Καλή και ευλογημένη χρονιά !

f, f ′ και f′′

Στο παρακάτω διάγραμμα έχουμε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων $f, f ′$ και $f′′$. Αντιστοιχίστε την κάθε συνάρτηση με τα γράμματα $I, II$ και $III$. 

 $A) I = f, II = f ′$         $B) I = f, III = f ′$      

$C) II = f, III = f ′ $     $D) II = f, I = f ′$      

           $E) III = f, II = f ′$

Γεωμετρικός τόπος κοινών σημείων

Δύο μεταβλητοί κύκλοι $(O,r),(k,R)$, με $P>r$ τέμνονται στα σημεία $M,N$ και εφάπτονται στα άκρα σταθερού ευθύγραμμου τμήματος $AB=a$. 

Αν , να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων

Πηγή

Πυθαγόρειο θεώρημα - Απόδειξη 137η

Επιμέλεια:  Κώστας Δόρτσιος - Σωκράτης Ρωμανίδης 

Kάντε κλικ στο σχήμα.

Pythagorean theorem - Proof 137

Επιτυχόντες Μαθηματικού Διαγωνισμού «ΘΑΛΗΣ» (2016 - 2017) - ΟΛΑ ΤΑ ΟΝΟΜΑΤΑ

Β' Γυμνασίου 2016-2017

Γ' Γυμνασίου 2016-2017

Α' Λυκείου 2016-2017

Β' Λυκείου 2016-2017 

Γ' Λυκείου 2016-2017

$2016=2^5\times 3^2\times7$

Μαθηματικός Διαγωνισμός «ΘΑΛΗΣ»: Επιτυχόντες Ν. ΠΕΛΛΑΣ (2016 - 2017) - ΟΛΑ ΤΑ ΟΝΟΜΑΤΑ

Β΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΓΙΟΥΨΑΝΗΣ ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΣ 1ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΓΙΑΝΝΙΤΣΩΝ
ΓΚΟΥΛΑΞΙΔΗΣ ΠΑΥΛΟΣ 3ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΓΙΑΝΝΙΤΣΩΝ
ΚΑΜΠΟΥΛΑΣ ΑΝΔΡΕΑΣ 1ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΕΔΕΣΣΑΣ

ΚΑΤΡΕΛΗ ΜΑΡΙΑ 1ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΕΔΕΣΣΑΣ
ΚΕΚΛΙΚΟΓΛΟΥ ΝΑΤΑΛΙΑ 1ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΡΙΔΑΙΑΣ
ΚΟΥΡΣΑΡΑΚΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 1ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΕΔΕΣΣΑΣ
ΟΥΛΕΜΑΝΗ ΒΑΣΙΛΙΚΗ 1ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΕΔΕΣΣΑΣ

A − 4B =?

Το υπόλοιπο της διαίρεσης 

\[(\frac{5−2x^2}{3})^{2015} ÷ (x^2 − x − 2)\]

είναι της μορφής $A + Bx$. 

Να βρεθεί η τιμή της παράστασης $A − 4B$.

Columbus State Precalculus Test 2015

Δύο παραβολές

Στο παρακάτω διάγραμμα έχουμε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων 

$y = x^2 + 1$ και $y = 19 − (x − a)^2$ 

που εφάπτονται μεταξύ τους και έχουν κοινή εφαπτομένη την ευθεία $y = mx + n$.  

Αν $a > 0$, να βρεθεί η τιμή της παράστασης 

$2m + n$.

Διαμάχη µεταξύ Newton και Leibniz για την πατρότητα του Απειροστικοῦ Λογισµού

῾Η διαµάχη αὐτή ἄρχιζει τό 1684 ὅταν ὁ Leibniz ἐξέδωσε τό µνηµειῶδες ἔργο του Nova methodus pro maximis et minimis, ὅπου ἐµφανίζεται ἡ πρώτη συστηµατική µελέτη τοῦ ᾿Απειροστικοῦ Λογισµοῦ (Calculus) καί στήν ὁποία δέν ὑπάρχει ἡ παραµικρή ἀναφορά σέ ἐργασίες τοῦ Newton. 

῾Η ᾿Αγγλική Σχολή τῶν Μαθηµατικῶν, ἐθεώρησε ὅτι ὁ Leibniz διέπραξε λογοκλοπία, διότι κατά τήν ἐπίσκεψή του στήν ᾿Αγγλία τό 1676, κατέστη κοινωνός ἐπιστολῶν οἱ ὁποῖες περιεῖχαν τίς µέχρι τότε ἀνακαλύψεις στήν περιοχή. 

Πρόδρομος Π. Ελευθερίου - Σύνθεση συναρτήσεων, αντίστροφες συναρτήσεις, συναρτησιακές σχέσεις και συναρτήσεις που ορίζονται πεπλεγμένα (ύπαρξη και κατασκευή)

Πηγή

Στοιχεία Γεωμετρίας από τον Ευγένιο Βούλγαρι

Ο Δημήτριος Πατσόπουλος, διδάκτωρ του Τμ. Μαθηματικών Πανεπιστημίου Πατρών, μιλάει στην Επιστημονική Ημερίδα με θέμα: «Ευγένιος Βούλγαρις.

Τι είναι αξίωμα στα Μαθηματικά;

To αξίωμα ή αρχή στη λογική, είναι μια πρόταση η οποία δεν αποδεικνύεται, αλλά θεωρείται είτε προφανής, ή αποτέλεσμα κάποιας απόφασης. 

Έτσι, αξίωμα είναι μια λογική πρόταση, της οποίας η αλήθεια θεωρείται δεδομένη και χρησιμεύει ως αρχικό σημείο για την αναγωγή και το συμπέρασμα άλλων αληθών προτάσεων, ανάλογα με τη θεωρία που εφαρμόζεται.

