τέτοια ώστε $AP = BQ = CR = DS$, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. 

Έστω $X$ τυχόν σημείο της πλευράς $AB$. Αν $Y$ το σημείο τομής της ευθείας $PX$ με την πλευρά $BC$, $Z$ το σημείο τομής της ευθείας $QY$ με την πλευρά $CD$, $V$ το σημείο τομής της ευθείας $RZ$ με την πλευρά $DA$ και $X'$ το σημείο τομής της ευθείας $SV$ με την πλευρά $AB$, να αποδείξτε ότι αν τα σημεία $X'$ και $X$ συμπίπτουν, τότε το $XYZV$ είναι τετράγωνο.

KöMaL Problems in Mathematics, November 2017

Aμερικανική σημαία

Η αμερικανική σημαία αποτελείται από δεκατρείς οριζόντιες κόκκινες και λευκές λωρίδες ίσου ύψους, με ένα μπλε ορθογώνιο στην άκρη που έχει πενήντα μικρά, άσπρα, πεντάκτινα αστέρια. 

Ποιο τμήμα της σημαίας είναι κόκκινο;

α. $\dfrac{6}{13}$      β. $\dfrac{4,8}{13}$      γ. $\dfrac{5}{13}$      δ. $\dfrac{5,4}{13}$

Πράσινη επιφάνεια

Στο παρακάτω σχήμα να βρεθεί το εμβαδόν της πράσινης επιφάνειας.

$400^{+}$ Μαθηματικοί γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές και Παράδοξα

Πηγή

Άλγεβρα Β΄ Λυκείου: Eπαναληπτικό Διαγώνισμα μέχρι και τριγωνομετρικές συναρτήσεις (2017-2018)

Πηγή

Θεώρημα Bolzano

Θεώρημα Bolzano

Αν μία συνάρτηση είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα και επιπλέον 

• η είναι συνεχής στο
• (δηλ. οι τιμές είναι ετερόσημες) 

τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα έτσι ώστε .

Με άλλα λόγια η εξίσωση έχει τουλάχιστον μία πραγματική ρίζα στο ανοικτό διάστημα .

(Δηλαδή η τέμνει τον άξονα xx΄ σε ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη ).

«Η ομορφιά και η προσφορά της Γεωμετρίας στη Σκέψη και στη Ζωή»

Ομιλητής κ. Αρίστος Δημητρίου με Θέμα: «Η ομορφιά και η Προσφορά της Γεωμετρίας στη Σκέψη και στη Ζωή.»

Επαναληπτικές Ασκήσεις Β΄ Γυμνασίου

Περιοδικό Ευκλείδης Α΄ τ. 92

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: 1ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ (Κεφάλαιο 2) από το study4exams

Γραφήματα

Στο παρακάτω σχήμα βλέπουμε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων $f$, $f '$ και $f' '$. 

Προσδιορίστε αυτά τα γραφήματα με τους λατινικούς αριθμούς που εμφανίζονται.
Δείτε στο παρακάτω αρχείο την απάντηση που μου έστειλε ο κ. Κώστας Δόρτσιος:

Στις παρακάτω συνδέσεις μπορείτε να δείτε τα σχετικά αρχεία geogebra:

Σχέση των γραφημάτων των f,f '

Σχέση των γραφημάτων των f, f ',f ''

2017 ψεύτες και ειλικρινείς

Κάθε ένας από τους 2017 ανθρώπους που ζουν σε ένα νησί είναι είτε ψεύτης (και λέει πάντα ψέματα) είτε ειλικρινής (και λέει πάντα την αλήθεια). Περισσότεροι από χίλιους από αυτούς λαμβάνουν μέρος σε ένα συμπόσιο, όλοι κάθονται μαζί σε ένα στρογγυλό τραπέζι. 

Κάθε ένας από αυτούς λέει: 

''Από τους δύο ανθρώπους δίπλα μου, ένας είναι ψεύτης και ο άλλος ειλικρινής.'' 

Πόσοι ειλικρινείς άνθρωποι το πολύ υπάρχουν στο νησί;

α) 1683      β) 668      γ) 670     δ) 1344     ε) 1343

Kangourou Mathematics Competition 2017 

Level 11 – 12

Καγκουρό: Μαθηματικά για όλους, τόμος 6ος

Πυθαγόρειο θεώρημα - Απόδειξη 158η

 Επιμέλεια:  Κώστας Δόρτσιος - Σωκράτης Ρωμανίδης 

Kάντε κλικ στο σχήμα.

Pythagorean theorem - Proof 158

Επαναληπτικές Ασκήσεις Α΄ Γυμνασίου

Περιοδικό Ευκλείδης Α΄ τ. 92

Ε.Μ.Ε. Παράρτημα Δωδεκανήσου: 8ος Μαθηματικός Διαγωνισμός "Εύδημος" 2017 (Α΄ Γυμνασίου

)

Beyond Geometry Classic Papers from Riemann to Einstein

Β΄ Γυμνασίου: Φύλλο εργασίας στο Πυθαγόρειο Θεώρημα

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Πηγή

Διαθήκη τσοπάνου

Σε μία στάνη υπάρχουν πρόβατα και κατσίκες.

Ο τσοπάνος έδωσε από τα ζώα στον ένα του γιο και τα υπόλοιπα στον άλλο. 

Πόσες περισσότερες είναι οι κατσίκες που πήρε ο δεύτερος γιος από τα πρόβατα που πήρε ο πρώτος;

Πηγή