Συνευθειακότητα και καθετότητα

Στο οξυγώνιο τρίγωνο $ABC$, με $b>c$, το ύψος $BD$ τέμνει τον περίκυκλο στο $N$. Ο κύκλος $(B,BA)$ τέμνει την πλευρά $AC$ στο $P$ και τον περίκυκλο στο $S$.

Δείξτε ότι τα είναι συνευθειακά και ότι .

Πηγή

Καλά Χριστούγεννα σε όλους – Χρόνια Πολλά και Ευλογημένα

Πυθαγόρειο θεώρημα - Απόδειξη 136η

 Επιμέλεια:  Κώστας Δόρτσιος - Σωκράτης Ρωμανίδης 

Kάντε κλικ στο σχήμα.

Pythagorean theorem - Proof 136

Γινόμενο mb

Στο παρακάτω διάγραμμα βλέπουμε την γραφική παράσταση μιας ευθείας $y = mx + b$.

$A) mb < -1$    $B) -1 < mb < 0$    $C) mb = 0$    

$D) 0< mb< 1$    $E) mb> 1$

2004 AMC

Μαθηματική εξοχότητα: Carl Friedrich Gauss

Πολυωνυμική συνάρτηση

Στο παρακάτω διάγραμμα βλέπουμε την γραφική παράσταση της συνάρτησης

$f (x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$

Ποια είναι η τιμή του $b$?

$A) -4$      $B) -2$       $C) 0$       $D) 2$       $E) 4$

2003 AMC

Πλήθος ριζών

Στο παρακάτω διάγραμμα βλέπουμε την γραφική παράσταση μιας συνάρτησης $f$.

Nα βρεθεί το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης 

$f(f (x)) = 6$.

2002 AMC

Παλιομοδίτικη προσέγγιση

Με τη βοήθεια μιας αριθμομηχανής μπορείτε να ανακαλύψετε ότι η εξίσωση 

$x^3 - x - 3 = 0$

έχει μία μοναδική πραγματική και ότι αυτή η ρίζα είναι μεγαλύτερη του $\sqrt[5]{13}$. 

Μπορείτε όμως να αποδείξετε ότι η εικασία αυτή είναι αληθής;

V. Panfyorov

www.askisopolis.gr - Μαθηματικά γενικής Παιδείας Γ΄ Λυκείου: Συλλογές ασκήσεων - Διαγωνίσματα

  Κεφάλαιο 1 Διαφορικός Λογισμός (7)

  Κεφάλαιο 2 Στατιστική (17)

  Κεφάλαιο 3 Πιθανότητες (8)

  Επανάληψη (14)

       Σχολικό βιβλίο (1)

Μαθηματικά του Χάους (ΕΤ1)

Το ντοκιμαντέρ του BBC έτος παραγωγής (2008) εξετάζει κατά πόσο οι εξελίξεις στα μαθηματικά στη διάρκεια του τελευταίου αιώνα έχουν αλλάξει τις αντιλήψεις μας γύρω από τις θεμελιώδεις αρχές του κόσμου στον οποίο ζούμε.

Περιοδικό «Εικοσιδωδεκάεδρον» τ. 15 - Νοέμβριος 2016

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Μετρήσεις γωνιών Ι

Σε ένα τρίγωνο $ΑΒC$ η γωνία $Α$ ισούται με $φ$. Ο κύκλος που διέρχεται από τα $Α$ και $Β$ και εφάπτεται στην ευθεία $BC$ τέμνει τη διάμεσο που φέρουμε προς την πλευρό $BC$ (ή την προέκτασή της) σε ένα σημείο $Μ$, διαφορετικό από το $Α$.
Εκφράστε το μέτρο της γωνίας $ΒΜC$ συναρτήσει του $φ$. 

Problem of the Week: 2001 AMC 8 - Problem 23

 Points ,  and  are vertices of an equilateral triangle, and points 

 ,  and  are midpoints of its sides. 

 How many noncongruent triangles can be drawn using any three 

 of these six points as vertices?

Γεωμετρικός τόπος από καθετότητα

Tα ημικύκλια διαμέτρων $AB,AC$ $(AB<AC)$ εφάπτονται εσωτερικά στο $A$ και έστω $N$ ένα τυχαίο εσωτερικό σημείο του τμήματος $AB$. 

Από το φέρνω κάθετο στην που τέμνει το μικρό ημικύκλιο στο και το μεγάλο στο . Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του σημείου τομής των

Πηγή

Πυθαγόρειο θεώρημα - Απόδειξη 135η

 Επιμέλεια:  Κώστας Δόρτσιος - Σωκράτης Ρωμανίδης 

Kάντε κλικ στο σχήμα.

Pythagorean theorem - Proof 135

Κυρτές συναρτήσεις

Έστω η συνάρτηση $f : (0, ∞) → R$. Να δείξετε ότι η συνάρτηση 

$g(x) = f(\dfrac{1}{x})$  

είναι κυρτή στο $(0, ∞)$, αν και μόνο αν η συνάρτηση $h(x) = xf(x)$ είναι κυρτή στο $(0, ∞)$.

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

Ομαλή άνοδος

Δύο κυκλικοί πύργοι έχουν το ίδιο ύψος αλλά διαφορετικές διαμέτρους. Κάθε πύργος περιβάλλεται από μία ελικοειδή σκάλα, από τη βάση έως την κορυφή.
Οι δύο σκάλες έχουν ίσες και σταθερές κλίσεις. Ποια σκάλα είναι μακρύτερη;

Περιοδικό Quantum

Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών Λυκείου (2016) - Α΄ Λυκείου

Πρόβλημα 1 

(α) Να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει:

(β) Να βρείτε τις τιμές του , για τις οποίες αληθεύει η ανίσωση: